Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Матриці дії над ними Обернена матриця Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь т

Название: Матриці дії над ними Обернена матриця Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь т
Раздел: Рефераты по астрономии
Тип: реферат Добавлен 16:46:16 27 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 175 Комментариев: 12 Оценило: 3 человек Средний балл: 4.7 Оценка: неизвестно     Скачать

Пошукова робота

на тему:

Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок.

П лан

  • Матриці, дії над ними.
  • Обернена матриця.
  • Ранг матриці.

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

Матриці

1. Матриці, дії над ними

Числа (функції) називаються елементами матриці , причому перший індекс - номер рядка, а другий - номер стовпчика.

Якщо матриця має лише один рядок (стовпчик), то вона називається вектором-рядком (вектором-стовпчиком). Матриця, що містить лише один елемент, ототожнюється з цим елементом. Якщо в матриці всі елементи є нулями, вона називається нульовою. Матриця , рядками якої є стовпчики матриці , називається транспонованою по відношенню до матриці . Транспонована матриця позначається символом , тобто . Матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , називається квадратною.

Квадратна матриця , в якої всі діагональні елементи є одиниці, а решта елементів – нулі, називається одиничною

.

Дві матриці називаються однотипними, якщо в них кількість рядків та стовпчиків відповідно однакові.

Дві однотипні матриці називаються рівними, якщо в них відповідні елементи рівні.

Сумою (різницею) двох однотипних матриць і називається матриця, однотипна з даними, а кожний її елемент з сумою (різницею) відповідних елементів даних матриць.

Відносно до дій над однотипними матрицями, як і для чисел, залишаються вірними переставний закон додавання двох матриць, сполучний закон додавання для трьох матриць.

Якщо і - числа, і - однотипні матриці, то вірні такі дії:

де - нульова матриця.

Множення матриці на матрицю можливе лише тоді, коли кількість стовпчиків матриці дорівнює кількості рядків матриці . Якщо перша матриця має рядків і стовпчиків, а друга - рядків і стовпчиків, то множення можливе, якщо .

Помножимо кожний рядок матриці на кожний стовпчик матриці Одержані добутків запишемо у вигляді матриці розміром А саме, кожний стовпчик матриці складемо із добутків всіх рядків матриці на відповідний стовпчик матриці Довільний рядок складається із добутків рядка матриці яка має той же номер, на всі стовпчики Таким чином, елементи матриці обчислюються за формулами

Приклади .

1) 2)

3)

4)

Множення матриць не є комутативним. Це означає, що від

перестановки множників може змінитись добуток, тобто

.

Приклади.

1)

Якщо , і - матриці і -число, то вірні такі властивості:

(доводиться безпосереднім множенням).

.

.

Оскільки множення матриць некомутативне, то вводяться поняття “множення даної матриці на матрицю зліва”, тобто ; ”множення матриці на матрицю справа”, тобто .

З правил множення матриць випливає, що квадратні матриці можна перемножувати у довільному порядку. Але це ще не означає, що результат множення буде одним і тим же. Дві матриці і , для яких , називаються комутативними.

Для однотипних квадратних матриць і вірні такі твердження:

,

тобто визначник добутку двох однотипних квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.

Матриця, у якої відмінні від нуля лише елементи, що знаходяться на діагоналі, називається діагональною. При цьому не обов’язково, щоб всі діагональні елементи були відмінними від нуля, деякі з них можуть бути і нулями. Для одиничної матриці і однотипної їй матриці вірне таке твердження:

.

Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (або стовпчиків, або діагональних елементів).

Введемо такі нові поняття, що відносяться до теорії матриць.

Матриця називається неособливою (несингулярною, невиродженою), якщо . Якщо , матриця називається особливою (сингулярною, виродженою).

2. Обернена матриця

Для даної квадратної матриці вводяться поняття оберненої матриці. Її позначають символом .

Матриця (якщо вона існує) називається оберненою по відношенню до даної матриці , якщо

,

де - одинична матриця того ж порядку, що й .

Теорема. Для даної матриці обернена матриця є єдиною, якщо вона існує.

Д о в е д е н н я. Справді, якщо для матриці існує ще одна матриця , обернена по відношенню до , то . Звідси випливає, що . Цю останню рівність помножимо справа на . Тоді матимемо

,

тобто матриця збіглася з . Теорему доведено.

Теорема. Всяка неособлива квадратна матриця має обернену матрицю.

Д о в е д е н н я. Нехай неособлива матриця і - так звана приєднана (союзна) матриця по відношенню до матриці , тобто , де - алгебраїчні доповнення до елементів матриці .

Розглянемо

;

Отже,

,

тобто матриця обернена. Теорема доведена.

Звертаємо увагу читача на закон складання оберненої матриці.

Щоб одержати матрицю , потрібно:

1) транспонувати матрицю ;

2) кожний елемент матриці замінити відповідним алгебраїчним доповненням;

3) обчислити визначник матриці ;

4) кожний елемент добутої в п.2 матриці поділити на .

Приклад 1. Довести, що .

Д о в е д е н н я. Очевидно, що . Помножимо ліву і праву частини останньої рівності на зліва, тобто

Знову останню рівність помножимо на зліва, тобто

,

що і треба було довести.

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

Р о з в ’ я з о к. Транспонуємо матрицю :

Обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

Обчислимо визначник матриці (або ):

Тепер, об’єднавши пп..2 і 4, запишемо

Перевірка:

Отже , обернена матриця знайдена вірно.

Дійсна квадратична матриця називається ортогональною , якщо виконується умова

.

Приклад 3. Довести, що , якщо - ортогональна матриця.

Д о в е д е н н я. Із умови ортогональної матриці одержуємо

Із правила множення матриць випливає, що це множення виконується точно так само, як і множення визначників. Тому

.

Звідси , що і треба було довести.

3. Ранг матриці

Визначення мінору го порядку матриці дано в п.1.1. Розглянемо матрицю

Означення. Базисним мінором матриці називається мінор порядку якщо він відмінний від нуля, а всі мінори го порядку дорівнюють нулю або мінорів го взагалі немає, тобто співпадає з меншим із чисел або

Очевидно, що в матриці може бути декілька різних базисних мінорів. Всі базисні мінори мають один і той же порядок. Дійсно, якщо всі мінори го порядку дорівнюють нулю, то і всі мінори го, а, значить, і всіх вищих порядків дорівнюють нулю. Це стає ясним, якщо застосувати означення детермінанта до якого-небудь мінору го порядку (всі доповнюючі мінори елементів його першого рядка є мінорами го порядку матриці а тому рівні нулю).

Рядки і стовпчики, на перетині яких розташований базисний мінор, назвемо базисними рядками і стовпчиками.

Означення. Рангом матриці називається порядок базисного мінору, або, інакше, найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори.

Нульова матриця має ранг, що дорівнює нулю.

Ранг матриці позначатимемо

Перебирати всі мінори в пошуках базисного, якщо розміри матриці немалі, - задача, що пов’язана з великими обчисленнями. Але ми можемо користуватися таким правилом: якщо ми знайшли деякий мінор го порядку, що відмінний від нуля, то не потрібно шукати серед всіх мінорів го порядку той, який відмінний від нуля, а тільки ті мінори го порядку, що обрамляють мінор го порядку, тобто ті, які містять даний мінор го порядку.

Ми приведемо без доведення деякі теореми, що будуть використовуватися надалі.

Теорема 1. В довільній матриці кожний рядок є лінійною комбінацією базисних рядків, а кожний стовпчик – лінійною комбінацією базисних стовпчиків.

Теорема 2. Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпчиків) в цій матриці.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Olya02:44:47 27 августа 2019
.
.02:44:47 27 августа 2019
.
.02:44:46 27 августа 2019
.
.02:44:45 27 августа 2019
.
.02:44:45 27 августа 2019

Смотреть все комментарии (12)
Работы, похожие на Реферат: Матриці дії над ними Обернена матриця Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь т

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(259890)
Комментарии (3518)
Copyright © 2005-2020 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru