Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Магические квадраты

Название: Магические квадраты
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 16:46:47 19 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 324 Комментариев: 17 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение гимназия №1 муниципального района Мелеузовский район

Республики Башкортостан

Исследовательская работа

по информатике

«Использование Microsoft Excel

для решения математической задачи –

составление магических квадратов»

Выполнила: Кормакова Яна,

ученица 7А класса

Руководитель: Животова Е.П.

учитель математики и информатики

2009 г.


План

ведение

1. История появления магических квадратов

2. Способы заполнения магических квадратов

3. Реализация способов заполнения магических квадратов с помощью программы MicrosoftExcel.

4. Исследование количества решений поставленной задачи.

5. Выводы

Используемые источники

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Тема исследования : заполнение магических квадратов.

Объект исследования : магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

Задачи исследования:

- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

- изучить известные способы заполнения магических квадратов

- познакомиться с программой Microsoft Excel

- разработать в MicrosoftExcel шаблоны для заполнения магических квадратов

- исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.

Методы исследования : анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. опробация найденных методов

3. изучение программы MicrosoftExcel на уровне необходимом для заполнения квадратов и вычисления их сумм

4. оформление работы

Оборудование:

- компьютер

- проектор для демонстрации презентации

- сопроводительная презентация

- документ MicrosoftExcel с подготовленными шаблонами по различным методам.

1. История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 . Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

рис.1 рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n 2 + 1)/2. Доказано, что n  3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью тадлицы.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

рис.3

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

2. Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера ( сиамский метод) . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

рис.4

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, мы пришли к следующему алгоритму.

1. В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

2. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны. Числа в сроке и столбце не должны повторяться.

3. Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

4. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.



25

24 20
23 6 19 2 15
22 10 18 1 14 22 10
21 17 5 13 21 9 5
16 4 12 25 8 16 4
11 24 7 20 3
6 2
1

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n2 последовательно. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

25
24 20
23 19 15
22 18 14 10
21 17 13 9 5
16 12 8 4
11 7 3
6 2
1

Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку (на n клеток).

Способы заполнения магических квадратов порядка, кратного четырем

Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок кратен 4. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).

2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.

3. Переход между цветами при заполнении происходит, если следующая для заполнения клетка меняет цвет

3. Реализация способов заполнения магических квадратов

с помощью программы Microsoft Excel .

Так как для составления магических квадратов необходимо всегда проверять контрольные суммы по строкам, столбцам и диагоналям, мы пришли к выводу, что этот процесс лучше автоматизировать. Для автоматизации мы выбрали программу Excel.

Используя функцию автосуммирования, мы подготовили шаблоны для вычисления контрольных сумм магических квадратов 3, 5 и 7 порядка по каждому из методов. А для метода Ф.де ла Ира еще и вычисление элементов третьего квадрата, как сумм соответствующих элементов первых двух квадратов.


В ходе экспериментальной части по методу Ф.де ла Ира , мы заметили, что в первых двух квадратах, элементы на ломаных диагоналях равны, и пришли в выводу, что процесс заполнения этих квадратов можно также автоматизировать. Достаточно указать только по одному элементу на каждой из ломаной диагонали.

Также для квадрата заданного порядка однозначны элементы на выделенных главных диагоналях, согласно алгоритму заполнения, поэтому их также можно занести в шаблон заполнения.

Внеся эти дополнения в шаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов:


Теперь достаточно в первом квадрате на главной диагонали (в розовых клетках) разместить элементы с 1 до n. А во втором квадрате в первом столбце (так же в розовых клетках) элементы, кратные порядку квадрата.

В ходе экспериментальной части по способу достраивания до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры, мы заметили, процесс переноса чисел, вышедших за поле квадрата, также можно автоматизировать.

Элементы по диагонали каждый раз увеличиваются на единицу от предыдущего элемента, стоящего в этой диагонали. С учетом этого, достаточно вручную ввести только первые их элементы, а все остальные рассчитать по формулам.

Внеся эти дополнения в шаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов данным способом:

Для построения магического квадрата, в клетки розового цвета внесем первых n чисел, которые при делении на порядок квадрата дают в остатке 1.

Для сиамского метода также можно автоматизировать заполнение и перенос чисел, вышедших за пределы квадрата.

4. Исследование количества решений магических квадратов.

Изучая литературу по теме, мы установили факт, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, нам захотелось экспериментировать: что произойдет, если мы поменяем местами элементы? Получится ли магическая сумма? Получим мы такой же квадрат или другой?

Вот некоторые магические квадраты, полученные методом Ф.де ла Ира.

Можно заметить, что все эти квадраты различны. Это только малая доля из всех возможных квадратов. С помощью программы Excel и подготовленных нами шаблонов, на их построение у нас уходит несколько секунд.


Выводы

1. Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

5. Для квадратов, порядок которых кратен 4 существует способ разбиения на подквадраты порядка 4.

6. Известные методы для заполнения нечетных квадратов можно автоматизировать. Для этого идеально подходит программа Excel.

7. Эффективные шаблоны получаются для двух методов: Ф.де ла Ира и достраивания до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

8. С помощью подготовленных нами шаблонов можно создавать различные магические квадраты для одного и того же порядка.

Перспектива

В литературе есть ссылка, что метод, основанный на двух первоначальных квадратах, можно применить и для заполнения квадратов четного порядка. Экспериментируя, мы не пришли к нужному результату и оставляем это для дальнейшего исследования.


Использованные Интернет-ресурсы и литература:

1. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

2. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm

3. http://ru.wikipedia.org/wiki

4. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya15:33:05 01 сентября 2019
.
.15:33:04 01 сентября 2019
.
.15:33:04 01 сентября 2019
.
.15:33:03 01 сентября 2019
.
.15:33:02 01 сентября 2019

Смотреть все комментарии (17)
Работы, похожие на Реферат: Магические квадраты

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(258448)
Комментарии (3475)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru