Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Название: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 13:59:19 21 апреля 2010 Похожие работы
Просмотров: 1304 Комментариев: 3 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

РЕФЕРАТ

"Собственные вектора и собственные значения линейного оператора"


Понятие собственные векторы и собственные значения

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Рис. 1


Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = λ· x (1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

P · X = λ· X

Преобразуем матричное уравнение:

P·X – λ ·X = 0 или (P – λ ·E) X =0

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:


X=0=

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r<n, т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие

|P – λ· E |=0 (2)

Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим

|P – λ· E | =

Раскрыв определитель, получим уравнение n-й степени относительно λ:

Которое называется характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ1 , λ2 , …, λn . Для каждого найденного собственного значения λi найдем ненулевые векторы ядра оператора P – λi E . Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi . Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λi E ) X =0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λ i .

Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λ i . Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λ i как корня характеристического многочлена.

Независимость собственных векторов

Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1 , λ2 , …, λ n , определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x1 , x 2 , …, xn оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1 , λ2 , …, λ n , линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – λ E (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.

|P’ – λ E | =|T-1 PT – λ E | =|T-1 PT- λ T-1 E T| =|T-1 P- λ E T| =|T-1 ||P- λ E T| |T|=|P- λ E T|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R2 .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ· E | == λ2 -5 λ+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1 =1, λ2 =4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P – λ1 E ) X =0 и (P – λ2 E ) X =0

В развернутом виде

и

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с1 , с2 є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1 =1, λ2 =4, имеет вид ; , где с1 , с2 є R. Векторы a1 =(1, 1), a2 =(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2 .

Пусть e1 , e2 , …, en – собственные векторы линейного оператора в пространстве Rn , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e1 ), (e2 ), …, (en ) по базису e1 , e2 , …, en примет вид

Отсюда следует, что aij = λ i , если i=j и aij =0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве Rn называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rn выполняется равенство

((x), y)= (x, (y))

Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2 . Пусть в ортобазисе e1 , e2 заданы векторы x=(x1 , x2 ), y=(y1 , y2 ). Линейные операторы 1 и 2 определены своими матрицами:

и .

Вычислим векторы 1 (x) и 2 (y):

,

.

Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)):

( (x), y)=(a11 x1 +a12 x2 ) y1 +(a21 x1 +a22 x2 ) y2 =a11 y1 x1 +a12 y1 x2 +a21 y2 x1 +a22 y2 x2 ,

(x, (y))= (b11 y1 +b12 y2 ) x1 +(b21 y1 +b22 y2 ) x2 =b11 x1 y1 +b12 x1 y2 +b21 x2 y1 +b22 x2 y2 .

Найдем разность скалярных произведений:

(( x ), y ) – ( x , ( y )) = ( a 11 - b 11 ) x 1 y 1 +( a 21 - b 12 ) x 1 y 2 +( a 12 - b 21 ) x 2 y 1 +( a 22 - b 22 ) x 2 y 2 .

Если для любых векторов x и y из пространства R2 равенство

(( x ), y ) – ( x , ( y ))=0 (3)


Выполнено (необходимость), то верна система

a11 =b11 ,

a21 =b12 ,

a12 =b21 , (4)

a22 =b22 ,

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что 1 =2 =.

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ1 и λ2 , причем λ1 λ2 . По определению симметричного оператора:

((x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства ((x))= λ1 x , ((y))= λ1 y , получим

(λ1 x , y)=( x , λ2 y ) . Вынесем числа λ1 и λ2 , за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1 λ2 ) (x, y)=0

Поскольку λ1 λ2 , получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве Rn задан симметричный оператор , то в Rn существует ортонормированный базис e1 , e2 , …, en , составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа λ1 , λ2 , …, λ n симметричного оператора положительны, то ((x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (aij ) называется положительной, если все её элементы положительны: aij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er , все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.


Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:11 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:32:22 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:44 25 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150500)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru