Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Алгебра матриц

Название: Алгебра матриц
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 10:27:59 25 ноября 2004 Похожие работы
Просмотров: 6557 Комментариев: 5 Оценило: 12 человек Средний балл: 3.8 Оценка: 4     Скачать

Основные понятия

Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица

.
.

В сокращенной записи: А=(аij ); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;

j=1,2,…,n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

Упорядоченный набор элементов а1122 ,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1 n2, n -1 ,…,аn 1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

.

Линейные операции над матрицами

Определение. Суммой матриц А=(аij ) и B=(bij ) одинаковых размеров называется матрица С=(сij ) тех же размеров, такая что cij =aij +bij для всех i и j.

.

Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

A + B = = C

Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij ), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

Например, если и l=5, то

Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.

А+В = В+А – коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.

a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.

7. a(А+В) = aА+aВ. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.

Умножение матриц

В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы А=(аij ) размера и прямоугольной матрицы B=(bij ) размера называется прямоугольная матрица С=(сij ) размера , такая что cij =ai 1 +b1 j + ai 2 +b2 j +…+ aik +bkj ; , .

Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.

.

Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

1. , .

2. , .

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.

3. , .

Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.

,

Получим , ВА – не существует.

Свойства умножения матриц.

Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.

(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.

А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.

l(АВ) = (lА)В = А(lВ).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(аij ), B=(bij ), C=(cij ) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число

аi 1 (b1 j +c1 j )+ аi 2 (b2 j +c2 j )+…+аin (bnj +cnj ) =

i 1 b1 j +ai 2 b2 j +…+ain bnj )+ (аi 1 c1 j +ai 2 c2 j +…+ain cnj ).

Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:

, , .

Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:

, , .

Упражнение 3. Найти матрицу А3 , если .

Вырожденные и невырожденные матрицы

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример. , = 16-15 = 1 0; А – невырожденная матрица.

, = 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

АВ = ВА = Е. (1)

Пример. , .

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

АХ = ХА = Е (2)

АУ = УА = Е (3)

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А-1 , т.е. А А-1 = А-1 А = Е. Тогда, ½А А-1 ½= ½А½½А-1 ½=½Е½=1, т.е. ½А½0 и ½А-1 ½0; А – невырожденная.

Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n

,

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

,

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А* , для .

Найдем произведения матриц АА* и А* А. Обозначим АА* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: Сij = аi 1 А 1 j + аi 2 А 2 j + … + аin Аnj ; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При ij, т.е. для элементов Сij вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА*

Аналогично доказывается, что произведение А на А* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А* А = АА* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

.

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;

А = = -3; А = = 3; А = = -4;

А = = 1; А = = -1; А = = 1;

А =

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:56:38 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:22:19 24 ноября 2015
Хотелось бы узнать как решается система уравнений с вырожденной матрицей.
Эдик19:57:15 03 декабря 2009
хотя нет, примеров достаточно, я разобрался, просто перед умножением надо проверять число столбцом и рядов у A и B, например если матрица А 2*3 (два стобца на три ряда) а В 3*2 (три стобца на два ряда) то есть 2*3 и 3*2, крайние числа должны быть равны, в данном случае это 2 и 2, и значит матрица в ответе будет 2*2 (два стобца на два ряда) =)хы.
Paul05:00:58 17 октября 2008
Отлично, только побольше бы примеров с умножением матриц, а так все ок=)
Paul01:28:53 20 сентября 2008Оценка: 4 - Хорошо

Работы, похожие на Реферат: Алгебра матриц
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2146 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Способы решения систем линейных уравнений
- очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для ...
Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю - вырожденной.
Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю = при i = j и нулю при i = j. Следовательно, мы установили, что ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 11760 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 9 человек Средний балл: 3.3 Оценка: 3     Скачать
Матрицы и определители
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СОДЕРЖАНИЕ Лекция 1. Матрицы 1. Понятие матрицы. Типы матриц 2. Алгебра матриц Лекция 2. Определители 1. Определители ...
то есть элемент i -ой строки и j -го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.
сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 15193 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Матрицы и определители
Матрицы. Операции над матрицами Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы ...
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj (j = ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 12522 Комментариев: 14 Похожие работы
Оценило: 46 человек Средний балл: 3.5 Оценка: 4     Скачать
Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине
Курсовая работа Выполнила студентка II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна Мурманский Государственный Педагогический Университет Мурманск ...
Произведение можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы на слева и как результат умножения строк матрицы на справа.
Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 3872 Комментариев: 6 Похожие работы
Оценило: 5 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Математический факультет Кафедра прикладной математики ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ сингулярное разложение в ...
Выберем ортогональную m m-матрицу Q в соответствии с преобразованием Хаусхолдера (9), так, чтобы первый столбец Q1A имел нулевые компоненты со 2-ой по m-ю. Далее выбираем ...
Все элементы матрицы QAP, стоящие на пересечении строк с номерами к+1,...,m и столбцов с номерами к+1,...,n, будут нулями.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 2559 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 2.3 Оценка: неизвестно     Скачать
Обратимые матрицы над кольцом целых чисел
... государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Обратимые матрицы ...
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по ...
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 388 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Генерация матриц
Курсовая работа "Генерация матриц" Введение В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики ...
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij ...
Договоримся называть минором любого элемента матрицы n-го порядка (1.8) определитель порядка n-1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате ...
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: курсовая работа Просмотров: 366 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Проектирование трансляторов
ЛЕКЦИЯ 1 СУЩНОСТЬ ПРЕДМЕТА. СОДЕРЖАНИЕ КП. СРОКИ. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ТРАНСЛЯТОРА. ПРОХОДЫ ТРАНСЛЯТОРА ...
Произведение АВ двух множеств цепочек А и В:
чении i-ой строки и j-го столбца записывается отношение предшес-
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат Просмотров: 655 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Алгебра матриц (2945)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150944)
Комментарии (1842)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru