Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Лобачевский и неевклидова геометрия

Название: Лобачевский и неевклидова геометрия
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 20:07:50 16 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 5462 Комментариев: 7 Оценило: 16 человек Средний балл: 3.3 Оценка: 3     Скачать

Сигулдская средняя школа N2

Кронвальда 7, Сигулда, Латвия

Неевклидова геометрия.

Проект ученика 11а класса

Чиркова Андрея

Консультант: Степулане Р.Э

СИГУЛДА 2003

Содержание

1. Введение................................................................ стр.

2. История геометрии................................................ стр.

3. Биография Николая Ивановича Лобачевского.... стр.

4. Другие авторы....................................................... стр.

5. Краткое описание геометрии Лобачевского........ стр.

6. 5 постулат.............................................................. стр.

7. Геометрия Лобачевского в реальном мире......... стр.

8. Заключение............................................................ стр.

9. Приложение........................................................... стр.

9. Использованная литература................................ стр.


Введение

Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.

Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата».

Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.


История геометрии.

Считается, что геометрия началась в так называемой Ионийской школе. Её основателем считается Фалес Милетский (640-540 (546?) гг. до н. э.). Он считался одним из семи мудрецов Греции, первым математиком, астрономом и философом. Он доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что вертикальные углы равны, что диаметр делит окружность пополам и ещё множество теорем. Предсказание затмения солнца в 585 году также приписывается ему.

Огромный импульс развития этой школе дал Пифагор (569-470 гг. до н. э.). В основном о его личных качествах пишут то же самое, что и о Фалесе. Но к этому ещё можно добавить титул чемпиона по боксу на олимпийских играх – звание, среди математиков редкое.

Несмотря на все его достижения, мнение современников хорошо выразил Гераклит: «Многознание без разума». Что ж, это было вполне заслужено: Пифагор засекречивал открытия и приписывал себе работы учеников. Пифагор также заставлял своих воспитанников исполнять целый свод очень странных правил: например, не прикасаться к белому петуху.

Но факт есть факт - и одна из теорем Пифагора теперь известна каждому – это теорема о равенстве квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Эта теорема настолько популярна в мире математиков, что одних только доказательств накопилось 39 штук. Их можно посмотреть на сайте www.cut-the-knot.com/pythagoras.

Платон (428-348) знаменит введением принципа дедуктивности в математике, или принципа развития от простого к сложному. Он также знаменит постановкой трех задач на построение. Используя только циркуль и линейку, надо было:

1. Разделить угол на три части (задача о трисекции угла).

2. Построить квадрат, равный по площади данному кругу (задача о квадратуре круга).

3. Построить куб, равный по объему данному (задача об удвоении куба).

Нерешаемость этих задач была доказана только в 19 веке, но перед этим они успели вызвать настоящую бурю: например, задача №2 вызвала появление интегрального исчисления.

Закончилось развитие традиционной геометрии Евклидом. Его книга «Начала» только до 1880 года выдержала 460 изданий, уступив только Библии. Способ построения «Начал» стал единственно верным для всех научных работ: Перечисление основных, естественных понятий ® Перечисление основных аксиом ® Перечисление основных определений ® Формулирование теорем (утверждений) и их доказательство.

Метод доказательства от противного – тоже его заслуга. Он же сформулировал пять постулатов геометрии:

1. Через два точки можно провести одну и только одну прямую.

2. Прямая продолжается бесконечно.

3. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.

4. Все прямые углы равны между собой.

Пятый постулат является своеобразным философским камнем геометрии и будет подробнее описан в шестой части.


Биография Николая Ивановича

Лобачевского.

1729 – 1856

Детство Лобачевского было тяжелым и бедным. В Казанской гимназии он был казеннокоштным студентом, что накладывало определенные обязанности и ограничения. Самым простым было учиться лучше других; но казеннокоштным студентам, например, не разрешалось выходить дальше, чем за пределы парадного двора. Но уже с самого начала жизни Лобачевский интересовался геометрией. Это неудивительно, ведь его отец был землемером. Лобачевский проявил также большую склонность к языкам – например, французский он выучил за три месяца. Он писал стихи – его поэмы о Волге считаются одними из лучших. Но при этом он не забывал учиться – в 1807 году он студент, а в 1811 – магистр. Работая над развитием геометрии, в 1826 году, уже будучи деканом физико-математического факультета, он сделал доклад, содержавший основы неевклидовой геометрии. Однако время было не совсем подходящим: открылись хищения из казны Магницким – ещё одним математиком этой эпохи, Магницкого «записали» в декабристы… Словом, ученому миру было не до новых теорий.

Но он не сдался. С 1829 по 1830 год он публиковал в журнале «Казанский вестник» мемуар «О началах геометрии», и это была первая публикация основ его теории.

Взлеты и падения следовали один за другим. Только были сданы в печать первая и вторая части «Новых начал геометрии», как умер его кумир Пушкин, а потом и дочь Надежда.

Лобачевский пользовался уважением и любовью студентов и коллег. Когда упразднили должность директора университета, то его кандидатуру на пост главного ректора утвердили без возражений. Не высказался даже его главный соперник – Симонов.

в 1842 году, во время большого пожара в Казани он героически спас древние книги, до этого, во время эпидемии холеры, превратил университет в мини-госпиталь – из-за чего умерло гораздо меньше студентов, чем в других ВУЗ’ах.

Когда негде было разместить второй класс Казанской гимназии, он предложил свой дом, обещав потом построить для гимназии дворец. Понятно, что в 1845 году он получил должность управляющего Казанским учебным округом, а после стал член-кореспондентом Гуттенгенского университета.

Но жизнь нанесла ещё один удар: он начал слепнуть. Он начал играть со своей женой в страшную игру, пытаясь убедить её, что ещё хорошо видит. Она закатывала истерики, уговаривала лечиться, но все тщетно – Лобачевский ослеп. Но, тем не менее, он продолжал преподавать и пользоваться безграничной любовью и уважением учеников. Знаменателен случай, когда молодого студента, засмеявшегося над споткнувшимся Лобачевским, однокурсники заставили уйти из университета. Лобачевский об этом даже не узнал.

В 1855 году он был уволен со службы с причислением к министерству. В этом же году опубликовал свою последнюю работу – «Пангеометрия», которую диктовал своим ученикам. Его горячим желанием было создать единую механику – но времени не хватило. Он умер в 1856 году – забытый царем, лишившись орденов и квартиры – ордена украли, а квартиру конфисковали. В его формулярном листе за сорок лет работы в графе отпусков бисерным почерком Лобачевского было написано: «Не был».

Ему поставлен памятник – и поэт В. Фирсов написал о нем:

Высокий лоб, нахмуренные брови,

В холодной бронзе – отраженный луг…

Но даже неподвижный и суровый,

Он, как живой, - спокоен и могуч.

Когда – то здесь, на площади широкой,

Задумчивый, неторопливый, строгий,

Он шел на лекции – великий и живой.

Пусть новых линий не начертят руки,

Он здесь стоит, взнесенный высоко,

Как утверждение бессмертья своего,

Как вечный символ торжества науки.
Другие авторы.

Идея неевклидовой геометрии пришла в голову не только Лобачевскому – просто ему относительно повезло. Одним из «конкурентов» был Гаусс – великий затворник, отказавшийся от услуг почты, чтобы никто не смог обвинить его в плагиате.

В это время сын старого друга Гаусса, Янош Больяи, занялся теорией параллельных линий. В 1832 году он выпустил труд «Аппендикс», содержащий начала неевклидовой геометрии. Но его работа почти совпадала с мемуаром Лобачевского «О началах геометрии» 1829 года; подобных результатов достиг и сам Гаусс.

Тога Гаусс написал Фаркашу Больяи то, что тот сам говорил сыну: время для этих выкладок ещё не пришло. Януш же посчитал, что Гаусс решил присвоить его труд. Но Гаусс не публиковал его – ведь он был королем математики того периода, и боялся, что его сочтут свихнувшимся.

Гаусс в то время хотел уехать – куда-нибудь далеко, где никто не помешает. Он думал о Петербурге или Казани. Но из-за бюрократии российских чиновников поездка расстроилась.

Но если Януш Больяи считал себя гением-одиночкой, то Гаусс узнал о Лобачевском, прочитав «Геометрические исследования по теории параллельных линий Николая Лобачевского». Гаусс говорил, что, читая этот труд, он видел в первую очередь себя. Гаусс закончил затворничество, начал изучать русский язык – и стал бегло читать уже через два месяца. Но – ирония судьбы – Гаусс стеснялся открыто попросить сочинения Лобачевского, а тот не отсылал их в Геттинген, так как не знал, что Гаусс понимает по-русски.

Через шесть лет Гаусс все ещё думает о Лобачевском. Но он понимает, что слишком стар, чтобы защищать новые идеи. А Лобачевский погибал без поддержки.

Больяи же, получив в 1848 году «Геометрические исследования», посчитал, что Гаусс выпустил мемуар под псевдонимом Лобачевский. Целью его жизни было превзойти этот труд. Это была агония разума – а Лобачевский даже не подозревал о существовании талантливого венгра.

За год до этого, зимой 1848 года, к Гауссу пришел студент. Его звали Бернард Риман. Но Гаусс оттолкнул его. Тогда Риман, сжав зубы, уехал в Берлин. Но мир тесен, и, защитив докторскую диссертацию, он решает стать профессором. Удивительно, но тему пробной лекции утверждает и принимает именно Гаусс.

Риман создал геометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника больше 180о . Она похожа на геометрию сферы Гаусса.

Риман оказался хорошим учеником великого математика, и из нежеланного гостя стал единственным другом. Он умер в Италии, не закончив последний мемуар. На русском языке он появился только в 1893 году. Его название было: «О гипотезах, лежащих в основе геометрии».


Краткое описание геометрии Лобачевского.

Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Это видно на рисунке 1. Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт, меняет всю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов треугольника равна 180о ? Классическое доказательство приведено на рисунке 2. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что Ð1+Ð2+Ð3=180о . Но так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника*, то нужно провести две прямые, параллельные данной в разные стороны. Что получается, видно на рисунке 3. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180о . Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника.

Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются расходящимися.
_______

* Здесь и далее подразумевается геометрия Лобачевского, если нет оговорки на геометрию Евклида.

Так вот, первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка (рис. 4а). Пучок расходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка (рис. 4б). Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида.

И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении (рис. 4в).

Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые. Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек. В пучке первого рода это точки на прямых, равноудаленные от центра (рис. 5а). В пучке второго рода это точки прямых, лежащие по одну сторону от оси и отстоящие от нее на одинаковые расстояния (рис. 5б). Наконец, в пучке третьего рода они расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которых лежа эти точки (рис. 5в).

Соединив соответствующие точки первого пучка, мы получим окружность. В случае второго пучка мы получаем линию равных расстояний, а в третьем случае – так называемую предельную линию.

Примеры таких построений – на рисунке 6.

Из определения предельных линий выходит, что она бесконечна. Поэтому в теоремах используется понятие предельной дуги, или дуги предельной линии.

Для концентрических предельных дуг существуют несколько правил: во-первых, равным хордам соответствуют равные дуги, большей хорде – большая дуга; отрезки осей, заключенные между дугами, равны, и отношение двух предельных дуг, заключенных между одинаковыми осями, зависит только от расстояния. Причем это отношение при S1 >S2 равно , где х – расстояние, а к – некотрая константа. Сам Лобачевский дает её определение так: к – это расстояние между двумя предельными дугами, заключенными между двумя осями, отношение которых равно е . Физический смысл этой константы заключается в отображении кривизны пространства Лобачевского.

Лобачевским была создана и стереометрия. Прямые в пространстве могут или скрещиваться, или лежать в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые имеют смысл двух прямых, имеющих общий перпендикуляр, определяющий кратчайшее расстояние между ними. У параллельных прямых есть два основных свойства: во-первых, если через две параллельные прямые провести две пересекающиеся плоскости, то прямая пересечения плоскостей будет параллельна двум другим; во-вторых, две прямые, параллельные третей, параллельны одна другой в том же направлении – даже если третья прямая не лежит в плоскости первых двух.

Для анализа расположения прямой и плоскости, на плоскость опускается проекция. Если прямая и плоскость параллельны, то прямая и её проекция на плоскость тоже параллельны, и наоборот. Так же определяется и расположение двух плоскостей – с тем лишь отличием, что, если нельзя провести плоскость, перпендикулярную двум выбранным плоскостям и проходящую через выбранную прямую и её проекцию, то плоскости обязательно пересекутся.

Аналогию пучкам в пространстве составляют связки. Связки также делятся на три рода: первые образуются прямыми и плоскостями, проходящими через одну точку – центр связки; вторые образованны прямыми и плоскостями, перпендикулярными некой плоскости; и, наконец, третьи образованы прямыми и плоскостями, параллельными данной плоскости в одном направлении. Точно так же определяются соответствующие точки. В случае связки первого рода они формируют сферу, второго – поверхность равных расстояний, третьего – предельную поверхность. Предельная поверхность обладает удивительным свойством: на ней справедлива геометрия Евклида. Этот факт свидетельствует о том, что неевклидова геометрия не опровергает евклидову, а включает её в себя как органичную часть.

В процессе нахождения тригенометрических формул, Лобачевский проецировал прямоугольный треугольник с предельной плоскости на плоскость, касательную к ней. Пользуясь формулами и , вывод которых приведен в приложении, он получил тригинометрические формулы своего пространства. Соотношения в прямоугольном треугольнике при этом остаются одинаковыми, но cos , sin и tg определяются по-другому: , , , где с – сторона против прямого угла, а – против a , в – противb .

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.


5 постулат.

Итак, мы дошли до пятого постулата. Сам Евклид формулировал его так: «Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых». Другие формулировки гораздо проще, например: «через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Конечно, ещё сам Евклид пытался вывести этот сложный постулат из более простых. После него этой проблемой занимались почти все известные математики, но чаще всего это заканчивалось тем, что постулат выводился только при принятии каких-то дополнительных предположений. У менее удачливых математиков не получалось вообще ничего.

Самую известную попытку доказать пятый постулат методом от противного предпринял итальянский монах Джироламо Саккерти в 1733 году. Но отрицание пятого постулата – это и есть главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Он, как и другой математик И. Г. Ламберт в 1766 году, вплотную подошел к неевклидовой геометрии, но не нашел её реальной.

Гаусс, Больяи, Швейкарт, Тауринус – они все рано или поздно убеждались, что доказать пятый постулат невозможно. Сам Лобачевский говорил об этой проблеме: «Напрасные страданья … в продолжение двух тысяч лет». И именно он смог отверг этот постулат, создав новую геометрию.

Гаусс, изучая поверхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов треугольника меньше 180о . Он был в шаге от опровержения пятого постулата.

Попыток было много – и именно недоказуемость этого предположения привела к открытию неевклидовой геометрии.


Геометрия Лобачевского в реальном мире.

Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?

Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.

Но вернемся на землю. Есть такое понятие – гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусом. Подставив их в выражение , мы получим Гауссову кривизну пространства. Если К>0, то поверхность в этой точке эллиптическая. Если К<0, то гиперболическая. Если К=0, то параболическая.

Как мы уже знаем, на поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия Лобачевского. Но именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей! Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.

Но наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за её пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную (рис. 7). Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель. Такая модель называется моделью Клейна.

Все эти модели служат одной цели – полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам.


Заключение.

Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» на поверку окажется реальной.

Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда – нибудь и этот проект окажется макулатурой.

Но думаю, что этого времени он успеет исполнить свое предназначение – рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.


Приложение.

При доказательства используют рисунок 1. Пусть ОХ перпендикулярно ОY.

Через точку А прямой ОY проведем прямую АА’ , параллельную ОХ, и построим предельную линию с осью ОХ, проходящую через точку О. Дугу , заключенную между осями ОХ и АА’, обозначим через s, отрезки ОА и АВ – соответственно через u и v. Проведем прямую ММ’, параллельную ОХ и ОY. Предельную дугу ОС, заключенную между ОХ и ММ’, обозначим через s. Нашей задачей является вывод следующих формул: (А) и (В).

Построим прямую NN’, параллельную ОY и перпендикулярную АА’, и через точку N проведем предельную дугу , концентрическую дуге . Так как прямая М’М параллельна NN’ и АА’, то NР = s. Далее, так как ÐОАА’ = П(u)*, ÐYАN, то АN = u, т.е. NВ = u + v. Применяя формулу к концентрическим дугам = s и = s - s, получаем (3). Отложим теперь отрезок ОА = u и проведем прямую АА’, параллельную ОХ, и прямую ММ’, параллельную ОХ и ОY. Строим прямую NN’, перпендикулярную АА’ и параллельную ОY (рис. 2). Через точку О проведем ортогонально к ОХ предельную дугу = s + s, через точку N – концентрическую дугу = s. Так как Ð ОАА’ = П(ОА) = П(АN), то АN = ОА = u, т.е. ВN = u – v. Итак, (4). Складывая отношения (3) и (4), получаем формулу (А). вычитая (3) из (4), имеем . Подставляя сюда из (А) , получаем соотношение (В).

*Имеется ввиду, что отрезок u определяется углом параллельности ÐОАА’ .

**Гиперболические функции определяются так:

1. Синус: .

2. Косинус: .

3. Тангенс: .


Использованная литература.

Смилга В.П. В погоне за красотой./. Н-п издание. – М.: Молодая гвардия, 1968. – 200 стр. с илл.

Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». – М.: Молодая гвардия, 1965. – 320 стр. с илл.

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского./. – М.: Наука, 1983. – 76 стр.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:22:25 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:29 24 ноября 2015
хорошо, но для доклада по культуре речи слишком заумно.
17:08:11 18 ноября 2012Оценка: 4 - Хорошо
норм
20:54:37 21 сентября 2010Оценка: 4 - Хорошо
Спасибо за информацию теперь пятёрку по краеведению получу
Всё норм=\22:55:50 23 мая 2010Оценка: 5 - Отлично

Смотреть все комментарии (7)
Работы, похожие на Реферат: Лобачевский и неевклидова геометрия
Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия
Оглавление Введение Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрии 1.2 Постулаты Евклида 1.3 Аксиоматика Гильберта 1.4 Другие системы аксиом ...
Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что ...
К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 1280 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Геометрия Лобачевского
Тема: "Геометрия Лобачевского" Выполнила: Зайнулина Г. Г.Бишкек 2010 Н.И. Лобачевский и его геометрия До начала XIX столетия ни одна из попыток ...
Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков, воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из его современников (и даже ...
Итак, сумма углов любого сферического треугольника больше p. Это - существенное отличие геометрии на сфере как от геометрии на плоскости Евклида, так и от геометрии на плоскости ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 5758 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Абсолютная геометрия это совокупность тех утверждений которые можно доказать не используя 5 постулата Евклида или какого то равносильного ему. т.е. абс. геометрия строится на 1-4 ...
Множество всех точек будем называть плоскостью Лобачевского . ясно что на ней выполняются абсолютная геометрия, которая является общей частью планиметрии Евклида и Лобачевского.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3489 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Евклидова и неевклидова геометрия
Содержание: Постулаты Евклида Попытки доказательства V постулата Евклида Кант об априорных понятиях Появление неевклидовой геометрии Янош Бояи ...
К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского ...
Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 5050 Комментариев: 9 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 4.1 Оценка: 4     Скачать
Концепция и принципы неклассического естествознания
Реферат "Концепция и принципы неклассического естествознания" 1. Электромагнитное поле Фарадея-Максвелла, электромагнитное взаимодействие и принципы ...
Но одна из аксиом геометрии Евклида - аксиома о параллельных прямых, она же трактуется также как V (пятый) постулат Евклида, беспокоила многих математиков своей, в отличие от ...
Как следствие этого, сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180° и стремится к 180° с уменьшением площади треугольника (т. е. сумма углов треугольника в ...
Раздел: Рефераты по биологии
Тип: реферат Просмотров: 266 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Гиперболическая геометрия
В 4 веке до н. э. древнегреческий ученый Эвклид свёл накопленные к тому времени математические знания в своём труде "Начала", проанализировав труды ...
Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны (т.е. сумма углов криволинейного треугольника больше суммы двух прямых.), играют ...
В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Просмотров: 91 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Евклідова і неевклідова геометрії
Зміст Введення Глава I. Розвиток геометрії 1.1 Історія геометрії 1.2 Постулати Евкліда 1.3 Аксіоматика Гильберта 1.4 Інші системи аксіом геометрії ...
Незалежно від Лобачевского й Гаусса до відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.
Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 701 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Использование компьютерных технологий в изучении наглядной геометрии
Введение Преподавание геометрии не может обойтись без наглядности. В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Ведь именно из ...
Начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятием точки, линии, угла, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов ...
Как одну из других клейновских геометрий было бы любопытно изложить неевклидову геометрию Лобачевского или Римана".
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 18880 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Различные подходы к определению проективной плоскости
Содержание Введение Исторический обзор аксиоматического построения проективной геометрии Глава 1. Определение проективной плоскости на базе ...
Влияние на развитие проективной геометрии оказали работы Н.И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные ...
Пусть П - проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*.(здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1320 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Многомерная геометрия
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств § 1. Историческая справка § 2. Понятие векторного многомерного пространства ...
§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах
Термин "многомерная геометрия" применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 1833 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Лобачевский и неевклидова геометрия (2778)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150052)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru