Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия»

Название: Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия»
Раздел: Остальные рефераты
Тип: учебное пособие Добавлен 03:30:52 30 августа 2011 Похожие работы
Просмотров: 717 Комментариев: 6 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и задания к расчетно-графической работе

по разделу курса высшей математики

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ »

(для студентов специальностей 7.080403

«Программное обеспечение автоматизированных систем»

и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)

Утверждено

На заседании каф.ПМ и И

22 марта 2000 г.

-ДонГТУ-

Донецк - 2000

УДК 517

Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А

– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30

Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .

Составители А.Е. Скворцов , доц .

А.А. Губарев , асс.

Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.

Рецензент

Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ?

Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:

.

Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим

.

По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .

Ответ : ↑↓ и .

Задача 2. Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Решение. Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины :

, .

Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Ответ : искомый вектор имеет вид + .

Задача 3. Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .

Решение. Будем использовать известные условия , .

Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно .

Итак , имеем :

, , ибо ;

.

Из полученных соотношений делаем выводы :

1) векторы и перпендикулярны , если t –2=0 , т.е. t =2 ;

2) векторы коллинеарны , если 2 t +1=0 ,т.е. t =-1/2

, ибо и неколлинеарны .

Замечание. На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ t и 2=- λ . Отсюда t =-1/2.

Ответ : при t =2 ; при t =-0,5 .

Задача 4. Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .

Решение . Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле

,

где , :

.

Итак , , т.е. , где .

Далее , используя второе условие , находим

, , т.е. .

Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .

Замечание. Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ: .

Задача 5. Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .

Решение . Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :

, где - точка , принадлежащая прямой р , - направляющий вектор прямой р . В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :

Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :

.

Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :

, или после упрощения

AD : 7xy + 5 =0 .

Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки:

.

Берем и . Получаем :

или после упрощения

ВС : 2x 11y + 30 = 0 .

Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений

или

Решив ее , например , методом Крамера ,

, ,

получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна

AD = d(A,D) = .

Замечание. Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам

,

.

Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .

2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :

, где .

Имеем в нашей задаче :

АН=.

Уравнение высоты ищем в общем виде :

, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :

АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения

AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .

Замечание. Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :

.

3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :

.

Итак ,

(ед.кв.) .

Замечание. Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .

Задача 6. Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые

и

пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и .

Решение . 1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и

В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :

Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :

.

Отсюда . Параметры найдены .

2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .

Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .

Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ):

, .

Вычислим эти расстояния :

;

;

;

= .

Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :

Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 .

Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) : и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .

Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M ( x , y , z ) . Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .

Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .

1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение

.

Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .

2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t :

или

Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим , откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .

Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : .

После упрощения получим

.

Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .

Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид

,

или после упрощения

α : .

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :

Найдем точку пересечения р и α :

,

откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .

Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений

.

В нашей задач имеем

.

После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника

.

Замечание. Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α , проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β , проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β , то векторы и лежат в β .

Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β . Объединив уравнения плоскостей α и β в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .

Задача 9. Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α : .

Решение . Найдем уравнение проектирующей плоскости β , т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р , и перпендикулярной плоскости α .Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α параллельны плоскости β . Точка и , если - текущая точка β , то вектор лежит в плоскости β . Векторы и - компланарны . Запишем условие этого

.

После упрощения получаем β : . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α , получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :

(1)

Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α и β , будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:

.

Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид

.

Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α как прямой , проходящей через в направлении

.

Задача 10. Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных .

Решение . Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид

(2)

При повороте системы координат на угол α старые координаты точки (x , y ) связаны с новыми известными формулами

После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :

.

Здесь :

Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α необходимо выбрать таким , чтобы , т.е.

.

Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α должен удовлетворять уравнению

.

В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :

Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение

.

Замечание. Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .

Ответ: в новой системе координат линия имеет уравнение .

Задача 11. Уравнение линии привести к нормальному виду .

Решение . Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :

Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :

(3) .

Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а =2 , мнимая b =3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы :

Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения

, т.е. .

Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы

Ответ: нормальное уравнение

Задача 12. Провести касательную q к линии : 1) , параллельную прямой 2) , перпендикулярную прямой 3) через точку М(-5;-4), принадлежащую линии; 4) через точку N(5;-7) .

Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .

Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .

1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой , а именно (т.к. по условию ) . Уравнение касательной запишем в общем виде , а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений

должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим

.

Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие

.

Решая его , находим : Итак , имеется две касательные к , параллельные . Это

и .

2)Уравнение прямой запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : . И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : . А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система

имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b :

.

Откуда . Итак , имеется две касательных к , перпендикулярные :

, .

3)Линия - это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение

.

Из него находим : Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед положительный ) и имеют координаты . Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :

и .

Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :

.

Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :

.

Итак , искомая касательная имеет вид

4)Уравнение касательной будем искать в форме , где , а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае , а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система

имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :

.

Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для . Отсюда : Теперь можно составить уравнения искомых касательных :

и .

Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением

. (4)

Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :

.

В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :

. (5)

Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус и директриса .

Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию , то есть эта линия лежит левее прямой .Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .

Ответ: уравнение определяет восходящую ветвь параболы .

1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место указанное соотношение.

.

.

при всяких значениях и .

2. Найти вектор , удовлетворяющий указанным условиям.

где


где .

где

3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах.

3.19 – 25. Найти проекцию вектора на направление вектора .

4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж.

4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC.

4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA.

4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA.

4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC.

4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA.

4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA.

4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD.

4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника.

4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA.

4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM.

4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD.

4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA.

4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA.

4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD.

4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA.

4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA.

4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC.

4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC.

4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD.

4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA.

4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника.

4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC.

4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC.

4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD.

4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC.

5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее.

5.1. 4x2 – y2 –8x – 4y – 4 = 0.

5.2. x2 + y2 –2x – 4y + 1 = 0.

5.3. 4y2 – 8x – 4y + 9 = 0.

5.4. x2 – 4y2 + 8y + 4 = 0.

5.5. x2 + 2x + 4y – 7 = 0.

5.6. 4x2 + 4y2 – 8x – 24y + 31 = 0.

5.7. x2 + 4y2 + 4x – 8y + 4 = 0.

5.8. x2 – y2 – 6x – 4y + 1 = 0.

5.9. y2 + 8x – 6y + 25 = 0.

5.10. x2 + y2 + 8x + 2y + 1 = 0.

5.11. 4x2 + y2 – 8x + 4y + 4 = 0.

5.12. 4x2 – y2 – 8x – 6y – 9 = 0.

5.13. y2 - 16x + 6y + 25 = 0.

5.14. 2x2 + 2y2 + 16x – 28y + 53 = 0.

5.15. x2 + 9y2 –2x +18y + 1 = 0.

5.16. x2 – 4y2 – 8x +8y + 16 = 0.

5.17. x2 – 4x – 4y + 12 = 0.

5.18. x2 + y2 – 8x + 2y + 16 = 0.

5.19. 9x2 + 4y2 – 18x + 24y + 9 = 0.

5.20. x2 – 9y2 – 8x + 18y – 2 = 0.

5.21. 3x2 + 3y2 – 42x + 6y + 146 = 0.

5.22. y2 + 10x – 10y + 55 = 0.

5.23. 9x2 – 16y2 – 36x + 32y + 164 = 0.

5.24. y2 – 20x – 14y + 37 = 0.

5.25. 9x2 + 16y2 – 18x + 96y + 9 = 0.

6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13. 6.14.

6.15. 6.16.

6.17. 6.18.

6.19. 6.20.

6.21. 6.22.

6.23. 6.24.

6.25.

7.1-8.Провести касательные к линии l , параллельные прямой p.

7.1. l : , p: 2x+y-7=0.

7.2. l : , p: 4x-2y+23=0.

7.3. l : , p: 10x-3y+9=0.

7.4. l : , p: 3x-2y+13=0.

7.5. l : , p: 3x-4y+7=0.

7.6. l : , p: 2x+2y-13=0.

7.7. l : , p: x-y-7=0.

7.8. l : , p: 2x-y+3=0.

7.9-16.Провести касательные к линии l , перпендикулярные прямой p.

7.9. l : , p: x-2y+9=0.

7.10. l : , p: 2x-2y-5=0.

7.11. l : , p: 4x+3y-7=0.

7.12. l : , p: 4x+2y-1=0.

7.13. l : , p: y-2x-4=0.

7.14. l : , p: 3x-2y-6=0.

7.15. l : , p: 5x+2y+8=0.

7.16. l : , p: x+y-17=0.

7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l .

7.17. M(-9;3), l : .

7.18. M( 2;2), l : .

7.19. M(0;-6), l : .

7.20. M(0;11), l : .

7.21. M( 7;0), l : .

7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l .

7.22. l : .

7.23. l : .

7.24. l : .

7.25. l : .

8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении.

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12 )

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21 - пересекаются

8.22 p и q пересекаются

8.23 p и q – пересекаются

8.24

8.25

9. Составить уравнение плоскости и найти расстояние точки N от неё. Выяснить, лежат ли точка N и начало координат по одну или по разные стороны относительно плоскости .

9.1 А.

9.2 .

9.3 .

9.4 линии пересечения плоскостей

.

9.5 .

9.6 .

9.7 .

9.8 .

9.9 .

9.10 проходит через линию пересечения плоскостей

.

9.11 .

9.12

.

9.13 .

9.14 .

9.15 .

9.16 .

9.17 .

9.18 .

9.19 .

9.20 .

9.21 .

9.22 .

9.23 .

9.24 .

9.25

10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов.

10.1 N (-1,2,-3) , p|| q:.

10.2 N (2,2,5) , p ={1,2,0}, ={0,3,7}.

10.3 N (1,0,5) , p||: 3x-y+7z=0 , p пересекается с прямой

q: ==

10.4 N (2,-3,1) , p ={2,1,-1} , p пересекается с прямой q:.

10.5 N (3,1,0) , p|| : x-3y+z-1=0 , p|| : 2x+3y+z+3=0.

10.6 N (4,-3,1) , p|| : x+2y-3z-1=0 , p пересекается с прямой .

10.7 N (5,7,-5) , pq: == , p и q – пересекаются.

10.8 N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q: и r:.

10.9 N (4,1,-3) , p={3,-2,1} , p пересекается с прямой q: ==.

10.10 N (5,7,3) , p пересекается с прямой q:и pq.

10.11 N (7,1,1) , p={3,4,-1} , p||: 2x-3z+6=0.

10.12 N (-2,3,1) , p: 3x+y+3=0 , p||: 2y-z+1=0.

10.13 N (4,2,1) , p={7,1,2} , pq: .

10.14 N (2,3,2) , p: 3x-2y+z-2=0 , p={2,0,1}.

10.15 N (-3,-,5) , p||:2x-3y-z+1=0 , pq:.

10.16 N (1,7,9) , pq: , p и q –пересекаются.

10.17 N (2,-3,-5) , p={2,-1,-3} , pq: .

10.18 N (7,-3,1) , p={1,-1,2} , p пересекается с прямой q:.

10.19 N (-1,2,1) , p={3,5,1} , p ={1,2,2}.

10.20 N (6,3,7) , p:3x-y+z-2=0 , pq: ==.

10.21 N (4,2,2) , pq:, pr:==.

10.22 N (1,1,3) , p|| :2x-3y-z=0 , pq:.

10.23 N (5,0,1) , p||:x-3y+z=0 , p||:2x+3z-1=0.

10.24 N=q , где q:==, :2x+7y-z+0 ,p|| r:.

10.25 N=q , где, : x+2y+z-13=0 , p.

11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью из задачи 9.

12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость .

12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p.

12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости или прямой р .

12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются.

12.16-18.Составить уравнение плоскости ,проходящей через прямую р и параллельную прямой q.

12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q .

12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость .

Список рекомендованной литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с.

2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с.

3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с.

4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с.

5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с.

6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с.

7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с.

Содержание

Часть 1. Решение типовых задач аналитической геометрии……………3

Часть 2. Расчетные задания………………………………………………17

Список рекомендованной литературы…………………………………..30

Учебное издание

Методические указания

и задания к расчетно-графической работе

по разделу курса высшей математики

«Аналитическая геометрия»

(для студентов специальностей 7.080403

«Программное обеспечение автоматизированных систем»

и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)

Составители : Скворцов Анатолий Ефремович

Губарев Андрей Анатольевич

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya16:53:42 01 сентября 2019
.
.16:53:42 01 сентября 2019
.
.16:53:41 01 сентября 2019
.
.16:53:40 01 сентября 2019
.
.16:53:39 01 сентября 2019

Смотреть все комментарии (6)
Работы, похожие на Учебное пособие: Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия»

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(258739)
Комментарии (3486)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru