Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

Название: Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 16:40:01 05 июня 2008 Похожие работы
Просмотров: 467 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Введение

Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми x = 0, y = a, y = b и y = f(x).

При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона – Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее первообразная F(x). Но во многих случаях первообразная получается очень сложной для вычисления, да и функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в некоторых точках (узлах) отрезка [a, b].

Механическая квадратура — численное значение однократного интеграла, и формулы численного интегрирования соответственно называют квадратурными.

Меняя подынтегральную функцию каким-либо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы, где x k — выбранные узлы интерполяции; A k — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k = 0, 1, 2,........,n); R — остаточный член, или погрешность квадратурной формулы, отбросив который получим погрешность усечения. Далее, при расчете к погрешности усечения добавляются другие погрешности округления.

Разбив отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей получим следующее: x i = x o + i .. h; (i = 0, 1, 2,......,n) x o = a; x n = b; h= (b-a)/n. Вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах: y i = f(x i); (i = 0, 1, 2,......,n).

Для выведения формул численного интегрирования воспользуемся интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пусть для функции y = f(x) известны в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn промежутка [a,b] соответствующие определения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). По заданным значениям Yi строим полином Лагранжа, заменяя f(x) полиномом Ln(x), где Rn(f) — ошибка квадратурной формулы. Воспользовавшись выражением для Ln(x), получим приближенную квадратурную формулу.

Однако заметим, следующее: коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); для полинома степени n последняя формула точная.

Считая, что y = xK (k = 0, 1, 2..,n), получим линейную систему из n + 1 уравнений, где (k = 0, 1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0, А1,..,АN. Определитель системы есть определитель Вандермонда/

Но также необходимо заметить, что при применении данного метода фактически построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С. М. Никольским.

Применяя метод трапеций и средних прямоугольников, интеграл будет численно равняться сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, график функции должен пересекать в середине.

Определим общую формулу Симпсона (параболическая формула) по следующим условиям: пусть n = 2m есть четное число и yi = f(xi) (i = 0, 1, 2...n) - значения функции y = f(x) для равноотстоящих точек а = x0, x1, ... ,xn=b с шагом h. Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения s 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона и остаточный член формулы Симпсона в общем виде, где x k I (x 2к-2 ,x 2к).

Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева: пусть дана функция f(x) в виде многочлена f(x)=a o +a 1 x+...+a n x n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах:

f(x 1)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n

f(x 2)=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n

f(x 3)=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n

f(x n)=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+a n x nn

получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены ниже в таблице:

n I t i n i t i
2 1;2 ± 0,577350 6 1;6 ± 0,866247
3 1;3 ± 0,707107 2;5 ± 0,422519
2 0 3;4 ± 0,266635
4 1;4 ± 0,794654 7 1;7 ± 0,883862
2;3 ± 0,187592 2;6 ± 0,529657
5 1;5 ± 0,832498 3;5 ± 0,321912
2;4 ± 0,374541 4 0
3 0

Решение контрольного примера: f(x) = sin(x); где a = 0; при n = 5.

i x i y i
1 0,131489 0,131118
2 0,490985 0,471494
3 0,785 0,706825
4 0,509015 0,487317
5 0,868511 0,763367

x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498) = 0,131489

x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341) = 0,490985

x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785

x 4 =1- x 2 = 1-0,490985 = 0,509015

x 5 =1- x 1 = 1-0,131489 = 0,868511

y 1 = sin(x 1) = sin(0,131489) = 0,131118

y 2 = sin(x 2) = sin(0,490985)=0,471494

y 3 =sin(x 3) = sin(0,785) = 0,706825

y 4 =sin(x 4) = sin(0,509015) = 0,487317

y 5 =sin(x 5) = sin(0,868511) = 0,763367

I = p /10(0,131118+ 0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) = p /10*2,560121=0,8038779

Описание алгоритма программы.

Процедура TABL — это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент — функция).

Процедура CHEB — используя массивы x i и y i, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура FORM — используя массив, содержащий аргументы x i заполняет массив y i.

Процедура VVOD — заполняет массив, содержащий в себе аргументы x i.

При запуске программы необходимо ввести границы интегрирования. После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводится на экран шаг табулирования функции h. После этого используем процедуры FORM и CHEB. Получив результат, выводим таблицу (процедура TABL) и интеграл.

Делая вывод по исследованию нашей работы можно заметить, что вычисление определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы вычислить интеграл более точно нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Также важно какой будет взят шаг интегрирования. На практике не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом, поэтому необходимо знать численные методы, хотя и они не могут дать точного значения интеграла.

Листинг программы: program integral; uses crt; const n = 5; k = -0.832498; l = -0.374541; z = 0.0; type aa = array[1..n] of real; var x,y:aa; a,b,h,ich:real; { заполнение х-сов в массив х[5] }; procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:integer; t:aa; Begin t[1]: = k; t[2]: = l; t[3]: = z; t[4]: = l; t[5]: = k; for i: = 1 to n-1 do c[i]: = ((b+a)/2 + (b-a)/2*t[i]); for i: = n-1 to n do; c[i]: = 1 - c[n+1-i]; end; {заполнение y-ков в массиве у[5]} procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:integer; Begin for i:=1 to n do y[i]:=sin(x[i]); {функция} end; {процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева} procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:integer; Begin ich: = 0; for i: = 1 to n do ich: = ich+y[i]*h; end; {процедура вывода таблицы} procedure tabl; var i:integer; Begin

writeln('___________________________________');

writeln('| i | t | x | y |');

writeln('___________________________________');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');

writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln('___________________________________');

end; Begin clrscr; writeln (Программадлявычисления); writeln (Определенногоинтеграла); writeln; writeln('Введитеграницыинтегрирования a,b:'); readln(a,b); vvod(a, b, x); h: = (b-a)/n; writeln ('h = ',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); tabl; writeln('I = ',ich:8:6); end

Вывод результата: Программа для вычисления определенного интеграла.

Введите границы интегрирования a,b: 0 1.5708, h= 0.314160

____________________________

| i | t | x | y |

____________________________

| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383

Список литературы

Ракитин Т. А., Первушин В. А. Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic.

Крылов В. И. Приближенные вычисления интегралов. — М.: Физмат.

Демидович и Марон. Основы вычислительной математики.

Копченова и Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах.

Вольвачев А. Н., Крисевич В. С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. — Минск, 1989.

Зуев Е. А. Язык программирования Turbo Pascal. — М., 1992.

Скляров В. А. Знакомьтесь: Паскаль. — М., 1988.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:07:06 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:45:19 25 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151009)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru