Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Теорема Штольца

Название: Теорема Штольца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 06:54:06 24 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 39 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) ;

b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

c) ;

d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N . Если при этом взять N >N, то для n>N , очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn , причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта an имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn ).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn =a1 +a2 +…+an, yn =n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

xn =1k +2k +…+nk , yn =nk+1 ,

будем иметь

.

Но

(n-1)k+1 =nk+1 -(k+1)nk +… ,

так что

nk+1 -(n-1)k+1 =(k+1)nk +…

и

.

5. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk , g(xk +1)>g(xk ), т.е. функция возрастающая.

Тогда,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn ) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. очевидна неопределенность

===2

2. неопределенность

====0

3. неопределенность

===

Литература:

1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:45:32 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:09:03 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:54:33 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Теорема Штольца

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150820)
Комментарии (1841)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru