Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Название: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 23:40:23 09 июля 2010 Похожие работы
Просмотров: 13 Комментариев: 13 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»

Гомель 2006

Реферат

Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.

Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.

Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Содержание

Введение

Отражающая функция

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий

Общее решение

Заключение

Список использованных источников

Введение

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так:

Пусть первый интеграл системы , (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , , (2). И если, кроме того , где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .


Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(1)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения системы (1) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества


3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными . Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR , есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x(t))t.

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR , представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U


Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство

и

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой

будем рассматривать множество возмущённых систем


где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

Если вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

,

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество


Лемма 2 .

Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению


Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущённая дифференциальная система

,

где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству


Для этого введём функцию по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция является решением задачи Коши

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:


Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему

в которой непрерывные и периодические функции , таковы, что и – нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь и , ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

, (1)

, , , (2)

где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечётная функция, то и

при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть – отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы )+(равно по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5 . Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

(6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:

(7)

Так как - первый интеграл системы (1), то

(8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную в силу системы (2)

и

обозначим её (*).

Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2 .

Лемма

Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы , тогда U , , и .

Доказательство. Возьмём произвольное решение системы . Покажем, что на нём U обращается в постоянную.

Действительно, т. к. отражающая функция, то . По определению функции и т. к. первый интеграл системы , то U .

То, что U очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим по свойству отражающей функции .

Обозначим , так как только функциям из сопоставляет функции из , то и по определению первого интеграла U отлична от и обращается в только вдоль решений системы . А это и означает, что U – первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.

Заключение

В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.

Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

Список использованных источников

1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.

2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.

3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya03:43:45 27 августа 2019
.
.03:43:45 27 августа 2019
.
.03:43:44 27 августа 2019
.
.03:43:43 27 августа 2019
.
.03:43:42 27 августа 2019

Смотреть все комментарии (13)
Работы, похожие на Курсовая работа: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(260279)
Комментарии (3521)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru