Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364141
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8693)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников

Название: Геометрические свойства равнобедренных треугольников
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 16:42:24 20 октября 2005 Похожие работы
Просмотров: 29000 Комментариев: 21 Оценило: 42 человек Средний балл: 3.4 Оценка: 3     Скачать

В. В. Богун

Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.

Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.

Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:

Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;

Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);

Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.

Для простоты изложения материала внесем ряд определений:

Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.

Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.

Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.

Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆ АВС (рис. 1); ВD = h  основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b  боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ∆ АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(1)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС.

S ∆АВС.

Рис. 1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью.

Получим:

(1)

Следствия из теоремы 1:

1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании:

Так как ,

а

то

. (2)

Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.

1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:

(3)

1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:

. (4)

Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:

Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(5)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС =

S ∆АВС =

Получим:

(5)

Следствия из теоремы 2:

2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:

Так как

,

то

(6)

Поскольку

,

то

2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:

(7)

2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:

(8)

Следствие из теорем 1 и 2:

В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании:

(9)

В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании.

Таблица 1

Соотношения в равнобедренном треугольнике

Y
a b h R R
XX aa 1
bb 1
hh 1
RR 1
rr 1

В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренных треугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Теорема 3: О равных углах равнобедренных треугольников

Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то их центры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут.

Исходные данные:

Равнобедренные ∆АВС и ∆ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R - радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных ∆АВС и ∆ЕBF соответственно.

 ВАС =  ВСА =  EBF =  ,

 BEF =  BFE =  (рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 3

Доказать:

h = R + r (10)

Доказательство:

Для равнобедренного ∆АВС:

Для равнобедренного ∆ЕBF:

По условию теоремы

 ВАС =  ВСА =  EBF =

=  ,  BEF =  BFE =  .

А так как

 BEF =  BFE =

,

получим:

Если

(10),

то

Действительно,

,

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы 3:

3.1. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и угол между боковыми сторонами одного равен углам при основании второго, то отношение соответствующих оснований равно разнице величины, обратной по значению косинусам равных углов при основании второго, и единице:

Так как

и

,

то

(11)

3.2. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то отношение соответствующих боковых сторон равно половине величины, обратной по значению синусам равных углов при основании второго:

Поскольку

и ,

то

.

.

(12)

Теорема 4: О половинных углах равнобедренных треугольников

Если два равнобедренных треугольника имеют общее основание и вершина, являющаяся пересечением боковых сторон первого, совпадает с центром вписанной во второй треугольник окружности, то центр описанной вокруг первого треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам второго.

Исходные данные:

Равнобедренные ∆ АВС и ∆ АОС с общим основанием АС = 2  а, DO = r = H  радиус вписанной окружности и высота равнобедренных ∆ АВС и ∆ AOC соответственно.  ВАС =  ВСА =  ,  OAC =  OCA = (рис. 4).

Доказать:

(13)

Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы 4

Доказательство:

Исходя из рис. 4, получим следующую цепочку соотношений:

Тогда

(13)

При этом согласно определению равнобедренные ∆ АВС и ∆ АСS являются полуподобными, поскольку

и наоборот, а равнобедренные ∆АВС и ∆АОС являются половинноподобными, поскольку удовлетворяют определению:

 ВАС =  ВСА =  ,  OAC =  OCA =

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Ваш сайт очень хороший! Сделай паузу, студент, вот повеселись: Виктора в группе звали Вием, потому что препод на лекции, когда тот привычно в наглую спал сидя на первом ряду столов, сказал одногруппникам: «Поднимите ему веки». Кстати, анекдот взят с chatanekdotov.ru
Лопух07:03:30 09 июля 2017
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:31:53 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:43:38 24 ноября 2015
херня
17:35:58 16 мая 2013Оценка: 2 - Плохо
капец говна написали нифига не понял луче в cs пойду поиграю ахааххахахах)))
00:45:11 22 февраля 2013

Смотреть все комментарии (21)
Работы, похожие на Реферат: Геометрические свойства равнобедренных треугольников

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(174068)
Комментарии (1984)
Copyright © 2005-2017 BestReferat.ru bestreferat@gmail.com реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru