Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364139
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21319)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8692)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов

Название: Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 13:13:45 20 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 81 Комментариев: 12 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

на тему:

«Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов»

Сумы, 2005

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


Теоретические данные

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами ajk , а --вектор с компонентами x1 , x2 ,…, xn Каждому собственному значению λi соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению λi , называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицуA

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрицаимеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А(1) , в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А(1) преобразовывается на подобную к ней матрицу А(2) , в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А(1) умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А(2) имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А( j ) находятся по элементам матрицы А( j -1 ) также, как мы находили элементы матрицы А(2) по элементам А(1) . При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А( j ) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А( j ) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А( j ) ,приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А( j ) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,vi ), где А-исходная матрица, vi -собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня vi .

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файлdanil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.

Программная реализация

Программный кодпрограммы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,n];

a[k,n]:=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[n,j];

a[n,j]:=a[e,j];

a[e,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,n];

a[k,n]:=a[k,e];

a[k,e]:=z;

end;

goto 1;

end;

end;

end;

1:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M[i,j]:=0

else M[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1[i,j]:=0

else M1[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=-a[i+1,n]/a[1,n]; end

else begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=1/a[1,n]; end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

end;

end;

2:

end;

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a[',i,j,']=');

Readln(A[i,j]);

end;

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o[i]:2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t[i]<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p[jj]:2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

end;

end.


Получение формы Жордано: form . exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S,R,R1,A1:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u,n1:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,n];

a[k,n]:=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[n,j];

a[n,j]:=a[e,j];

a[e,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,n];

a[k,n]:=a[k,e];

a[k,e]:=z;

end;

goto 1;

end;

end;

end;

1:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M[i,j]:=0

else M[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1[i,j]:=0

else M1[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=-a[i+1,n]/a[1,n]; end

else begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=1/a[1,n]; end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

end;

end;

2:

end;

procedure ObrMatr(A:mas;Var AO:mas; n:byte);

const e=0.00001;

var i,j:integer;

a0:mas;

procedure MultString(var A,AO:mas;i1:integer;r:real);

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A[i1,j]:=A[i1,j]*r;

AO[i1,j]:=AO[i1,j]*r;

end;

end;

procedure AddStrings(var A,AO:mas;i1,i2:integer;r:real);

{Процедура прибавляет к i1 строке матрицы ai2-ю умноженную на r}

var j:integer;

begin

for j:=1 to n do

begin

A[i1,j]:=A[i1,j]+r*A[i2,j];

AO[i1,j]:=AO[i1,j]+r*AO[i2,j];

end;

end;

function Sign(r:real):shortint;

begin

if (r>=0) then sign:=1

elsesign:=-1;

end;

begin {начало основной процедуры}

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

a0[i,j]:=A[i,j];

for i:=1 to n do

begin{К i-той строке прибавляем (или вычитаем)

j-тую строку взятую со знаком i-того

элемента j-той строки. Таким образом,

на месте элемента a[i,i] возникает сумма

модулей элементов i-того столбца (ниже i-той строки)

взятая со знаком бывшего элемента a[i,i],

равенство нулю которой говорит о несуществовании

обратной матрицы }

for j:=i+1 to n do

AddStrings(A,AO,i,j,sign(A[i,i])*sign(A[j,i])); { Прямой ход }

if (abs(A[i,i])>e) then

begin

MultString(a,AO,i,1/A[i,i]);

for j:=i+1 to n do

AddStrings(a,AO,j,i,-A[j,i]);

end

elsebeginwriteln('Обратной матрицы не существует.');

halt;

end

end;{Обратный ход:}

if (A[n,n]>e) then begin

for i:=n downto 1 do

for j:=1 to i-1 do

begin

AddStrings(A,AO,j,i,-A[j,i]);

end; end

elsewriteln('Обратной матрицы не существует.');

end;


procedure EdMatr(Var E:mas; n:byte);

var i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>j then E[i,j]:=0 else E[i,i]:=1;

end;

{procedure UmnogMatr(A,F:mas; Var R:mas; n:byte);

Var s:real;

l,i,j:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

s:=0;

for l:=1 to n do

s:=s+A[i,l]*F[l,j];

R[i,j]:=s;

end;

end; }

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

n1:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a[',i,j,']=');

Readln(A[i,j]);

A1[i,j]:=A[i,j];

end;

end;

q:=1;

x:=0;

dan(ww,a);

for i:=1 to q-1 do

writeln('Koren` har-ogo ur-iya=',o[i]:2:2);

writeln;

i:=ww+1;

if (x=1)or(x>1) then

begin

for v:=1 to x do

begin

tt:=0;

repeat

tt:=tt+1;

i:=i-1;

until t[i]<>false;

write('l^',tt,' + ');

for jj:=ww downto i do

begin

tt:=tt-1;

write(-p[jj]:2:2,'*l^',tt,' + ');

end;

ww:=i-1;

writeln;

end;

end;

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

read(R[i,j]);

readln;

end;

EdMatr(R1,n1);

ObrMatr(R,R1,n1);

Umnogenie(R1,A1,n1,A);

Umnogenie(A,R,n1,M1);

for i:=1 to n1 do

begin

for j:=1 to n1 do

write(' ',M1[i,j]:2:3,' ');

writeln;

end;

end.

Анализ программы

Протестируем работу программы на примере. Пусть имеем матрицу А

Характеристический полином имеет вид:

Собственные числа 20.713, 4.545, 2.556, -5.814

Собственные векторы , ,,

Список используемой литературы

Я.М.Григоренко, Н.Д.Панкратова «Обчислювальні методи» 1995р.

В.Д.Гетмнцев «Лінійна алгебра і лінійне програмування»2001р.

Д.Мак-Кракен, У.Дорн «Программирование на ФОРТРАНЕ» 1997г.

http://alglib.manual.ru/eigen/danilevsky.php

http://doors.infor.ru/allsrs/alg/index.html

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Делаю рефераты, курсовые, контрольные, дипломные на заказ. Звоните или пишите вотсап, телеграмм, вайбер 89675558705 Виктория.
17:36:15 17 октября 2021
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
06:35:12 12 сентября 2021
Ребятки, кто на FAST-REFERAT.RU будет заказывать работу до 26го мая - вводите промокод iphone, и тогда будете учавствовать в розыгрыше iphone xs)) сам только что узнал, что у них такие акции бывают (п.с. кстати не удивляйтесь что вас перекидывает на сайт с другим названием, так и должно быть)
FAST-REFERAT.RU18:45:23 23 мая 2019
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
FAST-REFERAT.RU10:36:57 07 декабря 2018
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Алексей21:56:16 15 июля 2018Оценка: 5 - Отлично

Смотреть все комментарии (12)
Работы, похожие на Курсовая работа: Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(285891)
Комментарии (4147)
Copyright © 2005-2021 BestReferat.ru support@bestreferat.ru реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru