Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

Название: Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ
Раздел: Остальные рефераты
Тип: реферат Добавлен 12:33:22 19 сентября 2011 Похожие работы
Просмотров: 54 Комментариев: 6 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики и

программного обеспечения ЭВМ

Математика

Часть 7

Задания контрольной работы по теме

«Специальные разделы высшей математики»

и методические указания к ее выполнению

для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета

всех специальностей

Мурманск

2008 г.


УДК 51 (076.5)

ББК 22.1 я 73

3 15

Составители:

Хохлова Людмила Ивановна, к.ф.н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ,

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО 13 февраля 2008 г., протокол № 5

Рецензент – Кацуба В.С ., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

ÓМурманский государственный технический университет, 2008

Оглавление

Стр.

Введение. 4

Задания на контрольную работу по теме «Специальные разделы высшей математики». 5

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу.. 9

Справочный материал к выполнению контрольной работы 10

1. Алгебра логики. 10

1.1. Высказывания и операции над ними . 10

1.2. Формулы алгебры логики . 13

1.3. Приложение алгебры логики. Релейно-контактые схемы .. 15

2. Булевы функции. 17

3. Графы.. 19

3.1. Основные определения . 19

3.2. Матрицы графов . 20

4. Элементы вариационного исчисления. 22

4.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве . 22

4.2. Экстремумы функционала . 24

5. Оптимальное управление. 27

5.1. Математическая модель системы управления . 27

5.2. Оптимальное управление динамической системой . 28

5.3. Принцип максимума Понтрягина . 29

Решение примерного варианта контрольной работы.. 31

Рекомендуемая литература.. 39

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся ссылки на теоретический материал по теме «Специальные разделы высшей математики», список рекомендуемой литературы и задания к выполнению контрольной работы. К специальным разделам высшей математики в данном пособии отнесены «Математическая логика», «Графы», «Элементы функционального анализа», «Вариационное исчисление и оптимальное управление». В результате изучения этих разделов студенты должны:

• знать, что такое высказывание, и уметь записывать формулы сложных высказываний при помощи логических операций;

• уметь упрощать логические формулы при помощи равносильных преобразований;

• иметь представление о булевых функциях одной и двух переменных;

• знать основные термины теории графов, иметь представление о способах задания ориентированных и неориентированных графов;

• знать, что такое функционал, вариация функционала, вариационная задача;

• уметь находить экстремали некоторых функционалов;

• иметь преставление о математических моделях систем управления;

• знать принцип максимума Понтрягина и уметь находить оптимальное управление для динамической системы.

Данные методические рекомендации включают справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Специальные разделы высшей математики», и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

Задания на контрольную работу по теме «Специальные разделы высшей математики»

Контрольная работа состоит из пяти задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задача 1. Дана формула алгебры логики. Требуется:

1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;

2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.

Номер

варианта

Формула

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Задача 2. Дана булева функция f (x , y ). Составить таблицу значений функции и указать значение f (1, 0).

Номер варианта

Функция f (x , y )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.

Номер

варианта

Орграф

Номер

варианта

Орграф

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задача 4. Даны функционал I [y (x )] = и граничные условия для функции y (х ): y (a ) = A , y (b ) = B . Требуется найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям.

Номер

варианта

Функционал I [y (x )]

Граничные условия

1

y (0) = 3

y (ln2) = 2

2

y (0) = 0

y (3) = 2

3

y (0) = 1

y (ln2) = 1

4

y (0) = 0,5

y (π ) = 0,5

5

y (0) = 0

y (2) = e

6

y (0) = 1

y (2) = 5

7

y (0) = 2

y (π ) = 0

8

y (0) = 0

y (1) = 2

9

y (0) = 0

= 1

10

y (0) = 2

y (ln3) = 10

Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений и граничными условиями

, ,

где N номер варианта, t время (t [0; b ]), фазовый вектор (траектория объекта), u (t ) функция управления объектом.

Требуется найти оптимальное управление объектом u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , если задан критерий качества управления: I [u (t )] =

Номер

варианта

[0; b ]

x 1 (0), x 2 (0)

x 1 (b ), x 2 (b )

1

[0; 3]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1

x 1 (3) = 1, x 2 (3) = 0

2

[0; 4]

x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0

x 1 (4) = 0, x 2 (4) = 1

3

[0; 2]

x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0

x 1 (2) = 1, x 2 (2) = 3

4

[0; 3]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1

x 1 (3) = 1, x 2 (3) = 0

5

[0; 4]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 2

x 1 (4) = 0, x 2 (4) = 1

6

[0; 2]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1

x 1 (2) = 2, x 2 (2) = 0

7

[0; 1]

x 1 (0) = 7, x 2 (0) = 0

x 1 (1) = 0, x 2 (1) = 3

8

[0; 2]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 2

x 1 (2) = 0, x 2 (2) = 1

9

[0; 1]

x 1 (0) = 3, x 2 (0) = 0

x 1 (1) = 6, x 2 (1) = 0

10

[0; 2]

x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1

x 1 (2) = 10, x 2 (2) = 0

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу

задачи

Содержание (темы)

Литература

1

Высказывания, их значения истинности. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Таблицы истинности. Свойства логических операций, порядок их выполнения. Равносильные логические формулы. Алгебра Буля

[1], часть 1, гл. 1, §1-6;

часть 2, гл. 1, §1,2, №1.1-1.22, 1.45, 1.46(1,2), 1.48(1-7), 1.50, 1.51;

[2], гл. 1, п.1.1.1-1.1.3, задачи 1-6;

[3], гл. 16.3

2

Функции алгебры логики (булевы функции) и их преставление при помощи логических формул. Приложение алгебры логики: упрощение релейно-контактных схем

[1], гл. 1, §7, 8, 13;

часть 2, гл. 1, §3,4, №1.49;

[2], гл. 1, п.1.2.1, 1.2.4, зад. 17;

[3], гл. 16.4

3

Графы. Основные определения: вершины, ребра, кратные ребра. Ориентированные и неориентированные графы. Задание графов. Матрица инцидентности и матрица смежности графа

[2], гл. 4, п.4.1.1, 4.1.4;

[6], гл.III, §1-5

4

Функционал. Приращение функционала. Вариация функционала. Экстремумы функционала, необходимое условие экстремума. Экстремали функционала. Уравнение Эйлера для функционала вида

[4], гл. 7, §1-2;

[5], гл. II, §3.1, 3.3, 3.6, 4; №71, 72, 75-78;

[7], гл.X, № 1281-1285, 1289-1298;

[8], гл. 16, №3.1-3.8

5

Система управления и ее математическая модель. Оптимальное управление. Гамильтониан. Принцип максимума Понтрягина. Каноническая система уравнений задачи оптимального управления

[9], часть III, гл. 9.1.1-9.1.2, №9.1, 9.3, 9.4

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению контрольной работы

1. Алгебра логики

1.1. Высказывания и операции над ними

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Высказыванием называется предложение, к которому можно применить понятия «истинно» или «ложно». Обозначаются высказывания малыми прописными буквами: a , b , х ,….

В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь», что принято обозначать соответственно «1» или «0».

Примеры.

1. «Волга впадает в Каспийское море» – высказывание (истинное).

2. «Число 16 кратно 3» – высказывание (ложное).

3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.

4. «3х – 5 = 0» – не высказывание.

Истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Таким образом, операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.

Основные логические операции над высказываниями.

Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается или Øх (читается: «не х »).

Логические операции можно задавать при помощи таблиц истинности , показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для высказываний x и эта таблица имеет вид:

х

1

0

0

1

Конъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания х и y . Конъюнкция обозначается: х Ù y , или х & y (читается: «х и y »). Таблица истинности для х Ù y имеет вид:

х

y

х Ù y

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Дизъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны. Дизъюнкция обозначается х Ú y (читается: «х или y »). Таблица истинности для х Ú y имеет вид:

х

y

х Ú y

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Импликацией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно. Импликация обозначается: х ® y (читается: «х влечет y » или «из х следует y »). Высказывание х называется посылкой импликации , а высказывание yследствием . Таблица истинности для х ® y имеет вид:

х

y

х ® y

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний х и y совпадают. Эквиваленция обозначается: х « y , или х ~ y (читается: «х эквивалентно y » или «х тогда и только тогда, когда y »). Таблица истинности для х « y имеет вид:

х

y

х « y

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1.2. Формулы алгебры логики

Формулами алгебры логики называются выражения, полученные из переменных x , y ,… посредством применения логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, а также сами переменные, принимающие значения истинности высказываний x , y ,….

Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А , В ,…..

Если в формулу алгебры логики вместо переменных x , y ,… подставить конкретные высказывания, то получится высказывание, имеющее логическое значение «1» или «0».

Пример.

Высказывание x : «Волга впадает в Каспийское море» – истинное (x = 1),

высказывание y : «Число 16 кратно 3» – ложное (y = 0),

тогда формула А = x Ú y будет иметь логическое значение «1»: А = 1 (см. таблицу истинности для х Ú y ).

На основе таблиц истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для различных формул алгебры логики.

Две формулы алгебры логики называются равносильными или эквивалентными , если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы переменных (элементарных высказываний). Равносильность формул А и В будем обозначать знаком «º»: А º В .

Равносильность логических формул можно установить при помощи их таблиц истинности.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли равносильными формулы А = и В = .

Решение. Составим таблицы истинности для каждой из формул А и В .

x

y

Ù

А =

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

x

y

x Ú y

В =

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

Ответ: данные формулы являются равносильными.

Другой способ доказательства равносильности логических формул – их упрощение с использованием основных равносильностей .

Основные равносильности.

Для любых элементарных высказываний x , y , z справедливы следующие равносильности, которые можно разбить на 3 группы.

1. Основные законы:

1) x Ù x º x ; 2) x Ú x º x ; 3) º x ;

4) x Ù 0 º 0; 5) x Ú 0 º x ; 6) Ù x º 0;

7) x Ù 1 º x ; 8) x Ú 1 º 1; 9) Ú x º 1;

законы поглощения:

10) x Ù (y Ú x ) º x ; 11) x Ú (y Ù x ) º x .

2. Выражения одних логических операций через другие:

12) x ® y º Ú y ; 13) ;

14) x « y º (x ® y ) Ù (y ® x ); 15) .

3. Свойства логических операций:

16) x Ù y º y Ù x ; 17) x Ú y º y Ú x ;

18) x Ù (y Ù z ) º (x Ù y ) Ù z ; 19) x Ú (y Ú z ) º (x Ú y ) Ú z ;

20) x Ù (y Ú z ) º (x Ù y ) Ú (x Ù z ); 21) x Ú (y Ù z ) º (x Ú y ) Ù (x Ú z ).

Множество высказываний с введенными для них логическими операциями и основными равносильностями называется алгеброй Буля .

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется раньше, чем импликация и эквиваленция. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.

Пример. Упростить логическую формулу: .

Решение . Используем основные равносильности.

.

Ответ: А º x Ú y .

1.3. Приложение алгебры логики. Релейно-контактые схемы

Релейно-контактной схемой (РКС ) или переключательной схемой называется схематическое изображение устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей (контактов, реле, ламп и др.);

2) соединительных проводников;

3) входов-выходов (полюсов РКС).

Рассмотрим простейшую РКС, содержащую один переключатель Р . Если переключателю Р поставить в соответствие высказывание х : «Переключатель Р замкнут», то истинному значению х (х = 1) будет соответствовать замкнутое состояние переключателя, при котором РКС проводит ток, т.е. импульс, поступающий на вход, может быть снят на выходе. Значению х = 0 будет соответствовать разомкнутое состояние РКС (ток не проводится).

Каждой РКС, состоящей из нескольких переключателей, можно поставить в соответствие высказывание, выраженное некоторой формулой А , таким образом, что истинному значению формулы (А = 1) будет соответствовать замкнутое состояние РКС, а значению А = 0 – разомкнутое состояние. Примеры таких соответствий приведены в таблице.

Простейшие РКС и соответствующие им формулы логики.

РКС

Формула

Значения

Переключатель х :

Простейшее высказывание: х

х = 1, если переключатель замкнут;

х = 0, если переключатель разомкнут

Переключатель

Отрицание простейшего высказывания:

= 0, если переключатель замкнут;

= 1, если переключатель разомкнут

Последовательное соединение:

(схема замкнута, когда

оба переключателя замкнуты)

Конъюнкция высказываний:

x Ù y

Параллельное соединение:

(схема разомкнута, когда

оба переключателя разомкнуты)

Дизъюнкция высказываний:

x Ú y

Схема, которая всегда разомкнута

x Ù

x Ù º 0

Схема, которая всегда замкнута

x Ú

x Ú º 1

Из простейших РКС путем их последовательного и параллельного соединения могут быть построены более сложные переключательные схемы.

Доказано, что любая формула алгебры логики может быть преобразована к виду, содержащему только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Это позволяет изображать логические формулы при помощи РКС, а РКС задавать формулами.

Например, согласно формулам основных равносильностей

x ® y º Ú y и x « y º (x ® y ) Ù (y ® x ),

следовательно, логическим операциям импликации и эквиваленции соответствуют РКС, изображенные рис. 1.

Используя равносильные преобразования логической формулы, соответствующей некоторой РКС, можно упростить РКС , т.е. привести ее к виду, содержащему меньшее число переключателей.

Пример . Упростить РКС, изображенную на рис. 2.

Решение. Запишем соответствующую РКС формулу, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

.

Упростим формулу, используя основные равносильности:

.

Таким образом, . Построим РКС, соответствующую упрощенной формуле (рис. 3).

2. Булевы функции

Будем рассматривать логические переменные x 1 , x 2 , …, xn , принимающие только два значения: «1» или «0».

Булевой функцией f (x 1 , x 2 , …, xn ) называется произвольная функция, аргументами которой являются логические переменные и принимающая только одно из двух значений: «1» или «0».

Количество булевых функций одного аргумента равно 22 = 4, это функции:

f 1 (x ) = 0, f 2 (x ) =1, f 3 (x ) = x и f 4 (x ) = .

Булевых функций двух аргументов всего 24 = 16, а количество булевых функций n аргументов равно .

Всякой формуле алгебры логики, составленной из элементарных высказываний x 1 , x 2 , …, xn соответствует булева функция f (x 1 , x 2 , …, xn ), аргументы которой принимают значения истинности соответствующих элементарных высказываний: «1» или «0». Две равносильные формулы алгебры логики определяют одну и ту же булеву функцию, т.к. значения истинности этих формул совпадают для одинаковых значений входящих в них переменных.

Для булевых функций можно составлять таблицы значений – всякую булеву функцию n аргументов можно задать таблицей из 2n строк.

Например, таблица значений некоторых функций 2-х аргументов, соответствующих основным логическим операциям (отрицание одного аргумента, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция) выглядит так:

x 1

x 2

x 1 Ù x 2

x 1 Ú x 2

x 1 ® x 2

x 1 « x 2

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

Значение булевой функции f (x 1 , x 2 ) при известных значениях аргументов устанавливается по строке таблицы, соответствующей заданным значениям x 1 и x 2 . Например, для функции f (x 1 , x 2 ) = x 1 ® x 2 значение f (1, 0) = 0, а значение f (1, 1) = 1.

Каждой релейно-контактной схеме (РКС), составленной из переключателей x 1 , x 2 , …, xn , можно поставить в соответствие булеву функцию, называемую ее функцией проводимости:

Функция проводимости РКС задается при помощи формулы логики, соответствующей этой РКС. Например, РКС, изображенная на рис. 2, имеет функцию проводимости , таблица значений которой имеет вид:

х

y

f (x, y )

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

3. Графы

3.1. Основные определения

Рассмотрим некоторое конечное множество точек V = {v 1 , v 2 ,…,vn } и конечное множество линий Х , соединяющих некоторые пары из точек множества V . Полученная совокупность точек и линий называется графом и обозначается G = {V , X }.

Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Хребрами .

Граф можно изобразить при помощи геометрической конфигурации. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины (рис. 4). При этом несущественным является расположение вершин, форма и длина ребер графа, важно лишь, соединены две данные точки ребром, или нет.

Ребра, соединяющие одну и ту же пару вершин, называются кратными (или параллельными ) ребрами (ребра х 4 , х 5 графа G 1 на рис. 4).

Если х – ребро графа, соединяющее вершины vi , vj , то вершины vi и vj называются концами ребра х .

Множество ребер графа Х можно задать, как множество пар вершин из множества V . Если пары в этом множестве Х являются упорядоченными, то граф называется ориентированным или орграфом . Ребра орграфа называют дугами и на рисунках помечают стрелками (рис. 4).

Если х = (vi , vj ) – дуга орграфа, то вершина vi называется началом дуги х , а вершина vj концом дуги х .

При помощи графов удобно изображать связь атомов в молекуле, кристаллические решетки, схемы дорог, маршруты движения, электрические цепи, экономические связи объектов, графики работ и др.

3.2. Матрицы графов

Для того, чтобы задать граф, необходимо задать множества его вершин и ребер (V и X ). Иногда граф задают списком ребер (дуг) , например, орграф G2, изображенный на рис. 4, можно задать следующим списком дуг:

X = {х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6 } = {(v 1 , v 4 ), (v 1 , v 4 ), (v 4 , v 2 ), (v 2 , v 4 ), (v 2 , v 3 ), (v 3 , v 4 )}.

В этом списке каждой из 6-ти дуг орграфа соответствует упорядоченная пара вершин (если граф неориентированный, то порядок записи вершин в каждой паре – произвольный).

Если граф содержит изолированные вершины , т.е. не связанные ни с одной другой вершиной ребрами (дугами) графа (см. вершину v 5 в графе G1 на рис. 4), то список ребер не даст полного представления о графе. Кроме того, использовать список ребер (дуг) можно только при относительно небольшом количестве вершин графа. Для практического использования более удобен матричный способ задания графов .

Пусть G = {V , X } – граф, где V = {v 1 , v 2 ,…,vn }, X = {x 1 , … , xm }.

Если вершины графа vi , vj являются концами ребра х , то говорят, что вершины vi , vj и ребро х инцидентны .

Матрицей инцидентности графа G называется матрица размерности n ´m B (G ), элементы которой

bij =

Строки матрицы инцидентности графа соответствуют его вершинам, а столбцы – ребрам.

Для орграфа вершина vi и дуга х j инцидентны, если vi является началом или концом дуги х j . Элементы матрицы инцидентности орграфа определяются по формулам:

bij = (1)

Вершины vi , vj графа G называются смежными , если существует ребро х = (vi , vj X , инцидентное этим вершинам (соединяющее эти вершины).

Матрицей смежности графа G называется квадратная матрица A (G ) порядка п , каждый элемент которой aij равен количеству ребер, инцидентных вершинам vi и vj .

Для орграфа G = {V , X } элементы матрицы смежности определяются по формулам:

aij = (2)

Пример. Записать матрицу инцидентности и матрицу смежности для орграфа G2, изображенного на рис. 4.

Решение. Данный граф является ориентированным. Для построения матрицы инцидентности составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j - м столбце ставим в i -й строке

«–1», если вершина vi является началом дуги х j ,

«1», если вершина vi является концом дуги х j ,

«0» в остальных случаях (вершина vi и дуга х j не инцидентны).

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

Получили матрицу инцидентности:

В (G 2) = .

v 1

–1

–1

0

0

0

0

v 2

0

0

1

–1

–1

0

v 3

0

0

0

0

1

–1

v 4

1

1

–1

1

0

1

Для построения матрицы смежности составим таблицу, используя формулы (2). Так как граф G 2 ориентированный, то элемент матрицы aij равен количеству ребер с началом в i -й вершине, а концом в j -й вершине.

v 1

v 2

v 3

v 4

Получили матрицу смежности

A (G 2) =

v 1

0

0

0

2

v 2

0

0

1

1

v 3

0

0

0

1

v 4

0

1

0

0

Матрица инцидентности более информативна, чем матрица смежности, т.к. по ней можно восстановить не только нумерацию вершин и связи между ними, но и нумерацию ребер. Однако, при помощи матрицы инцидентности задают только графы, не имеющие изолированных вершин (в матрице смежности изолированной вершине соответствуют нулевая строка и нулевой столбец).

Кроме матриц инцидентности и смежности существуют и другие формы матричного задания графов. Матричный метод задания графов удобен для обработки данных на ЭВМ.

4. Элементы вариационного исчисления

4.1. Функционалы в линейном нормированном пространстве

Линейным пространством Е называется множество элементов

{x , y , z ,….}, в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие 8 свойствам:

1. x + y = y + x ;

2. (x + y ) + z = x + (y + z ) ;

3. λ (m x ) = (λ m ) x , где λ , m – числа;

4. (λ + m ) x = λ x + m x , где λ , m – числа;

5. λ (x + y ) = λ x + λу , где λ – число;

6. 1·x = x ;

7. существует нулевой элемент O + x = x ;

8. для существует противоположный элемент .

Примеры линейных пространств :

• координатное пространство Rn с элементами – n -мерными векторами либо точками;

• пространство матриц размерности ;

Cn [a ; b ] – пространство функций, непрерывных на промежутке [a ; b ] вместе со своими производными .

В линейном пространстве вводится понятие нормы элемента.

Нормой элемента называется число, обозначаемое и удовлетворяющее трем условиям:

1. ³ 0 и = 0 тогда и только тогда, когда у = О ;

2. , где λ – число;

3. , где λ – число.

Пример. В пространстве C [a ; b ] (пространство функций, непрерывных на промежутке [a ; b ]) норма элемента у может быть введена следующим образом:

.

Если каждой функции из некоторого линейного нормированного пространства функций У ставится в соответствие число, то говорят, что на множестве У задан функционал I [y (x )].

Примеры функционалов.

– функционал, заданный на пространстве функций, имеющих непрерывные производные на промежутке [a ; b ], т.е. на C 1 [a ; b ];

– функционал, заданный на пространстве функций, интегрируемых на промежутке [0; 1].

Рассмотрим пространство C [a ; b ] – множество функций (кривых), непрерывных на промежутке [a ; b ], и функционал I [y (x )], определенный на этом пространстве.

ε -окрестностью кривой C [a ; b ] называется совокупность кривых C [a ; b ], таких что

.

Разность называется вариацией аргумента функционала . Вариация d y (x ) есть функция от x и тоже принадлежит функциональному пространству C [a ; b ].

Приращением функционала называется разность DI = I [y (x )] – I [y 0 (x )], где y 0 (x ) – фиксированная функция, а y (x ) – произвольная функция из пространства C [a ; b ].

Используя вариацию d y (x ), можно представить приращение функционала в виде .

Линейным функционалом называется функционал I [y (x )], удовлетворяющий следующим условиям:

1) I [λ y (x )] = λ I [y (x )], где λ – число;

2) I [y 1 (x ) + y 2 (x )] = I [y 1 (x )] + I [y 2 (x )].

Вариацией функционала называется главная часть его приращения, линейная относительно d y (x ).

Если приращение функционала можно представить в виде

,

где – линейный функционал относительно d y (x ), и функционал при , то d I [y ] = – вариация функционала I [y (x )].

4.2. Экстремумы функционала

Функционал I [y (x )], определенный на некотором пространстве функций (кривых) достигает на кривой y = y 0 (x ) экстремума , если существует -окрестность этой кривой, в которой приращение функционала сохраняет знак, причем, если DI = I [y ] – I [y 0 ] > 0, то функционал I [y ] достигает на кривой y = y 0 (x ) минимума , а если DI < 0, то функционал I [y ] достигает на кривой y = y 0 (x ) максимума . Функцию y 0 (x ) называют соответственно точкой минимума или точкой максимума .

Теорема. (Необходимое условие локального экстремума).

Если функционал I [y (x )], имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой y = y 0 (x ), где y 0 (x ) – внутренняя точка области определения функционала, то при y (х ) = y 0 (x ) вариация функционала равна нулю:

d I [y 0 (x )] = 0. (3)

Функции, удовлетворяющие условию (3), называются экстремалями функционала .

Вариационная задача : среди функций (кривых) y (x ), принадлежащих некоторому множеству М , требуется найти кривую y = y *(x ), на которой функционал I [y (x )], определенный на множестве М , достигает экстремума, т.е. .

Решение этой задачи заключается в поиске экстремалей, т.е. функций, «подозрительных на экстремум», и в последующей проверке выполнения достаточных условий существования экстремума. На практике, как правило, экстремалей немного, и установить наличие (или отсутствие) на них экстремума функционала удается, исходя из смысла задачи. Следует отметить, что вариационная задача не всегда имеет точное решение, а если решение существует, то оно не всегда единственно.

Рассмотрим пространство M функций y (x ), дифференцируемых на отрезке [a ; b ] и удовлетворяющих граничным условиям:

y (a ) = A , y (b ) = B , (4)

то есть все кривые проходят через две закрепленные граничные точки.

Пусть на этом пространстве M определен функционал

I [y (x )] = , (5)

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Требуется найти экстремали функционала I [y (x )].

Можно доказать, что, если для функционала (5) выполнено необходимое условие (3), то функция удовлетворяет уравнению Эйлера:

(6)

Так как тоже является функцией от , то это уравнение можно записать в развернутой форме:

. (7)

При уравнение Эйлера представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции y (x ). Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных С 1 , С 2 , которые можно найти из граничных условий (4).

Пример. Найти экстремали функционала , удовлетворяющие граничным условиям y (0) = 0, y (ln2) = 2.

Решение . Запишем уравнение Эйлера (7) для данного функционала. Для подынтегральной функции , получаем частные производные

, .

Тогда уравнение Эйлера: или . Учитывая, что , получаем – однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции y (x ).

Его характеристическое уравнение k 2k = 0 имеет корни k 1 = 0, k 2 = 1.

Напомним, что общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения имеет вид:

, если (корни вещественные различные);

, если (корни вещественные равные);

, если (корни комплексно-сопряженные).

В данном случае k 1 = 0, k 2 = 1, и общее решение уравнения имеет вид .

Определим произвольные постоянные С 1 , С 2 из граничных условий

Отсюда получаем С 1 = –2, С 2 = 2, следовательно, экстремаль функционала .

Ответ. .

5. Оптимальное управление

5.1. Математическая модель системы управления

Система управления состоит из управляющего устройства (УУ) и объекта управления (ОУ). Примерами систем управления служат семейный бюджет, экономика отрасли, технологический процесс, научное исследование и т.д.

УУ передает в ОУ сигнал – управление . Управление может быть механическим воздействием, электромагнитным импульсом, потоком инвестиций и др. Под воздействием сигнала u (t ), где t – время, u (t ) – скалярная или векторная функция, система изменяет свое состояние (возможна обратная связь). Простейшая математическая модель системы управления без учета внешних воздействий включает:

модель ОУ – оператор, в соответствии с которым осуществляется преобразование входа – управления u (t ) в реакцию системы;

алгоритм управления , который зависит от цели управления и наличия обратной связи.

В общем случае состояние динамической системы управления характеризуется n -мерным вектором (матрицей-столбцом)

,

где xj (t ) для j = 1,2,…,n называют фазовыми координатами , а фазовым вектором .

Например, положение самолета определяет 6-мерный вектор, в котором 3 координаты задают положение центра масс самолета в пространстве и 3 координаты – его вращение относительно центра масс. Курс самолета – это вектор-функция .

Модель ОУ обычно описывается уравнениями состояний, отражающих законы физики, экономики и прочее. Довольно часто процесс управления без учета внешних воздействий может быть задан системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(8)

или, в векторной форме: , где – вектор-функция, характеризующая изменение состояния системы, u (t ) – функция управления. В реальных условиях множество управлений ограничено: , где Uкласс допустимых управлений .

Для того, чтобы процесс управления был определен на некотором промежутке , необходимо задать начальное состояние системы – вектор . Тогда будет соответствовать траектория – вектор-функция , переводящая систему из состояния в состояние , достижимое из состояния на данном классе управлений U .

5.2. Оптимальное управление динамической системой

Рассмотрим некоторый процесс управления без учета внешних воздействий, заданный системой обыкновенных дифференциальных уравнений , где – заданная вектор-функция, u (t ) – функция управления из некоторого класса допустимых управлений U , и соответствует фазовый вектор (траектория).

Если определена цель управления, то имеет смысл искать наилучшее (оптимальное) управление для достижения этой цели. В большинстве случаев цель управления можно задать в форме вариационной задачи – поиска экстремума некоторого функционала I [u (t )] на классе допустимых управлений U . Тогда задача оптимального управления : найти оптимальное управление u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , для которых

(другая форма записи: ),

или ().

Функционал I [u ] называется критерием качества управления . Например, в так называемой «задаче Лагранжа» роль критерия качества выполняет интегральный функционал вида

(9)

где – заданная функция.

5.3. Принцип максимума Понтрягина

Рассмотрим простейшую задачу управления: задана модель системы управления , где , – непрерывная вектор-функция, – функция управления, и критерий качества управления

.

Пусть каждому управлению соответствует траектория , переводящая систему из состояния в , где и фиксированы.

Требуется найти оптимальное управление u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , для которых . Это задача Лагранжа с фиксированным временем и закрепленными концами траекторий: , .

Допустим, существует оптимальное управление и соответствующая ему оптимальная траектория , удовлетворяющие условиям задачи.

Введем вспомогательную вектор-функцию , где неизвестные функции, кусочно-непрерывные на , и построим функцию Гамильтона-Понтрягина (гамильтониан):

. (10)

Очевидно, что .

При фиксированных гамильтониан является функцией управления. Можно доказать, что если u *(t ) – оптимальное управление, то при u = u *(t ) гамильтониан достигает максимума по управлению и выполняются условия

Принцип максимума Понтрягина .

Если – оптимальное управление, переводящее систему из состояния в и – соответствующая ему оптимальная траектория, которая в первый раз достигает точки в момент t 1 , то

1) существует вектор , соответствующий u *(t ) и , причем и являются решениями системы дифференциальных уравнений

(11)

удовлетворяющими условиям

, ; (12)

2) в каждой точке непрерывности функции u *(t ) достигается максимум гамильтониана по управлению:

. (13)

Система (11) называется канонической системой задачи оптимального управления . Для получения ее частного решения (определения констант интегрирования) используют граничные условия (12).

Принцип максимума представляет собой необходимое условие оптимальности. Если получается несколько управлений, удовлетворяющих условиям (11)-(13), то проверяют выполнение достаточных условий, или выбирают одно из них, исходя из смысла задачи.

Идея принципа максимума: чтобы найти u *(t ) – оптимальное управление, минимизирующее функционал I [u (t )], нужно найти управление, максимизирующее гамильтониан: .

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Дана формула алгебры логики: .

Требуется:

1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;

2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.

Решение .

1). Упростим заданную формулу, используя принятый порядок выполнения операций . Сначала выразим импликации через дизъюнкции согласно формуле 12 основных равносильностей:

x ® y º Ú y x ® Ù y º Ú (Ù y ), y ® z º Ú z ,

затем используем формулы 16, 11 и 21:

x Ù y º y Ù x Ù y º y Ù, Ú z º z Ú,

x Ú (y Ù x ) º x Ú (y Ù) º ,

x Ú (y Ù z ) º (x Ú y ) Ù (x Ú z ) (z Ú) Ù (z Ú) º z Ú (Ù),

откуда получаем: º

.

2). Построим РКС для исходной формулы А , используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:

– конъюнкции Ù y соответствует последовательное соединение элементов и y ;

– импликации x ® Ù y соответствует параллельное соединение элементов и (Ù y );

дизъюнкции z Ú (x ® Ù y ) соответствует параллельное соединение элементов z и (x ® Ù y );

– импликации y ® z соответствует параллельное соединение элементов и z ;

– конъюнкции соответствует последовательное соединение элементов (z Ú (x ® Ù y )) и (y ® z ).

Построим РКС для упрощенной формулы : конъюнкции Ù соответствует последовательное соединение элементов и , а дизъюнкции z Ú (Ù) соответствует параллельное соединение элементов z и (Ù).

Полученные в результате РКС изобразим на рис. 5.

Ответы:

1) результат упрощения формулы A : ;

2) РКС, соответствующие исходной формуле А и упрощенной формуле А 0 приведены на рис. 5.

Задача 2. Дана булева функция f (x , y ) = (x Ú y ) ® (x ÙÚ®). Составить таблицу значений функции и указать значение f (0, 1).

Решение. Известно, что порядок выполнения операций определен следующим образом: . Используя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации составим вспомогательную таблицу значений каждой из операций функции f (x , y ).

x

y

x Ú y

x Ù

x ÙÚ

x ÙÚ®

(x Ú y

(x ÙÚ®)

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

Составим таблицу значений функции f (x , y ):

x

y

f (x , y ) = (x Ú y )®(x ÙÚ®)

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

По таблице значений функции найдем значение f (0, 1), соответствующее значениям аргументов x = 0, y = 1 (третья строка): f (0, 1) = 0.

Ответы: таблица значений функции приведена выше; f (0, 1) = 0.

Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке 6. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.

Решение.

1. Для составления списка дуг орграфа G составим вспомогательную таблицу, каждая строка которой соответствует одной дуге. В строке записываем обозначение дуги и номера вершин, инцидентных этой дуге, причем сначала указываем начальную вершину, затем – конечную, т.к. граф ориентированный.

Дуга

Вершины

x 1

v 2 , v 1

x 2

v 2 , v 3

x 3

v 1 , v 4

x 4

v 4 , v 1

x 5

v 2 , v 4

Получаем список дуг орграфа:

X = {(v 2 , v 1 ), (v 2 , v 3 ), (v 1 , v 4 ), (v 4 , v 1 ), (v 2 , v 4 )}.

2. Для построения матрицы инцидентности орграфа G составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j - м столбце ставим i -й строке «–1», если вершина vi является началом дуги х j , ставим «1», если вершина vi является концом дуги х j и ставим «0», если вершина vi и дуга х j не инцидентны.

При заполнении таблицы можно использовать список дуг орграфа.

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

Получили матрицу инцидентности:

В (G 2) = .

v 1

1

0

–1

1

0

v 2

–1

–1

0

0

–1

v 3

0

1

0

0

0

v 4

0

0

1

–1

1

3. Для построения матрицы смежности орграфа G составим таблицу, используя формулы (2). Так как граф G ориентированный, то элемент матрицы aij равен количеству ребер с началом в i -й вершине, а концом в j -й вершине.

v 1

v 2

v 3

v 4

Получили матрицу смежности

A (G ) =

v 1

0

0

0

1

v 2

1

0

1

1

v 3

0

0

0

0

v 4

1

0

0

0

Ответы: список дуг орграфа X = {(v 2 , v 1 ), (v 2 , v 3 ), (v 1 , v 4 ), (v 4 , v 1 ), (v 2 , v 4 )};

матрица инцидентности и матрица смежности:

В (G ) = ; A (G ) = .

Задача 4. Дан функционал . Найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям y (0) = –1, y (π ) = 0.

Решение. Запишем уравнение Эйлера = 0 для данного функционала.

Для подынтегральной функции получаем частные производные:

.

Тогда уравнение Эйлера имеет вид: или – простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение получаем двукратным интегрированием:

.

Определим произвольные постоянные С 1 , С 2 из граничных условий

Отсюда получаем С 1 = 1/π , С 2 = –1, следовательно, экстремалью функционала является функция .

Ответ. .

Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений и граничными условиями x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 3, x 1 (3) = 2, x 2 (3) = 1, где t время (t [0; 3]), фазовый вектор (траектория объекта), u (t ) функция управления объектом.

Требуется найти оптимальное управление объектом u *(t ) и соответствующую ему оптимальную траекторию , если задан критерий качества управления:

Решение.

1. Введем вспомогательный вектор , где неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи:

=

,

где функции это правые части дифференциальных уравнений а подынтегральная функция критерия качества управления .

По условию задачи

Отсюда получаем =.

2. Находим максимум гамильнониана по управлению: , – критическая точка. Вторая производная , следовательно, при достигается максимум гамильнониана по управлению.

3. Составим каноническую систему дифференциальных уравнений, подставив в формулу (8) и частные производные гамильнониана , и решим эту систему. Каноническая система имеет вид:

Общее решение системы находим последовательным интегрированием:

.

Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 3, x 1 (3) = 2, x 2 (3) = 1.

Из первых двух условий получаем:

Подставив эти значения в другие два условия получаем:

Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем , затем

Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:

Ответы : оптимальная траектория , где ; оптимальное управление


Рекомендуемая литература

1. Лихтарников Л. М. Математическая логика / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева.– Санкт-Петербург: Лань, 1998.– 288 с.

2. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: учебное пособие. / В.Н. Нефедов, В.А.Осипова – М. Изд-во МАИ, 1992. – 264 с.

3. Баврин, И.И. Основы высшей математики: учебник / И. И. Баврин.– М.: Высш. шк., 2004.– 520 с.

4. Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский.– М.: Наука, 1986.– 288 с.

5. Краснов М. Л. Вариационное исчисление. / М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев.– М.: Наука, 1973.–192 с.

6. Ланина Н. Р. Дискретная математика: учебное пособие. В 2 ч. Ч.1 / Н.Р. Ланина. – Мурманск: Изд-во МГТУ, 1998. – 123 с.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

8. Сборник задач по математике для втузов: специальные курсы. (Ч. 3). Под ред. А. В. Ефимова. / Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В. Н. Земсков и др.– М.: Наука, 1984.– 608 с.

9. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах: Учебное пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высш. шк., 2003.– 583 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya17:54:28 01 сентября 2019
.
.17:54:27 01 сентября 2019
.
.17:54:27 01 сентября 2019
.
.17:54:26 01 сентября 2019
.
.17:54:25 01 сентября 2019

Смотреть все комментарии (6)
Работы, похожие на Реферат: Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой вм и по 13 февраля 2008 г., протокол №5 Рецензент Кацуба В. С., канд физ мат наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(258700)
Комментарии (3482)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru