Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Решение дифференциального уравнения первого порядка

Название: Решение дифференциального уравнения первого порядка
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 21:54:16 20 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 32 Комментариев: 9 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Сумы, 2005 г.

1. Метод Адамса

Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855г. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова.

Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка

(1)

с начальным условием

(2).

Пусть x(i=0,1,2,….) – система равностоящих значений с шагом h и =. Очевидно, имеем

(3).

В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем

(4)

где .

Подставляя выражение (4) в формулу (3) и учитывая, что dx=hdq, будем иметь

Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса

. (5)

Для начала процесса нужны четыре начальных значения , так называемый начальный отрезок, который определяют исходя из начального условия (2), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта. Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных и составить таблицу разностей.

(6)

Дальнейшие значения (i=4,5,…) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (6).

Для контроля рекомендуется вычислив первое приближение для по формуле

определить , подсчитать конечные разности.

, , (7)

и затем найти второе приближение по более точной формуле

(8)

Если и отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить , а затем, найдя , перевычислив конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти по формуле(8). Поэтому шаг h должен быть таким , чтобы этот пересчёт был излишним.

На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь членом в формуле (8).

Если же расхождение величин и значительно, то следует уменьшить шаг h.

Обычно шаг h уменьшают в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин и, (ji) c шагом , можно просто построить таблицу величин (k=0,1,2…) с шагом . Для кратности введения сокращенные обозначения:

(k=0,1,2…).

На основе формулы (4) будем иметь

, (9)

где . Отсюда, полагая j=i-2 и q=1/2 и учитывая, что , находим

. (10)

Аналогично при j=i-1, q=1/2 из формулы (9) получаем, что аргументу соответствует значение

. (11)

Что касается значений и , то они имеются в старой таблице. После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы. и находим конечные разности:

(k=-3,-2,-1),

(k=-3,-2),

(k=-3,).

Дальше таблица продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (5):

,

(j=0,1,2,…).

Для работы на электронных счётчиках машинах формулу Адамса (5) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что

после приведения подобных членов имеем

,

причём .

2. Методы, основанные на применении производных высших порядков

До сих пор для численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка

(1)

с начальным условием

(2)

мы применяли формулы, в которых явно используется лишь первая производная искомого решения.

Однако если использовать формулы, явно содержащие производные высших порядков от искомого решения, то можно указать методы, дающие более точный результат на данном промежутке без увеличения числа шагов.

Выведем соответствующие формулы, предполагая, что правая часть уравнения (1) дифференцируема достаточное число раз.

Пусть - значения искомого решения y=y(x) и, соответственно, значения его производных первого и второго порядков в точках . Располагая величины

в ряды по степеням h, находим:

Из полученных формул исключим члены, содержащие и .

Для этого вторую формулу умножим на , а третью – на и сложим с первой. Будем иметь:

Таким образом, с точностью до имеем приближённую формулу

(3)

Можно показать, что остаточный член формулы (3) равен где Аналогично имеем:


и

Отсюда

С другой стороны

Поэтому

Таким образом, с точностью до h5 имеем приближённую формулу

(4)


Можно доказать, что остаточный член формулы (4) есть

где

К формулам (3) и (4) присоединим выражения для производных:

(5)

(6)

Процесс численного дифференцирования уравнения (1) при наличии начального условия (2), использющий формулы (3) и (4), происходит следующим образом. Каким-либо методом вычисляем три начальные строки (начальная таблица):

Из формулы (4) при i=2 получаем первое приближение для :

(7)

и, пользуясь формулами (5) и (6), находим для соответствующих производных и их первые приближения:

и .

Второе приближение для определяем при i=2 из формулы (3):

(8)

После этого исправляем значения производных и , подсчитывая их вторые приближения:

и .

Для контроля ещё раз вычисляем по формуле (3) третье приближение значения , используя найденные значения и .

Если шаг h выбран подходящим, то перещёт не даёт нового результата, и в этом случае можно положить

В противном случае следует уменьшить шаг. Аналогично находятся дальнейшие значения при i>3.

Для получения начальных значений и обычно используют метод последовательных приближений или метод Рунге-Кутта, после чего нужные производные и (i=0,1,2) определяются по формулам (5) и (6).

Можна также применить следующий приём: сначала, используя данное начальное значение , непосредственно вычисляем

и .

Тем самым будет заполнена первая строка начальной таблицы .

Далее на основании формулы Тейлера приближённо получаем

и, следовательно, можно будит найти

и .

Пользуясь этими данными, уточняем значение по формуле (3):

и затем перевычисляем значения и . Тем самым заполняем вторую строку начальной таблицы. Аналогично, исходя из второй строки, находим элементы , и последней, третей строки начальной таблицы.

Отметим, что если пересчёты элементов строк дают значительные расхождения, то этот приём не является надёжным. В таком случае следует или уменьшить шаг h вычислений, или же обратиться к более точным методам.

В заключение приведём формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, но требующие вычисления, кроме второй, ещё и третьей производной искомого решения. А именно, используя Формулу Тейлера и употребляя приём, аналогичный указанному выше, получаем формулы

, (11)

где

, и

, (12)

где .


Формула (11) употребляется для нахождения первого приближения ; формула (12) даёт уточнённое значение . Само собой разумеется, что к последним двум формулам целесообразно прибегать тогда, когда форма дифференциального уравнения позволяет сравнительно просто находить вторую и третью производные от искомой функции y.


Приложение

program proizw_w_p;

uses crt;

const epsilon=0.05;

type mas=array[1..100] of real;

nabl=array [1..3] of real;

var i:integer;

x,y,y1,y2:mas;

nabl1,nabl2,nabl3:nabl;

a,h:real;

n:integer;

function f(x, y:real):real;

begin

f:=sqr(x)-sqr(y);

end;

procedure metod(xi, yi, step: real; var rez:real);

var k1, k2, k3, k4:real;

begin

k1:=F(xi,yi);

k2:=F(xi+step/2,yi+k1*step/2);

k3:=F(xi+step/2,yi+k2*step/2);

k4:=F(xi+step,yi+k3*step);

rez:=yi+(step/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)

end;

procedure osn_metod(xi, yi, step:real;var yh22:real;var h:real);

var yh,yh2:real;

begin

repeat

metod(xi, yi,step, yh);

metod(xi, yi, step/2, yh2);

metod(xi, yh2, step/2, yh22);

if abs(yh-yh22)/15>epsilon then step:=h/2;

until abs(yh-yh22)/15<epsilon;

end;

procedure iteraziya(j:integer;xi,h:real);

begin

{первое приближение}

nabl1[1]:=y[j-3]+3*(y[j-1]-y[j-2])+sqr(h)*y2[j-1]-y2[j-2];

{производная первого приближения}

nabl1[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl1[1]);

{вторая производная первого приближение}

nabl1[3]:=2*(xi-nabl1[1]*nabl1[2]);

{второе приближение}

nabl2[1]:=y[j-1]+(h/2)*(y1[j-1]+nabl1[2])+((sqr(h))/12)*(nabl1[3]-y2[j-1]);

{производная второго приближения}

nabl2[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl2[1]);

{вторая производная второго приближения}

nabl2[3]:=2*(xi-nabl2[1]*nabl2[2]);

{третье приближение}

nabl3[1]:=y[j-1]+(h/2)*(y1[j-1]+nabl2[2])-(sqr(h)/12)*(nabl2[3]-y2[j-1]);

{производная третьего приближения}

nabl3[2]:=sqr(xi)-sqr(nabl3[1]);

{вторая производная третьего приближения}

nabl3[3]:=2*(xi-nabl2[1]*nabl2[2]);

end;

procedure solution(h:real);

begin

{==============Метод Рунге-Кута =================================}

a:=0;

i:=1;

y[1]:=1;

while i<4 do

begin

x[i+1]:=a+i*h;

osn_metod(x[i], y[i], h,y[i+1], h);

inc(i);

end;

{======Окончание метода Рунге-Кута =================================}

{============найдем первые и вторые производные===============}

for i:=1 to 3 do

begin

y1[i]:=sqr(x[i])-sqr(y[i]);

y2[i]:=2*(x[i]-y[i]*y1[i]);

end;

{=================================================================}

for i:=4 to n do

begin

iteraziya(i,x[i],h);

if abs(nabl3[1]-nabl2[1])<epsilon

then

begin

y[i]:=nabl3[1];

y1[i]:=nabl3[2];

y2[i]:=nabl3[3];

end

else

begin

h:=h/2;

if keypressed then halt;

solution(h);

end;

end;

end;

BEGIN

{=====================init==========================================}

clrscr;

write('введите количество значений, которые необходимо вычислить n= ');

readln(n);

h:=0.1;

{==================end of init=========================================}

for i:=1 to n do

begin

x[i]:=(i-1)*h;

end;

solution(h);

for i:=1 to n do

begin

write('y[',i,']= ',y[i],' y"[',i,']= ',y1[i],' y""[',i,']= ',y2[i]);

writeln;

end;

writeln('');

writeln('');

write('Press <enter> to exit....');

readln;

END.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Здравствуйте! Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" работа...) - обращайтесь: VSE-NA5.RU Поможем Вам с выполнением учебной работы в самые короткие сроки! Сделаем все быстро и качественно. Предоставим гарантии!
Хильда02:02:50 24 июня 2019
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
FAST-REFERAT.RU15:07:02 07 декабря 2018
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Алексей22:35:48 15 июля 2018Оценка: 5 - Отлично
Я обычно любые готовые работы покупаю на сайте shop-referat.tk , и свои все там же на продажу выставляю, неплохой доп.заработок. А если там не нахожу то уже на referat.gq заказываю и мне быстро делают.
Оксана18:56:56 11 июня 2018Оценка: 5 - Отлично
Хватит париться. На сайте REFERAT.GQ вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую.
Студент03:40:06 10 июня 2018

Смотреть все комментарии (9)
Работы, похожие на Курсовая работа: Решение дифференциального уравнения первого порядка

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(258503)
Комментарии (3477)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru