Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364141
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62791)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21692)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8693)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Комплексные числа

Название: Комплексные числа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 11:53:09 27 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 8491 Комментариев: 5 Оценило: 7 человек Средний балл: 4 Оценка: 4     Скачать

Реферат по математике ученицы 8г класса Ваулиной Светы

Муниципальное образовательное учреждение-гимназия 47

г.Екатеринбург 2000г.

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

Понятие о комплексных числах

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3 +3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3 -7х+6=0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у = 10, ху = 40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Действия с комплексными числами

Рассмотрим решение квадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда х2 = -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i2 = -1, откуда i =. Решение квадратного уравнения, например, х2 – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 = 4 = 4 = 4 3 = 4 3i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комлексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0,b = 0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a - действительное число. Если а = 0, b 0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.

Произведение комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (ac-bd) + (ad + bc)i, z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a + bi)(a - bi) = a2 + b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:(a + bi):(c + di) = = = +i.

Степень числа i является периодической функцией показателя

спериодом 4. Действительно, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i4n = (i4 )n = 1n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i.

Решение уравнений с комплексным переменным

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

1)а = -1; 2)а = -25; 3)а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2 , или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2 = (-1)25,

z2 = i2 52 , z2 - 52 = 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ.z 1,2 = 5i.

3) z2 = -3, z2 = i2 ()2 , z2 - ()2 i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0, z1 = i, z 2 = - i. Ответ. z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2 = i.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i = 2i, = i. Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а,b,с- действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2 = .

Задача 2. Решить уравнение z2 -4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = = =2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1 =2+3i и z2 =2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1 +z2 =(2+3i)+(2-3i)=4, z1 z2 =(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4- это 2-й коэффициент уравнения z2 -4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2 +bz+c = 0, z1 +z2 = -, z1 z2 =.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1 =-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2 =-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1 +z2 )=2, q=z1 z2 =5. Ответ z2- 2z+5=0.

Заключение

В настоящем реферате дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

В реферате также рассмотрена геометрическая интерпретация комплексных чисел в виде векторов.

Список литературы

1. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Учебник для 8 класса по алгебре.- М.: Просвещение, 1994.-С.134-139.

2. И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.- С.50-52.

3. А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989.- С. 143-147.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Ваш сайт очень хороший! Сделай паузу, студент, вот повеселись: Самый реальный вред от курения - это когда выходишь покурить, а соседи по общаге сожрали твои пельмени. Кстати, анекдот взят с chatanekdotov.ru
Лопух02:18:49 09 июля 2017
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:46:32 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:09:51 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:47:06 24 ноября 2015

Смотреть все комментарии (5)
Работы, похожие на Реферат: Комплексные числа

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(175606)
Комментарии (2005)
Copyright © 2005-2017 BestReferat.ru bestreferat@gmail.com реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru