Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Название: Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 03:07:07 07 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 1357 Комментариев: 18 Оценило: 9 человек Средний балл: 3.9 Оценка: 4     Скачать

Для решения дифференциального уравнения:


(I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t0 с радиусами сходимости ri :

i=0,1,2


необходимо найти два линейно-независимых решения 1(t), 2(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:


Решения i будем искать в виде степенного ряда:


(I.2)


методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1: (об аналитическом решении)

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x0 и p0(x)≠0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y + p2(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l0 + l1(x-x0) + l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …


Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)


Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0 является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.


Рассмотрим уравнение:

(I.3)


a0(t) = t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде (t) = cntn (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

(t) = ncntn-1, (t) = n(n-1)cntn-2

(2+t)( n(n-1)cntn-2) – (ncntn-1) – 4t3( cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 : 4c2 – c1=0 4c2-c1-4c-3=0

t1 :

рекуррентное соотношение имеет вид

n N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5)

при n=0,

n=1,

n=2, c4=0

n=3,

n=m-2,

Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)

б)

Итак, область сходимости


  1. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.


Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:



Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.

положение равновесия

Д=-7 фокус, т.к. <0, то фазовая кривая закручивается.


III. Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:



с действительными коэффициентами аij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:




(1)


Сведем систему (1) к системе вида:


(2)



с помощью замены


(3)


Запишем систему (1) в виде

, где (4)

Подставим в систему (4), а в систему (3), тогда получим:

(5)

Найдем собственные значения матрицы А:


,


Систему (2) можно записать в виде:

, где (6)

Из системы (5) и (6) следует, что

Подберем матрицу С такую, что пусть и AC = CB

=

Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. и

Поставим матрицу С в замену:

Подставим полученные значения в систему (2):

, где

При получаем систему

Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка от гармонических колебаний:


Следовательно, при достаточно малом = (Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка ). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу:


Подставляя значения и , получим:

Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O() по окружности радиуса А.

Пусть , тогда


для (при малых положительных значениях ), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)

Так как detC>0, то при замене на ориентация системы координат не изменилась.



Литература

  1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

  2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

  3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

  4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

  5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.

  6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.


program coefficients;

type mas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;

var rez1,rez2:text;

r1,r2:mas;i:integer;r:beg;

procedure calculate(t:beg;var a:mas);

begin

for i:=1 to 6 do a[i]:=t[i];

for i:=7 to 100 do

a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)

end;

begin

assign(rez1,'rez1.txt');

rewrite(rez1);

assign(rez2,'rez2.txt');

rewrite(rez2);

r[1]:=1;r[6]:=1/10;

calculate(r,r2);

r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;

calculate(r,r1);

for i:=1 to 25 do begin

writeln(rez1,' ',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);

writeln(rez2,' ',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);

end;

close(rez1);close(rez2);

end.


0.0000000000E+00 -8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25

1.0000000000E+00 4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25

2.5000000000E-01 -1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26

0.0000000000E+00 8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26

0.0000000000E+00 -3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26

0.0000000000E+00 1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27

4.7619047619E-02 -7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27

-1.1904761905E-02 3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27

5.2910052910E-03 -1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27

-2.3809523810E-03 6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28

1.0822510823E-03 -2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28

2.2546897547E-04 1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28

-2.5668775669E-04 -5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29

1.7731937375E-04 2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29

-1.0542477804E-04 -1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29

5.8436623727E-05 5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30

-2.5841727522E-05 -2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30

1.0525340241E-05 1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30

-3.9487320804E-06 -5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31

1.3207804853E-06 2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31

-3.5067345145E-07 -1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31

5.5497924241E-08 5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32

1.5059649832E-08 -2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32

-2.1523082502E-08 1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32

1.4733681219E-08 -5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32


1.0000000000E+00 1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25

0.0000000000E+00 -8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25

0.0000000000E+00 3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25

0.0000000000E+00 -1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26

0.0000000000E+00 7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26

1.0000000000E-01 -3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26

-4.2857142857E-02 1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27

1.8750000000E-02 -5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27

-8.3333333333E-03 2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27

3.7500000000E-03 -1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28

1.1363636364E-04 4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28

-7.0143398268E-04 -2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28

5.6412337662E-04 9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28

-3.5348951644E-04 -4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29

2.0067606005E-04 1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29

-9.3119933452E-05 -8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29

3.8663542340E-05 4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30

-1.4570702990E-05 -1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30

4.8347217880E-06 8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30

-1.2403030595E-06 -4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31

1.4719225001E-07 1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31

9.7123795568E-08 -9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31

-1.0404222235E-07 4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32

6.7370672802E-08 -2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32

-3.6472266477E-08 9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Делаю рефераты, курсовые, контрольные, дипломные на заказ. Звоните или пишите вотсап, телеграмм, вайбер 89675558705 Виктория.
02:52:27 20 октября 2021
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
18:12:40 10 сентября 2021
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya16:08:18 24 августа 2019
.
.16:08:17 24 августа 2019
.
.16:08:17 24 августа 2019

Смотреть все комментарии (18)
Работы, похожие на Реферат: Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(286345)
Комментарии (4153)
Copyright © 2005-2021 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru