Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

Название: Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 11:05:02 12 июня 2008 Похожие работы
Просмотров: 300 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Предположим, что существует множество R, на котором расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.

Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:

.

И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.

Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность.

Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т. е. 0.

Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x * 0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.

В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда следует, x *(-y) = -x * y.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:

0.

Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через .

Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.

Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Ассоциативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности.

Кольцо с единицей — наличие нейтрального элемента для операции умножения.

(R, +) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).

Приведем некоторые примеры колец и полей.

Допустим R — любое ассоциативное коммутативное кольцо и x — некоторый символ. Формальная сумма вида p = , где называется многочленом над кольцом R.

Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [x]. Если , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg (p).

Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p) + deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.

Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R [y][x]).

Аддитивная группа этого кольца — хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента — 1 и -1 — и потому изоморфна .

Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в , необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.

Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).

Если p — простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом.

Рассматривая группу с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).

Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.

Множество квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где — присоединенная к А матрица.

Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.

Для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det (A) R, причем det (AB) = det (A) det (B).

= — группа матриц порядка n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена.

В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые.

А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.

Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.

Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом, = diag (1,1,...,1,0) = diag (1,1,...,1).

Допустим, — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами которой являются смежные классы r + K.

Поскольку К * К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r + K) * (s + K) r * s + r * K + K * s + K.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x * K K и K * y K.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: .

К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.

Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и называется гомоморфизмом колец .

Пусть — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп называется ядром гомоморфизма . Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Пусть — гомоморфизм колец, I = Ker , — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит, x * I Ker = I.

Аналогично проверяется, что I * x I.

Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.

Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу

Приведем примеры.

Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

Если любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.

Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.

Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ) nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля.

Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу смежный класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Предположим, что I R [x] является множество всех многочленов , у которых = 0. Тогда I = xR [x]. Так как p * I = (p * x) R [x] I, значит, получаем идеал кольца многочленов.

Каждый смежный класс q + I содержит элемент , поэтому (q + I) * (s + I) = (+ I) * (+ I) = * + I.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:08:45 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:46:45 25 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151067)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru