Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Шпаргалка: Ряды

Название: Ряды
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Добавлен 13:14:01 27 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 1120 Комментариев: 4 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х11 ) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi ;yi ) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi ;yi ) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi =F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хii ) и нашли соот-е значения zi =F(хii ).

Пусть точка (х00 )ÎЕ дельта окрест-ю точки (х00 ) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0 )+(y-y0 )] <d.

Точка (х00 ) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х00 ) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х00 )Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.


y
P
x

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z= f(х;у) при х®х0 , у®у0 , М(х;у)®М0 . limх ®х0 (у ®у0) f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х00 ) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0 )2 +(y-y0 )2 ] <d. êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an ; lim Yn=b => Yn=b+bn ;

Xn ± Yn = (a + an ) ± (b + bn ) = (a ± b) + (an ± bn ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an )/(b+bn ) – a/b = (ab+an b–ab–abn )/b(b+bn ) =(ban -abn )/b(b+bn )=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М000 ) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М000 ), если имеет место равенство limх ®х0(у ®у0) f(х;у)=f(х00 ) или lim ®0( ®0) f(х0 +Dх;у0 +Dу)= f(х00 ), где х=х0 +Dх и у=у0 +Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М000 ) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x00 ).

Если (х00 ) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х00 )–1 род.

Если (х00 )–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х00 ) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х00 ) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке:1)Если фун f1 (х;у) и f2 (х;у) непрерывны в точке (х00 ), то сумма (разность) f(х;у)=f1 (х;у)±f2 (х;у), произведение f(х;у)=f1 (х;у)*f2 (х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1 (х;у)/f2 (х;у), есть непрер-я фун в точке х00 .

Док-во (суммы): По определению получаем, что limх ®х0(у ®у0) f1 (х;у)=f100 ), limх ®х0(у ®у0) f2 (х;у)=f200 ) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх ®х0(у ®у0) f(х;у)=limх ®х0(у ®у0) [f1 (х;у)+f2 (х;у)]=

=limх ®х0(у ®у0) f1 (х;у)+limх ®х0(у ®у0) f2 (х;у)=

=f100 )+f200 )=f(х00 ). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х00 , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0 =j(х00 ), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х00 ).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х00 ) не выполняется условие limх ®х0(у ®у0) f(х;у)= f(х00 ), то точка N(х00 ) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие lim ®0( ®0) f(х0 +Dх;у0 +Dу)=f(х00 ) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ), за исключением самой точки N(х00 ); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ), но не сущ-ет предела limх ®х0(у ®у0) f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00 ) и сущ-ет предел limх ®х0(у ®у0) f(х;у), но limх ®х0(у ®у0) f(х;у)¹f(х00 ).

Классификация точек разрыва:

Если (х00 ) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00 ) – 1 род.

Если (х00 ) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х00 ) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00 ) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х00 …) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х00 …)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х0 ;`у0 …) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0 ;`у0 …)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N* (x* ;y* …), что будет выполн рав-во f(x* 0 ;y* 0 …)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x.x z=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆y z=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆x z к приращ-ю ∆x при ∆x®0.

∂z/∂x=lim(∆x ®0)x z/∆x=lim(∆x ®0) (f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim(∆y ®0)y z/∆y=lim(∆y ®0) (f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: dx z(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dу z(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0 ,y0 ), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2 +∆y2 ), т.е. lim( ®0, ®0, r ®0) 0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0 ,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0 ,y0 ), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0 , y=y0 . A=∂z(х00 )/∂x; B=∂z(х00 )/∂y.

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0 ,y0 ) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2 z/∂x2 ;z`` xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z`` xy ;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z`` yx ; ∂φ/∂y=∂2 z/∂y2 ;z`` yy ;

Третья производная: ∂3 z/∂x3 ; ∂3 z/∂x2 ∂y; ∂3 z/∂x∂y¶х; ∂3 z/∂y∂x2 ; ∂3 z/∂y∂x∂y; ∂3 z/∂y2 ∂x; ∂3 z/∂y3 .

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0 (x0 ,y0 ), если f(x0 ,y0 )> f(x,y) {f(x0 ,y0 )<f(x,y)}для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0 ,y0 )и отличных от неё.

Определение max и min при предположении, что х=х0 +Dх и у=у0 +Dу, тогда

f(x;y)-f(x0 ;y0 )=f(х0 +Dх;у0 +Dу)-f(x0 ;y0 )=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М000 ); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М000 );

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0 , y=y0 , то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0 . Тогда ф-ия f(x,y0 ) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0 ,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0 , y=y0 или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0 ,y0 ), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0 ,y0 ) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0 ,y0 )/∂x=0, ∂f(x0 ,y0 )/∂y=0.

Тогда при x=x0 , y=y0 :

1)f(x,y) имеет максимум, если

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 <0

2)f(x,y) имеет максимум, если

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 >0 и ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 >0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 <0

4)Если ∂2 f(x0 ,y0 )/¶x2 *∂2 f(x0 ,y0 )/¶y2 -(∂2 f(x0 ,y0 )/∂x∂y)2 =0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x =0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];

Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1 ,DS2 ,DS3 …DSn ). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1 ,P2 ,P3 …Pn ). f(Pi ) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi )DSi . Vn =n åi=1 f(Pi )DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

Опр: Предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi интегральной суммы n åi=1 f(Pi )DSi , если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек Pi ÎDi наз двойным интегралом зад фун z= f( x; y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di ®0 n åi=1 f(Pi )DSi =óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶

Св-ва:

1)óóD (f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóD f1(x,y)dxdy+óóD f2(x,y)dxdy

2) óóD a f(x,y)dxdy=aóóD f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1 ÈD2 , то

óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2 .

óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1 , вторая – соот-е площадкам обл D2 . В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi . Переходя в равенство

óóD f(Pi )DSi =óóD 1 f(Pi )DSi +óóD 2 f(Pi )DSi к пределу при DSi ®0, получаем равенство

óóD f(x,y)=óóD 1 f(x,y))+óóD 2 f(x,y).·

4) Если фун f(x,y)=1, то óóD 1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть

óóD f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óóD f1(x,y)dxdy³óóD f2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

в óа ( j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£в óа (j 2(x) ój 1(x) f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID £MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D.

Рассмотрим ID =в óа f 2( x ) óf 1( x ) f(x,y)dydx=в óа Ф(х)dx

-это двукратный интеграл .

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

óóD f(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=

=óóD f(pcosj;psinj)pdpdj=

=j2 ój1 dj p2( j ) óp1( j ) (pcosj ;psinj)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности.

óóD f(x,y)dxdy=SD

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма

DVi=n åi =1 f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.

limmax di ® 0 n åi =1 f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил

Площадь поверхности.

Sпов. = óó[Ö1+(dz/dx)2 +(dz/dy)2 dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn )=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F( x; y; y’;у”…у n )=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn )=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n )=0.

Фун вида у=j(х;С12 ;…Сn ) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn )=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С12 ;…Сn ; 2) для любых начальных усл х0 , у0 , у 0 , уn 0 можно найти конкретную совокупность С1 02 03 0 ;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 02 03 0 ;…Сn 0 ), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида j(х;С123 ;…Сn )=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn )=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур . наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением , если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)

{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0

∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-PdxlnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1e Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–∫ Pdx , где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn , P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли , приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(y n )y’+P(y n+1 )=Q, Сделаем далее замену z=(y n+1 ), тогда dz/dx=(-n+1)(y- n )y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y n )y’+P(y n+1 )=Q, будем иметь линейное ур-е

dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y n+1 ), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0 )f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности , если вып. усл. f(tx;ty)=(tk )f(x;y); f(tx;ty)=(t0 )f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + CÞ вместо U подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав . наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0

Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.

j(x0;С10;С20)=y0 ,

j’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e–∫ P( x) dx )]/(y1 2 )dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’ +py +qy=f(x), p,q – числа. y=c1 y1 +c2 y2 +y* , где y1 , y2 – два лин-но незав. реш.

(1) y’’ + py +qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx k2 +pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2 =(-p±Ö(p2 -4q))/2, k1 ¹k2 y1 =ek 1 x , y2 =ek 2 x .

Т.к. y1 /y2 ¹const, то y=c1 ek 1 x +c2 ek 2 x .

2. D=0 k1,2 =-p/2

y1 =e-px/2 , y2 =y1 ∫(e-- pdx )/y1 2 dx=e-px/2 , y=e-px/2 (c1 +c2 x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2 =a±bi, y1 =ea x Cosbx, y2 =ea x Sinbx, y1 /y2 ¹const, y=ea x (c1 Cosbx+c2 Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=Pn (x)ea x 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y* =(A0 xn +A1 xn-1 ++...+An )=Qn (x)ea x .

a - однократный корень y* =xQn (x)ea x .

3) a - двукрат. корень y* =x2 Qn (x)ea x .

2. f(x)=p(x)ea x Cosbx+q(x)ea x Sinbx

1) a+bi – не корень y* =U(x)ea x Cosbx+V(x)ea x Sinbx.

2) a+bi – корень y* =x[U(x)ea x Cosbx+V(x)ea x Sinbx].

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi – не корень, y* =ACosbx+BSinbx.

2)bi – корень, y* =x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1 , U2 ...Un ,... Выражение U1 +U2 +...+Un +... наз-ся числовым рядом ,

U1 , U2 ...Un – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда : Sn = U1 +U2 +...+Un .

Если сущ-ет конечный предел limn ® ¥ Sn =S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limn ® ¥ Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел limn ® ¥ Sn , то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во : Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn - k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck . Тогда имеем: Sn =Ck +Dn - k , где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn - k , то сущ-ет и limSn ; если сущ-ет limSn , то сущ-ет limDn - k , а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a1 +a2 +...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1 +ca2 +...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn , а ряда (2) – через Dn . Тогда Dn =ca1 +...+can =c(a1 +...+an )=cSn . Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim Dn =lim(cSn )=climSn =cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a1 +a2 +...(5) и b1 +b2 +...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1 и S2 , то ряды (a1 +b1 )+(a2 +b2 )+...(7) и (a1 –b1 )+(a2 –b2 )+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1 +S2 и

S1 –S2 .

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn , а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1 n и S2 n , получим: Dn =(a1 +b1 )+...+(an +bn )=(a1 +...+an )+(b1 +...+bn )=S1 n +S2 n . Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn =lim(S1 n +S2 n )= limS1 n +limS2 n =S1 n +S2 n .

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1 n +S2 n .

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn =0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U1 +U2 +...+Un +... сходится, т.е. limSn =Sn®¥, тогда имеет место равенство limSn -1 =S.

limSn –limSn-1 =0, lim(Sn –Sn-1 )=0. Но Sn –Sn -1 =Un следов-но limUn =0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1 +U2 +...+Un +...(1), S1 n ; V1 +V2 +...+Vn +...(2) S2 n ; Известно,что Vn ³Un при n³N0 .

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $limS2 n =S. S1 n =U1 +U2 +...+UN 0 +UN 0+1 +...+Un =SN 0 +VN 0+1 +...+Vn . limS1 n =lim(SN 0 +Dn - N0 )=SN 0 +D. S1 n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN 0 +D => $limS1 n =Sn 1 .

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn /Vn =L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $lim(Un +1 /Un )=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³N, будет иметь место нер-во (Un +1 /Un )<q (2 ). Действительно, т.к. величина Un +1 /Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

|Un +1 /Un – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2 ) для различных значений n, начиная с номера N, получим UN +1 <qUN ,

UN +2 <qUN +1 < q2 UN

Рассмотрим теперь два ряда:

U1 +U2 +...+UN +Un+1 +... (1)

UN +qUN +q2 UN +... (1 ). Ряд (1 ) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN +1 , меньше членов ряда (1 ), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un +1 /Un )=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un +1 /Un )>1, или Un +1 >Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn ÖUn =L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

|n ÖUn –L|<q–L; осюда следует, что n ÖUn <q или Un <qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1 +U2 +...+UN +UN +1 +... (1) и qN +qN +1 +qN +2 +... (1 ). Ряд (1 ) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN , меньше членов ряда (1 ). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: n ÖUn >1 или Un >1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN , больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ ån=1 Un , где члены ряда убывают Un >Un +1 >0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un .

Если не собственный интеграл ¥ ò1 f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ ò1 f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1 >U2 >U3 … и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n ® ¥ Un =0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1 ³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m =(U1 -U2 )+(U3 -U4 )+…+(U2m-1 -U2m ). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2 m имеет предел Limm ® ¥ S2 m =S. Переходя к пределу в неравенстве S2 m <U1 при m®¥, получим, что U1 ³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2 m+1 =S2 m +A2 m+1 ; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Limm ® ¥ S2 m+1 =

=Limm ® ¥ S2 m + Limm ® ¥ А2 m+1 =S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Limn ® ¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1 +U2 +U3 ….+Un + знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ ån=1 ½Un ½; |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn + и Sn - суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn 1 =Sn + -Sn - , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn 2 = Sn + +Sn - . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn ® ¥ Sn 2 =S. Последовательности Sn + и Sn - являются возрастающими и ограниченными (Sn + ≤ SSn - ≤ S ), значит существуют пределы

Limn ® ¥ Sn + и Limn ® ¥ Sn - , и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Limn ® ¥ Sn1 =Limn ® ¥ Sn + -Limn ® ¥ Sn - , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…сходиться, то ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + наз абс. сходящимся.

Если ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + сходиться, а ряд |U1 |+|U2 |+…+|Un |+…расходиться, то ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1 +U2 +U3 ….+Un + абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0 +C1 X+C2 X2 +…+Cn Xn ..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0 ≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0 |, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1 , то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1 |.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0 ≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn ® ¥ Un =Limn ® ¥ Cn X0 n =0. Значит последовательность |Cn X0 n | Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |Cn X0 n |<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

0 |+ |C1 X0 ||Х/X0 |+…+ |Cn X0 n ||X/X0 |n +…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0 |+…+М|X/X0 |n +… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0 |<1, т.е. при|X|<|X0 |, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1 | ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1 |), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости , а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а01 х+а2 х2 +…+аn х2 +…+аn+1 хn+1 +… и

а01 (х-х0 )+а2(х-х0 )2 +…+аn(х-х0 )2 +… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1 +U2 +..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1 (Х)+U2 (Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn (Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn (x)+rn (x), где rn (x) есть сумма ряда Un +1 (x)+Un +2 (x) +…, т.е. rn (x)= Un+1 (x)+Un+2 (x) +… В этом случае величина rn (x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn →∞ rn (x)= Limn →∞ [S(x)-Sn (x)]=0, т.е. остаток rn (x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U1 (Х)+U2 (Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а123 +…+аn ..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1 (x)│≤a1, …,│Un (x)│≤an ,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2 /2!]+…

…+fn (a)[(x-a)n /n!]+Rn (x), (1) где остаточный член Rn (х)={[(x-a)n+ 1]/[(n+1)!]}f( n+1) [a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn (x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn (a)[(x-a)n /n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2 /2!]+…

…+fn (0)[xn /n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex =1+x+x2 /2!+…+xn /n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x3 /3!+x5 /5!+…+(-1)n-1 [X2n-1 ]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX=1-x2 /2!+x4 /4!-…+[(-1)n X2n ]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)m =1+mx+[m(m-1)x2 ]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3 ]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x2 /2+x3 /3-..+[(-1)n xn+1 ]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2 +…+xn +..

1/(1+X2 )=1-x2 +x4 -x6 +…

arctgX=x-x3 /3+x5 /5-x7 /7+…+[(-1)n+1 x2n-1 ]/2n-1+…

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:46:40 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:09:58 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:54:21 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:15:51 24 ноября 2015

Работы, похожие на Шпаргалка: Ряды

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150789)
Комментарии (1840)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru