Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Основная теорема алгебры

Название: Основная теорема алгебры
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 07:58:05 23 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 154 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства .

Лемма №1 . Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x .

Лемма №2 . Если данн многочлен n -ой степени, n>0,

f(x)=a0 xn +a1 xn-1 +…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|an xn |>k|axn-1 +an xn-2 +….+a0 |

Лемма №3 .

Лемма №4 .(Лемма Даламбера).

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Доказательство основной теоремы .

Лемма №1.

Надо доказать, что |f(x0 +x)-f(x0 ) |<e .

Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x0 =0

Если A=max(|a0 |,|a1 |,…,|a n-1 |) и (1)

то |f(x)|=|a0 xn +…+an-1 x|


,

т.к |x |<б , и из (1) б <1, то

т.к. a0 =0 то f(0)=0

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем непрерывность любого многочлена.

f(x0 +x)=a0 (x0 +x)n +…+an

pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с

одинаковыми степенями x получим


Многочлен g(x)-это многочлен от x при x0 =0 и а0 =0 |f(x0 +x)-f(x)|=|g(x)|<e

Лемма доказана.

Лемма №2

Если дан многочлен n -ой степени, n>0,

f(x)=a0 xn +a1 xn-1 +…+an

с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений x верно неравенство:

|a0 xn |>k|a1 xn-1 +a2 xn-2 +….+an | (2)

Доказательсво.

Пусть А=max(), тогда

пологая |x| >1, получим

откуда

следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и

Лемма №2 доказана.

Лемма №3 .

Доказательство.

(3)

применим лемму 2: при k=2 существует такое N1 , что при |x|> N1

|a0 xn |>2|a1 xn-1 +a2 xn-2 +….+an |

откуда

|a1 xn-1 +a2 xn-2 +….+an |<|a0 xn |/2

тогда из (3)

при |x|>N=max(N1 ,N2 ) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.

Лемма №3(Лемма Даламбера).

Если при x=x0 многочлен f(x) степени n ,не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

|f(x0 +h)|<|f(x)|

Доказательство.


По условию f(x0 ) не равно нулю, случайно может быть так, что x0 является корнем f’(x),..,f(k-1) (x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x0 своим корнем. Такое k существует т.к.

f(n) ( x0 )=n!a0

Таким образом


Т.к f(x0 ) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x0 )

и обозначим

Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его аргумент.

По лемме№1:

С другой стороны при

(4)

Пусть |h|<min(б1 , б2 ), тогда

Теперь выберем аргумент h так, чтобы ck hk было действительным отрицательным числом.

При таком выборе ck hk =-| ck hk | следовательно учитывая (4) получим

Что доказывает лемму Даламбера.

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Доказательство.

Предположим, что это не верно тогда

получена бесконечная ограниченная последовательность xn ,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , пусть ее предел равенx0 . Так как круг Е замкнут, то x0 пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x) .

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменногоf(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M =sup{ f(x)} . Рассмотрим функцию .

Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x) следовательно M- f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.

Полученое противоречит тому, что M =sup{ f(x)} . Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.

Доказательство основной теоремы.

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если an -свободный член, то f(0)= an . Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|an | тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x0 , что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x0 )|. x0 является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x0 )| точка x0 является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x0 )|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x0 )|¹0 то x0 не точка минимума для |f(x)|Þ x0 -корень многочлена f(x).

Теорема доказана.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:44:47 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:08:30 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Основная теорема алгебры

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151171)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru