БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра сетей и устройств телекоммуникаций
РЕФЕРАТ
На тему:
«Дисциплины обслуживания вызовов. Простейшая модель обслуживания»
Минск, 2008
Дисциплины обслуживания вызовов
Поступающие потоки сообщений могут обслуживаться без потерь и с потерями. В первом случае для передачи каждого сообщения немедленно представляется требуемое соединение, а вот втором – часть сообщений получает отказ в обслуживании, или обслуживание их задерживается на некоторое время.
Обслуживание с явными потерями
предполагает, что сообщение и соответствующий ему вызов при получении отказа в немедленном соединении полностью теряются и на обслуживание больше не поступают.
Обслуживание с условными потерями
предполагает, что большинство вызовов получает немедленное обслуживание, а другие обслуживаются с задержкой сверх допустимого срока.
Обслуживание с условными потерями может быть организовано по системе с ожиданием соединения и с повторными вызовами.
На практике целесообразно использовать обслуживание с потерями для систем с коммутацией каналов (рис. 1).Рис. 1 Классификация дисциплин обслуживания
Модель с явными потерями
На вход КС поступает входящий поток вызовов, к выходам подключаем пучок исходящих линий емкостью  , это означает, что одновременно система может обслужить только входящих вызовов (рис. 2).
Рис.5 Модель с потерями
Если через  обозначить число вызовов, находящихся на обслуживании в момент  , то данную дисциплину обслуживания с потерями можно описать так: поток вызовов, поступающий в состоянии , причем  , получает немедленное обслуживание.
При  вызов получает отказ и больше на обслуживание не поступает. Вызов и связанное с ним информационное сообщение теряются.
Характеристики качества обслуживания
Для систем с явными потерями качество обслуживания оценивается с помощью вероятности потерь сообщений. Различают потери по времени ( ) и потери по вызовам ( ).
Вероятность потерь по вызовам  - это отношение математического ожидания, потерянных вызовов  к математическому ожиданию поступивших  .
Вероятность потерь по вызовам совпадает с вероятностью явной потери поступившего сообщения.
Вероятность потерь по времени  характеризует вероятность занятости всех доступных данному источнику соединительных путей требуемых в данном направлении.
 
На практике потери по времени определяют как долю конечного интервала наблюдения  в течение которой заняты все каналов обслуживания:
Таким образом характеризует потенциальную возможность потери вызова в промежутке  .
Как связаны эти 2 две величины и ?
Рассмотрим систему с N ресурсами (соединительных линий, каналов). Измерим время, в течение которого все ресурсы заняты, и отнесем к рассматриваемому периоду. Это может быть числом минут (или секунд) в данном часе, когда заняты все линии. Эта доля дает оценку вероятности того, что все N ресурсов заняты, которая и является вероятностью потерь по времени или вероятностью блокировки системы - .
В качестве другой возможной меры перегрузки подсчитаем общее число вызовов, поступающих в течение достаточно длительного промежутка времени, и отметим те из них, которые оказались потерянными из-за нехватки ресурсов. Вызовы теряются, если в момент его поступления все N исходящих каналов оказались занятыми. Отношение числа потерянных вызовов к их общему числу, поступивших в течение времени наблюдения, дает оценку вероятности потерь , или потерь по вызовам.
Для того чтобы связать эти две величины, воспользуемся следующим подходом.
Пусть  - условная вероятность того, что вызов поступает, когда система заблокирована (т.е. все N каналов заняты). Пусть  - безусловная вероятность поступления вызова. Вероятность поступления вызова , умноженная на вероятность того, что поступающий вызов застает систему в заблокированном состоянии, должна быть равна вероятности того, что система заблокирована, умноженной на вероятность  того, что вызов поступает, когда система заблокирована. В результате получаем:
 ,
Если условная вероятность не зависит от блокирующего состояния системы, т.е. если =, то =.
Пропускная способность системы
Под пропускной способностью коммутационной системы понимается интенсивность обслуженной коммутационной системой нагрузки при заданном качестве обслуживания в рассматриваемый промежуток времени, т.е. вероятности потерь вызовов в системе с явными потерями.
Пропускная способность системы зависит от:
· свойств поступающего потока вызовов;
· закона распределения времени обслуживания;
· структуры, емкости коммутационной системы;
· дисциплины обслуживания;
· нормы качества обслуживания.
Простейшая модель обслуживания
Рассмотрим модель обслуживания, показанную на рис. 3.
Рис. 3 Модель однолинейной системы обслуживания
Вызовы поступают случайным образом со средней интенсивностью  и обслуживаются со средней скоростью  . Параметр  называется средней продолжительностью занятия.
Если интенсивность поступления вызовов приближается к скорости обработки вызовов , то и поступление последующих вызовов будет заблокировано.
Таким образом стабильность работы системы обеспечивается при <. Введем параметр  - коэффициент использования канала (линии), который определяется как отношение нагрузки системы к ее пропускной способности. Таким образом для существования равновесия необходимо, чтобы интенсивность поступлений или нагрузка системы должна быть меньше ее интенсивности обслуживания , т.е. <1.
Если это условие нарушается, то система не будет работать стабильно.
Поступающие на вход системы массового обслуживания требования (заявки, запросы) образуют поток дискретных событий, полностью определяемый множеством моментов времени их поступления  . Для детерминированного потока значения tn
задаются таблицей или формулой. На практике этот поток случайный и значения моментов поступления запросов есть значения случайной величины, задаваемой функциями распределения вероятности tn
либо интервала между поступлениями Dt
:  .
В зависимости от вида функции распределения вероятности потоки требований наделяют соответствующими названиями. В общем случае случайные потоки можно классифицировать по наличию или отсутствию трех основных свойств: стационарности, последействия и ординарности.
Стационарность -
независимость вероятностных характеристик от времени. Так вероятность поступления определенного числа требований в интервал времени длиной t
для стационарных потоков не зависит от выбора начала его измерения.
Последействие -
вероятность поступления требований в интервале (t1,
t2
)
зависит от событий, произошедших до момента t1
.
Ординарность -
вероятность поступления двух и более требований за бесконечно малый интервал времени Δt
есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем Δt
.
К основным характеристикам случайных потоков относят ведущую функцию, параметр потока и интенсивность потока.
Ведущей функцией потока
 называют математическое ожидание числа требований в промежутке времени (0,t).
Параметр потока
вместе с интенсивностью потока являются важнейшими характеристиками темпа поступления требований. Это плотность вероятности поступления требований в момент времени t
и характеризуется тем, что вероятность поступления хотя бы одного требования в бесконечно малом промежутке времени пропорциональна с точностью до бесконечно малой более высокого порядка длине этого промежутка.  . Откуда:
.
Для стационарного потока параметр потока постоянный и равен:
 .
Интенсивность потока учитывает возможную неординарность потока, т.е. одновременно поступающие требования и определяется как математическое ожидание числа вызовов в единицу времени в данный момент. Для ординарных потоков интенсивность потока и есть его параметр.
Пуассоновский (простейший) поток запросов
Стационарный ординарный поток без последействия называют простейшим. Он задается набором вероятностей Pi
(t)
поступления i
требований в промежутке длиной t
.
Можно показать, что при этих предположениях формула для P
i
(t) дается формулой Пуассона (Poisson)
:
 .
Проанализируем основные характеристики пуассоновского потока. Рассмотрим отношение Pi
(t)/Pi-1
(t).
При i ≤ λt
вероятность растет, а при обратном соотношении – убывает. Графики функции распределения Пуассона в зависимости от величины λt
для различных значений k
приведены на рис. 4.
Рис. 4 Графики Пуассоновского распределения в зависимости от lt для различных k.
Наряду с распределением Pi
(t)
используют вероятности поступления не менее i
требований в интервал t
или не более i
требований за время t
:
Если рассмотреть закон распределения вероятностей промежутка между поступлением соседних требований τ
, то можно показать, что
 .
Дифференцируя, получаем плотность распределения вероятностей:  .
Случайная величина с такой плотностью вероятностей называется экспоненциально - распределенной
(с показательным распределением). Математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины равно
 ,
а дисперсия и среднеквадратическое отклонение соответственно будут равны:
 ,
 .
Определим математическое ожидание и дисперсию числа требований за промежуток t
:
 ,
 .
Одним из важных свойств пуассоновского потока является аддитивность.
Если образовать поток заявок как объединенный из нескольких пуассоновских потоков, то его суммарная интенсивность будет равна сумме интенсивностей каждого отдельного потока  .
При разъединении пуассоновского потока на несколько потоков так, что каждое требование исходного потока с вероятностью p
i
(
Sp
i
=
1)
поступает на i-
тоенаправление, поток i
направления будет также пуассоновским с интенсивностью lp
i
.
Это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени существует конечный параметр потока λ(t).
Пусть Pi
(t0
,τ)
– вероятность поступления i
-требований за интервал [t0
,t0
+τ
], которая определяется формулой:
 , где  .
Этот параметр имеет смысл среднего числа требований на промежутке [t0
,t0
+τ]. Средняя интенсивность определяется как:  .
Выбором закона изменения λ(t)
можно описать реальные потоки заявок на АТС (например, отразить наличие ЧНН).
Стационарный поток без последействия.
Это неординарный (групповой) пуассоновский поток. События
– моменты вызовов
, представляют собой простейший пуассоновский поток с параметром λ
. В каждый момент времени ti
с вероятностью pl
поступает группа из l ( l
= 1,2
,…r
) одинаковых заявок. Величинаl
–
характеристика неординарности. Обозначим параметр al
= λpl
. Вероятность поступления k
требований в промежутке времени длиной t
:
 .
Суммирование в этой формуле производится по всем j
, удовлетворяющим соотношению:  .
Это означает, что любой неординарный пуассоновский поток можно представить как k
независимых неординарных пуассоновских потоков с постоянной характеристикой неординарности l
и соответствующими параметром al
и интенсивностью lal
.
Параметр неординарного потока определяется как:  ,
а интенсивность такого потока :  .
В качестве одного из примеров применения неординарного потока можно привести пуассоновский поток с неординарными заявками, т.е. использующим для своего обслуживания l
серверов. В сотовой системе связи в том случае, когда происходит звонок с мобильного телефона на телефоны не расположенные в зоне обслуживания одной базовой станции или на телефоны городской сети, требование обслуживается одним сервером – голосовым каналом, а при осуществлении звонка на мобильный телефон, обслуживаемый одной и той же базовой станцией требуется сразу два сервера – голосовых канала. Следовательно, поток вызовов от мобильных телефонов может рассматриваться как неординарный с характеристикой неординарности равной двум.
Литература
1. Л.Н. Волков, М.С. Немировский, Ю.С. Шинаков. Системы цифровой радиосвязи: базовые методы и характеристики. Учебное пособие.-М.: Эко-трендз, 2005.
2. М.В. Гаранин, В.И. Журавлев, С.В. Кунегин. Системы и сети передачи информации. - М.: Радио и связь, 2001.
3. Н.В. Захарченко, П.Я. Нудельман, В.Г. Кононович. Основы передачи дискретных сообщений. –М.: Радио и связь, 1990.
4. Дж. Прокис. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2000.
5. Скляр. Цифровая связь. - М.: Радио и связь, 2001.
|
