Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Прямая Эйлера

Название: Прямая Эйлера
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 07:30:06 24 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 2123 Комментариев: 4 Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать

Содержание.

Введение.

Деление отрезка в данном отношении.

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Прямая Эйлера.

Медианы тетраэдра.

Высоты тетраэдра.

Прямая Эйлера тетраэдра.

Использованные источники информации.

Вступление.

Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками.

В знаменитых “Началах” Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника.

Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.

Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности, центроида G , ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783).

Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник ABC (рис.1). СерединаO гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины C. Катеты AC иBC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что

точка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2).

Выразим вектор OG черезвекторыOA иOB. Для этого подставим в равенство AG=k * GB выражения всех векторов через OG, OA иOB: OG-OA=k(OB-OG). Решая это уравнение относительно OG , получим:

OG= ------------- . (1)

Например,если G – середина отрезка AB , то k=1 иOG= -- (OA+OB).

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.

Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем

3 PG=PA+PB+PC, (2)

где P – любая точка плоскости или пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

Согласно формуле (1),

PD = -- (PA + PB),

откуда

PG = -- (PA + PB + PC).

Вычисляя вектор PG’ с концом в точкеG’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение:

PG’= -- (PA + PB + PC),

Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

OH= OA + OB + OC, (3)

где О – центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4).

-3-

Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой

OH = OM + OC = OA + OB +OC,

и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.

Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B. Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3).

Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.

Прямая Эйлера.

Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника.

Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2.

Доказательство. По теореме 1

3OG = OA + OB + OC.

Сравнивая это равенство с равенством (3), получим

OH = 3OG.

Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и |OG| : |GH| = 1 : 2 .

Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера.

В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи. Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр.

Сфера, описанная около тетраэдра.

Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей, описанных около граней.

Медианы тетраэдра.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника.

Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра, причем

4PG = PA + PB +PC +PD, (4)

где P – любая точка пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане DG’ тетраэдра ABCD точку G, определяемую соотношением DG : GG’ = 3 : 1 ( рис 5). Согласно формуле (1),

PG = ---------------.

Учитывая, что центроид G’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG = PA + PB + PC, получим

PG = -- (PA + PB + PC + PD).

Вычисляя вектор PG’’ с концом в точке G’’ , делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении 3 : 1 (считая от вершины), получим то же самое выражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G, удовлетворяющей соотношению (4). Точка G, называется

-5-

центром тяжести (или центроидом) тетраэдра.

Высоты тетраэдра.

Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.

Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC = BC, но AD = BD (рис. 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E – середина AB, а F – нет. Если бы длины ребер DA и DB были равны, то основания E и F совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E.

Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.

Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Ребра DA, DB и DC являются его высотами, а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот).

Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке.

Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D , пересекаются в точке H

-6-

( рис. 7). Тогда CH’__AB и DH’’__AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB__BC. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC__BD и AD__BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.

Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то

OH = ---(OA + OB + OC + OD). (5)

Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’ ( центр окружности, описанной около треугольника ABC ), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’.

Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5).

Вначале сложим векторы OA, OB и OC:

OM = OA + OB + OC.

По теореме 1

OG’ = -- (OA + OB + OC),

поэтому

OM = 3OG’

-7-

или G’M = 2OG’ . Точки O’,G’,H’, лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем H’G’ = 2G’O’. Следовательно,

H’M=H’G’+G’M’=2(G’O’+OG’)=2(OG’+G’O’)=2OO’.

Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ ( если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают).

Пусть теперь

OH= --- (OM+OD)= ---(OA+OB+OC+OD).

Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра.

Аналогично строится точка N: ON=OA+OB+OD и та же точка H: OH= --(ON+OC) и доказывается, что точка H лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины C, и т.д.

Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5).

Прямая Эйлера тетраэдра.

Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Доказательство. По формулам (4) и (5)

OH= -- (OA + OB + OC +OD),

OG= -- (OA + OB + OC + OD),

откуда OH=2OG. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Прямую, на которой лежат точки O, G, H, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

В данном реферате собран материал необходимый для выявления прямой Эйлера и прямой Эйлера тетраэдра .

Использованные источники информации:

1. “Прямая Эйлера” (Э. Готман).

2. Международная информационная сеть Internet (URL: http://www.referat.ru; http://dlc.miem.edu.ru/referat ).

-9-

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:45:37 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:09:07 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:54:12 24 ноября 2015
весь инет этим рефератом загадили
ден18:51:59 26 февраля 2010Оценка: 2 - Плохо

Работы, похожие на Реферат: Прямая Эйлера
Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники ...
... Государственный Педагогический Университет Факультет Математики и Информатики Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
Называют определение, виды треугольников, признаки равенства треугольников, медианы, биссектрисы, высоты, сумма углов треугольника, внешний угол, теорема Пифагора и т. д.
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 8869 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Избранные теоремы геометрии тетраэдра
Выпускная квалификационная работа Избранные теоремы геометрии тетраэдра Специальность / направление подготовки Математика Специализация / профиль ...
Продолжая аналогию пифагорова треугольника с пифагоровым тетраэдром, попробуем сформулировать и доказать пространственное обобщение теоремы Пифагора для прямоугольных тетраэдров ...
К тому же медианы тетраэдра пересекаются в центре тяжести, точке О, и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 28021 Комментариев: 1 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 2 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Пусть прямые p и q пересекаются прямой t в точках Аи В. Если p и q пересекаются в некоторой точке С то внешний угол треугольника АВС равен одному из его внутренних углов, что ...
Тогда треугольник А1В1С1 равный треугольнику АВС, у которого вершина А1 совпадает с началом луча h, вершина В лежит на луче h а вершина С1 лежит в заданной полуплоскости ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3493 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Различные подходы к определению проективной плоскости
Содержание Введение Исторический обзор аксиоматического построения проективной геометрии Глава 1. Определение проективной плоскости на базе ...
Соответствующие стороны треугольников АBD и A"B"D" пересекаются в коллинеарных точках O,P,O"; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников ...
Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC"/OC")*(OA"/AA")=1(CR/BR)*(BB"/OB")*(OC"/CC")=1
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1320 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Решение задач с помощью ортогонального проектирования
Тема: "Решение задач с помощью ортогонального проектирования". Ученицы 11 "Б" класса Средней школы №46 Заиц Ю. А. Руководитель: Шелгинских В. А ...
22, а). Так как плоскость ѭ перпендикулярна прямой МD, то прямая МD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ѭ. В частности, если прямая МD пересекает плоскость ѭ в точке ...
Ясно, что так как точка Q - точка пересечения медиан треугольника МВС, то прямая KQ пройдет через вершину С.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 8861 Комментариев: 9 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 3 Оценка: 3     Скачать
Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный ...
Проведем из вершины A правильного треугольника АВС высоту АК.
В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем.
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 6248 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов
Оглавление Введение Глава 1. Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения измерений геометрических величин в школе §1. Практическая ...
Затем уже только в восьмом классе вводятся теоремы об измерении вписанного угла, угла с вершиной внутри и вне круга, угла между касательной и хордой.
Учащиеся измеряют длины сторон а и b и длины высот, проведенных к стороне a, а также угол g. И вычисляют площадь треугольника по уже известной формуле.
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 21683 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Вятский государственный ...
В главе 5 "Метрические соотношения в треугольнике" в § "Применение теоремы Пифагора" содержится пункт "Геометрическое место точек", где объясняется, что значит, когда про фигуру ...
"Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А".
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 28115 Комментариев: 6 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 3.8 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Прямая Эйлера (894)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151201)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru