Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

Название: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 07:57:33 15 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 612 Комментариев: 12 Оценило: 3 человек Средний балл: 4.7 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

методом простых итераций»

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш.

Улан-Удэ

2011 г.
Введение

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы ;

2. итерационные методы .

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

(1)

где:

1. Функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2. Значения f (x ) на концах отрезка имеют разные знаки (f (a ) * f (b ) < 0).

3. Первая и вторая производные f' (x ) и f'' (x ) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b ] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f (x ) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение , обращающее функцию f (x ) в нуль, т.е. такое, что:

называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x ).

Задача нахождения корня уравнения f (x ) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x ) в граничных x = a и x = b точках области ее существования.

Пример 1. Отделить корни уравнения:

f (x ) º x 3 - 6х + 2 = 0.

(2)

Составим приблизительную схему:

x

-3

-1

0

1

3

f(x)

-

-

+

+

-

+

+

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x ) и отметить точки пересечения f (x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

,

(3)

где функции f 1 (x ) и f 2 (x ) - более простые, чем функция f (x ). Тогда, построив графики функций у = f 1 (x ) и у = f 2 (x ), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Рисунок 2.

Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

x lg x = 1.

(4)

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:

lg x=.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0 . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , ..., хn . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится .


Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f (х ) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x ).

(8)

Пусть известно начальное приближение корня х = х 0 . Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

х 1 = j(х 0 ).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

(9)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х ). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х ) с прямой у = х (Рисунок 6, а ).

Рисунок 6.

Отправляясь от некоторой точки А 0 [x 0 , j (x 0 )], строим ломаную А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 ... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу , вершины А 0 , А 1 , А 2 , ... лежат на кривой у= j (х ), а вершины В 1 , В2 , В 3 , …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А 1 и В 1 , А 2 и В 2 , ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х 1 , х 2 , ... корня .

Возможен также другой вид ломаной А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 ... - “спираль” (Рисунок 6, б ). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х ) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х ) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х ) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Рисунок 7.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х ) определена и дифференцируема на отрезке [a, b ], причем все ее значения j (х ) [a , b ].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q < 1

при a < x < b, то: 1) процесс итерации

сходится независимо от начального значени я х 0 I [a , b ];

2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х ) на отрезке [a, b ].

Пример 5. Уравнение

f (x ) = x 3 - x - 1 = 0

(10)

имеет корень x [1, 2], так как f (1) = - 1 < 0 и f (2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

х = х 3 - 1.

(11)

Здесь

j (х ) = х 3 - 1 и j' (х ) = 3х 2 ;

поэтому

j' (х ) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

(12)

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10-2 . Вычисляем последовательные приближения хn с одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в Таблицу 1:

Таблица 1

Значения последовательных приближений xi.

i

0

1

2

3

4

xi

1

1,260

1,312

1,322

1,3243

С точностью до 10-2 можно положить x = 1,324.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya03:20:03 27 августа 2019
.
.03:20:02 27 августа 2019
.
.03:20:01 27 августа 2019
.
.03:20:01 27 августа 2019
.
.03:20:00 27 августа 2019

Смотреть все комментарии (12)
Работы, похожие на Реферат: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(260511)
Комментарии (3522)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru