ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Математическое моделирование работы систем массового обслуживания
Задание
Вариант 1.
Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.
На основе расчета функциональных характеристик СМО определить:
– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку;
– процент времени, когда используется только один из насосов;
– процент времени использования двух насосов;
– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;
– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции.
массовый обслуживание транспорт автомобильный
Функциональные характеристики СМО
Характеристика
|
Описание
|
Значение
|
l |
интенсивность входного потока заявок |
20 |
m |
интенсивность обслуживания |
10 |
|
относительная нагрузка на систему |
2,00000 |
эфф
|
эффективная интенсивность поступления заявок в систему |
13,3333 |
Lq
|
среднее число заявок в очереди |
2,00000 |
Ls
|
среднее число находящихся в системе заявок |
3,73333 |
Wq
|
средняя продолжительность пребывания заявки в очереди |
0,11538 |
Ws
|
средняя продолжительность пребывания заявки в системе |
0,21538 |
p0
|
вероятность состояния S0
|
0,06667 |
p1
|
вероятность состояния S1
|
0,13333 |
P2
|
вероятность состояния S2
|
0,13333 |
P3
|
вероятность состояния S3
|
0,13333 |
P4
|
вероятность состояния S4
|
0,13333 |
P5
|
вероятность состояния S5
|
0,13333 |
P6
|
вероятность состояния S6
|
0,13333 |
P7
|
вероятность состояния S7
|
0,13333 |
Интерпретация полученных результатов.
– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку = pc
+
m
= p7
= 13,33%
– процент времени, когда используется только один из насосов = p1
= 13,33%
– процент времени использования двух насосов = p2
+ … +p7
= 80%
– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 – p7
= 86,67%
– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции = Ws
= 0,21538 ч. = 13 минут
Контрольные вопросы:
1. Из каких основных компонентов состоит СМО?
Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).
Основными компонентами СМО являются два потока событий:
1) входной
поток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своей интенсивностью l (средним количеством клиентов, поступающих в систему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательными поступлениями tпост
;
2) выходной
поток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания m (средним количеством обслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностью обслуживания tобсл
.
Для СМО разомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределению Пуассона, в качестве исходных данных
для расчета функциональных характеристик используются:
· интенсивность входного потока заявок l;
· интенсивность обслуживания m;
· количеством параллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;
· максимальная емкость очереди m;
· мощность источника заявок f.
2. Какие бывают СМО?
Состоянием системы называется число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявки могут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать в очереди.
Если максимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживания оказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m = ¥) пришедшая заявка при невозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длине очереди и продолжительности времени ожидания.
По способу отбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплины очереди:
1) первым пришел – первым обслуживается (FCFS);
2) последним пришел – первым обслуживается (LCFS);
3) случайный отбор заявок (SIRO);
4) ограничено время пребывания заявки в очереди;
5) с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньше обычных).
По числу каналов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. Многоканальные СМО разделяют:
· по характеристикам каналов – на однородные и неоднородные СМО;
· по расположению каналов – на СМО с параллельным и последовательным расположением сервисов.
В некоторых СМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уже находящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очереди является следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки на обслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа) интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.
3. Как определить основные функциональные характеристики СМО?
Наиболее употребляемыми функциональными характеристиками
стационарных СМО являются следующие:
· pотк
– вероятность отказа в обслуживании (средняя доля заявок, получивших отказ в обслуживании):
– для СМО с отказами
;
– для СМО с неограниченной очередью
pотк
= 0;
· q – относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятность обслуживания)
q = 1 – pотк
;
· – относительная нагрузка на систему
r = l / m;
· эфф
– эффективная интенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способность системы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)
· Lq
– среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):
– для СМО без очереди
Lq
= 0;
– для СМО с ограниченной очередью
– для СМО с неограниченной очередью
;
· Ls
– среднее число находящихся в системе заявок
· Wq
– среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в очереди
· Ws
– среднее время (средняя продолжительность) пребывания заявки в системе
·
– среднее количество занятых средств обслуживания
;
· pn
– вероятность того, что в системе находится n заявок
– для СМО с отказами
;
;
– для СМО с неограниченной очередью
;
В ходе работы я научилась определять количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания.
|