Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов

Название: Приближенное вычисление определенных интегралов
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 04:15:07 23 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 4494 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических и технических задач приходится находить опре­деленные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.

1. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0 <x1 <x2 <...<xk-1 <xk <...<xn =b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1 ) и f(xk ) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто:

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x0 =0, x1 =0,2, x2 =0,4, x3 =0,6, x4 =0,8, x5 =1=b и соответственно f(x0 )=0, f(x1 )=0,04, f(x2 )=0,16, f(x3 )=0,36, f(x4 )=0,64, f(x5 )=1. Следовательно,

Точное значение интеграла равно 0,3333...., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

где k -наибольшее значение на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х0 =0, х1 =0,1, ..., х9 =0,9, х10 =1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

По формуле трапеций получаем

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то На отрезке [0, 1] имеем . Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла.

2. Формула парабол.

Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М1 1 ; у1 ), М2 2 ; у2 ), М3 3 ; у3 ) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах2 +Вх+С (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х1 , х2 , х3 различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g

Отметим, что если А¹0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах2 +Вх+С, проходящей через точки М1 (- h; y1 ), M2 (0, y2 ), M3 (h, y3 ) ( рис. 2) выражается формулой

(2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах2 +Вх+С координаты точек М1 , М2 , М3 , получаем у1 h 2 h ; у2 ; у3 h 2 h , откуда следует, что

h 2 +2С=у13 ; С=у2 (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x0 <x1 <x2 <...<x2k <x2k+1 <x2k+2 <...<x2n-1 <x2n =b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=xk на 2n соответствующих частей точками М0 , М1 , М2 , ..., М2 k , М2k+1 , М2k+2 , ..., М2n-2 , М2n-1 , М2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М0 М1 М2 , ..., М2 k М2k+1 М2k+2 , ..., М2n-2 М2n-1 М2n

проведем кривую вида у=Ах2 +Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x2k , x2k+2 ], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где yk =f(xk ), k=0, 1, 2, ...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1 , х3 , ..., х2 n -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2 , х4 , ..., х2 n -2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0 =а, х1 , х2 n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами (прямыми).

В полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение на отрезке [a, b]. Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оценивается числом

Так как n4 растет быстрее, чем n2 , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

, но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0,1] на четыре равные части точками х0 =0, х1 =1/4, х2 =1/2, х3 =3/4, х4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках у0 =1,0000, у1 =0,8000, у2 =0,6667, у3 =0,5714, у4 =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f(4) (x)=24/(1+x)5 , откуда следует, что на отрезке [0,1]. Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44 ),0б0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f(4) (x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=, получаем

f(4) (x)=4(4х4 -12х2 +3)

Так как на отрезке [0,1]£1, ½4х4 -12х2 +3½£5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n4 <1/1000, откуда n4 >1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0,1] на четыре равные части точками х0 =0, х1 =1/4, х2 =1/2, х3 =3/4, х4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=в этих точках у0 =1,0000, у1 =0,9394, у2 =0,7788, у3 =0,5698, у4 =0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0,1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:44:22 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:08:09 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов
Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n ...
П о определению кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами х1, х2(а x1<х2 b) расположена не ниже (не ...
37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n== (Ѭxi=0)
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 45698 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Сравнительный анализ численных методов
Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский Государственный Технический Университет Кафедра ____САПР_ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ...
Вычислим производную функции f (x) =sin (x) в какой-либо точке на отрезке [0,ѭ] двумя способами.
Можно сделать вывод, при вычислении определенного интеграла наибольшую степень точности дает формула Симпсона.
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: дипломная работа Просмотров: 1578 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Понятие о физической величине. Международная система единиц физических ...
1. ПОНЯТИЕ О ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЕ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН СИ Под физической величиной понимают характеристику физических ...
По правилу трапеций в качестве приближенного значения интеграла
Полная ошибка вычисления интеграла по формуле трапеций оценивается как сумма двух ошибок: ошибки усечения, вызванной заменой криволинейной трапеции прямолинейными, и ошибки ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Просмотров: 4917 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Численные методы решения типовых математических задач
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Тульский государственный университет Кафедра ...
Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников имеет вид
Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 --- методы правых и левых прямоугольников, 1 --- методы средних ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 4394 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Численные методы
МЕТОДИ РОЗВ"ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Розглянемо чисельні методи розв"язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь Ax=f T (1) де A ...
На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок на равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную ...
Погрешность формулы прямугольников и формулы Симпсона при вычислении интеграла (1) в силу (22), (26) удовлетворяет неравенствам
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 496 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Сравнительный анализ численных методов
Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский государственный технический университет Кафедра САПР Курсовая работа по ...
И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого ...
Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 883 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного ...
Введение Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного ...
При вычислении определенного интеграла можно воспользоваться известной всем, формуле Ньютона - Лейбница, при условии f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также определена ее ...
Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование, задача которого заключается в нахождении приближенного значения интеграла по заданным ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 467 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи ...
КУРСОВАЯ РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ...
Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис.1).
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3226 Комментариев: 7 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 2.3 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов (3818)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151312)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru