Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Правила построения магических квадратов составление магических квадратов

Название: Правила построения магических квадратов составление магических квадратов
Раздел: Остальные рефераты
Тип: реферат Добавлен 06:06:30 08 ноября 2011 Похожие работы
Просмотров: 2445 Комментариев: 6 Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать

ХIII научно-практическая конференция школьников

РЕФЕРАТ

«Магические квадраты»

Ученицы 8 «А» класса

ПТП лицея

Шолоховой Анны

Руководитель Анохина М.Н.

Псков

2008 год


СОДЕРЖАНИЕ.

История создания моей работы………………………………………………2

Магический квадрат.......................................................................3

Исторически значимые магические квадраты...................4-5

КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7

Квадрат Альбрехта Дюрера ...........................................................8

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9

Дьявольский магический квадрат .........................................10-11

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ .....12

СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15

Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18

Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23

БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25

Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27

История создания моей работы .

Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые.

7

8

0

5

Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби.

После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку.
Магический квадрат.

Магический, или волшебный квадрат-это квадратная таблица, заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n .

Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой , М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.

Порядок n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

М(n)

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

1105

Первые значения магических констант приведены в следующих таблице.

Исторически значимые магические квадраты.

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.

Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Рис.1


КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо.

7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков.

Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка.

27

29

2

4

13

36

9

11

20

22

31

18

32

25

7

3

21

23

14

16

34

30

12

5

28

6

15

17

26

19

1

24

33

35

8

10

Квадрат Альбрехта Дюрера

Магический квадрат 4х4, изображенный на гравюре А. Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины(1514)

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.

67

1

43

13

37

61

31

73

7

Рис.3 рис.4

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называют ещё пандиагональными .

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

Рис. 5 рис. 6

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

1

12

7

14

8

13

2

11

10

3

16

5

15

6

9

4

Рис.7

1

8

11

14

12

13

2

7

6

3

16

9

15

10

5

4


Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные.

Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1

15

24

8

17

9

18

2

11

25

12

21

10

19

3

20

4

13

22

6

23

7

16

5

14

ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.

Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число.

Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С.

Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n.

СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.

Каким же образом составляют магические квадраты?

Создание магического квадрата «Ло-Шу».

Задача : Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.

Решение: Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.

Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу».

Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения.


Квадрат

«Ло-Шу»

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Создание магического квадрата

Альбрехта Дюрера.

Задача : Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.

Решение : Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки

Квадрат Альбрехта Дюрера
Судоку.

В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно».

Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность!

Задача: заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась.

Решение: шаг 1

Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

8

7

6

5

1

8

4

4

8

3

1

3

7

4

5

2

Шаг 2

Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая

клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

Шаг 3

Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

-данные числа.

1

9

2

3

6

7

8

4

5

8

3

5

1

2

4

6

9

7

6

4

7

8

9

5

2

3

1

7

8

3

6

5

1

4

2

9

9

2

6

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

9

7

6

3

2

6

9

5

1

8

3

7

4

4

5

8

7

3

2

9

1

6

3

7

1

9

4

6

5

8

2

Чтобы было еще интереснее, можно создать судоку разных уровней сложности:

*-легкий, **- средний, ***- сложный, ****- очень сложный, ****- суперсложный.

Отличие уровней состоит в том, что количество цифр в блоке увеличивается.

Первый - не хватает 2,3 числа.

Второй – 4, третий – 5,4, четвертый – 6,пятый – 6,7.


Какуро

Черные клетки в какуро называются легендой. Они разделены наклонной чертой и содержит одно или два числа. Число в правом верхнем углу относится к прилегающему горизонтальному блоку клеток (А), а в левом нижнем - к вертикальному (Б).

Задача: вписать в пустые клетки цифры от 1 до 9так, чтобы их сумма в блоке соответствовала сумме в легенде. В блоке не могут стоять две одинаковые цифры! Так, число 4 в легенде может стоять только 3 1, а не из цифр 2 и 2.

Шаг 1

Сначала проверьте маленькие суммы – легко разложить на цифры. Начнем с 3.В этом случае комбинации могут быть либо «1+2», либо «2+1». Третьего естественно не дано.

Шаг 2

Числу 4 могут соответствовать комбинации «1+3» или «3+1» (но не 2+2). Значит, в первом поле может стоять только число 1.Теперь мы можем верно заполнить оба блока:»1+2» и «1+3».

Шаг 3

Посмотрим на 4 в последней легенде. Варианты здесь те же: «3+1» и «1+3». Цифра 3 в горизонтальном блоке уже есть, и единственный возможный вариант решения – цифра 1.

Шаг 4

А теперь мы можем заполнить все остальные клетки. Совет: вписывайте в углы клеток возможные комбинации цифр, а по мере заполнения вычеркивайте цифры, которые не входят.

БАНК ЗАДАЧ

№1

(ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА.

Очный тур конкурса « Юный знаток математики»

8 класс, 2007-2008 учебный год.)

В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

№2

число 30

Расставить в клетках четные числа 2,4,6,8,10,1214,16,18так, чтобы в любом направлении получилось в сумме число 30

12

2

16

14

10

6

4

18

8


Выводы

Создавая свою работу, я расширила свои знания о понятии магических квадратов, о правилах их создания, узнала историю, как они создаются, узнала много новых слов, научилась работать с литературой, разгадывать и создавать магические квадраты.


Литература

И.Я. Депман; Н.Я.Виленкин «За страницами учебника математики»

Москва «Просвещение» 1989г.

В.П Трутнев «Считай, решай, отгадывай!» Москва «Просвещение» 1970г.

«Лиза» (кроссворды, судоку, какуро)

№17/2006г.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya17:39:35 01 сентября 2019
.
.17:39:34 01 сентября 2019
.
.17:39:33 01 сентября 2019
.
.17:39:33 01 сентября 2019
.
.17:39:32 01 сентября 2019

Смотреть все комментарии (6)
Работы, похожие на Реферат: Правила построения магических квадратов составление магических квадратов

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(258783)
Комментарии (3487)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru