Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Полиномы Лагерра в квантовой механике

Название: Полиномы Лагерра в квантовой механике
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 03:41:59 13 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 250 Комментариев: 12 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики

Иркутск

2010

Содержание

Введение 3

Глава I . Ортогональные полиномы. 4

1.1. Понятие ортогональных полиномов 4

1.2. Классические ортогональные полиномы 5

1.3. Общие свойства ортогональных полиномов 7

Глава II . Полиномы Лагерра 8

Глава III . Применение полиномов Лагерра в квантовой механике 10

3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. 10

3.2. Переход в осцилляторе 12

Заключение 13

Используемая литература 14

Приложение 15

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Axk yl ...wm где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а0 хn + а1 хn -1 + ... + аn -1 х + аn .

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби, Эрмита, Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида

где - полином степени не выше 2, - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.

Глава I . Ортогональные полиномы

1.1.Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале (а, b)

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином рn (х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов рn (х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где Аn - нормировочная постоянная, - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить свойства Ортогональных полиномов.

1.2.Классические ортогональные полиномы.

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа yn (z) являются решениями уравнения . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где Bn – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):

где – некоторые постоянные.

В зависимости от вида функции получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть

Тогда

Соответствующие полиномы yn (z) при называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть Тогда

Полиномы yn (z) при называются полиномами

Эрмита и обозначаются

3.Пусть Тогда

Полиномы yn (z) при называются полиномами Лагерра и обозначаются :

1.3.Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени qn (x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов pn (x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома

где - некоторые постоянные

Глава II . Полиномы Лагерра

В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра:

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по Формуле Родрига

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

предопределив первые два полинома как:

Обобщенные полиномы Лагерра.

где:

· ** — главное (радиальное) квантовое число;

· *** — орбитальное (азимутальное) квантовое число.

Обобщённые полиномы Лагерра являются решениями уравнения:

так что .

Глава III . Применение полиномов Лагерра в квантовой

механике .

Многочлены Лагерра нашли свое применение в квантовой механике:

3.1.В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции).

Разложение волновой функции на множители, каждый из которых зависит либо от радиальной, либо от угловых координат, позволяет разбить общее условие нормировки

на два: по радиальной координате

и по угловым:

.

Для справочных целей выпишем полные выражения для нормированных волновых функций. Сумма может быть выражена через так называемую гипергеометрическую функцию. Радиальная часть волновой функции с учётом условия нормировки равна

Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера):

которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через обобщённые полиномы Лагерра :

3.2.Переход в осцилляторе .

Расчет переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии () на другой (). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой:

,

где функция определяется как:

,

а — полиномы Лагерра.

Заключение

В данной работе были рассмотрены полиномы - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения переходов в осцилляторе под действием внешней силы.

Используемая литература

1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984

2. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979

3. Фок. Начало квантовой механики.

Приложение

* Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу

** Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Характеризует энергию электронов, занимающих данный энергетический уровень. Является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовые числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). Главное квантовое число характеризует энергию электрона. Оно обозначается как n. При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона.

Наибольшее число электронов на энергетическом уровне, с учетом спина электрона определяется по формуле

*** Орбитальное квантовое число (азимутальное) - определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме, то есть форму электронного облака и определяет энергетический подуровень данного энергетического уровня.

Связано с n -главным (радиальным) квантовым числом соотношением:


* см. приложение

** см. приложение

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya02:58:10 27 августа 2019
.
.02:58:09 27 августа 2019
.
.02:58:08 27 августа 2019
.
.02:58:07 27 августа 2019
.
.02:58:06 27 августа 2019

Смотреть все комментарии (12)
Работы, похожие на Реферат: Полиномы Лагерра в квантовой механике

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(260322)
Комментарии (3521)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru