Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Целая и дробная части действительного числа

Название: Целая и дробная части действительного числа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 23:22:05 06 апреля 2007 Похожие работы
Просмотров: 1150 Комментариев: 4 Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать

.

Т.С. Кармакова , доцент кафедры алгебры ХГПУ

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.

В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.

Определение 1

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.

Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.

Пример.

Вычислить [x], если х принимает значения:

1,5; 3; -1.3; -4.

Решение

Из определения [x] следует:

[1,5] = 1, т.к. 1Z, 1 1,5

[ 3 ] = 3, т.к. 3Z, 3 3

[-1,3]=-2, т.к. –2Z, -2 -1,3

[-4] =-4, т.к. -4Z, -4-4.

Свойства целой части действительного числа.

1°. [ x ] = x , если хZ

2°. [ x ] x  [ x ] + 1

3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m Z

Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.

Пример 1

Решить уравнения:

1.1[ x ] = 3

[ x + 1,3 ] = - 5

[ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5

1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0

Решение

1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 х  4

Ответ : [ 3 ; 4 )

[ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2° :

- 5 х + 1,3  - 4 - 6,3 х  - 5,3

Ответ : [ -6,3 ; -5,3 )

[ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°:

[ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5

[ x ] = 9 9 x  10 (по 2° )

Ответ : [ 9 ; 10 )

1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t - 7 t + 10 = 0 , т.е.

Ответ : [ 2 ; 3 ) [ 5 ; 6)

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 [ x ] 2

[ x ] > 2

[ x ] 2

[ x ] < 2

[ x ] - 8 [ x ] + 15 0

Решение

2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют х

Ответ : [ 2 ; ).

2.2 Решение этого неравенства: х.

Ответ : [ 3 ; ).

2.3 x < 3

2.4 x < 2

2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе

3

Ответ : [ 3; 6 ).

2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим .

Ответ : (-.

Пример 4.

Постройте график функции y = [ x ]

Решение

1). ООФ: х R

2). МЗФ: y Z

3). Т.к. при х О [ m ; m + 1), где m О Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1 ; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = - 1 ; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0.

Примечание.

1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.

2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Определение 2.

Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }.

Пример.

Вычислить { x }, если х принимает значение : 2,37 ; -4 ; 3,14 . . .; 5 .

Решение

{ 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37.

, т.к.

{ 3,14…} = 0,14… , т.к. { 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14…

{ 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0.

Свойства дробной части действительного числа.

1°. { x } = x – [ x ]

2°. 0 { x } < 1

3°. { x + m } = { x }, где m О Z

4°. { x } = x , если х О [ 0 ; 1)

5° Если { x } = а , a О [ 0 ; 1), то х =а +m, где m О Z

6°. { x } = 0 , если х О Z.

Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях.

Пример 1.

Решить уравнения:

1.1 { x } = 0,1

1.2 { x } = -0,7

{ x } = 2,5

{ x + 3 } = 3,2

{ x } - { x } +

Решение

По 5° решением будет множество

х = 0,1 + m , m О Z

1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

По 3° уравнение равносильно уравнению

{ x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m , m О Z

1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ: х=

х=

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 { x } 0,4

2.2 { x } 0

{ x + 4 } < 4,7

{ x }-0,7 { x } + 0,2 > 0

Решение

2.1 По 5° : 0,4 + m x < 1 + m, где m О Z

2.2 По 1° : х О R

По 3° : {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7.

По 5° : m < x < 0,7 + m , m О Z

2.4 Так как { x } 0, то { x } - 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 < ЮЮ { x } < 1 Ю x О R

2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение:

{ x }- 0,7 { x } + 0,2 = 0 Ю Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

Ответ : ( 0,5 + m ; 1 + m ) ( k ; 0,2 + k ),

m О Z , k О Z

Пример 3.

Построить график функции y = { x }

Построение.

1). ООФ : x О R

2). МЗФ : y О [ 0 ; 1 )

3). Функция y = { x } периодическая и ее период

T = m , m О Z, т.к. если х О R, то (x+m) О R

и (x-m) О R, где m О Z и по 3° { x + m } =

{ x – m } = { x }.

Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3, . . . и наименьшее положительное значение m = 1.

4). Так как y = { x } – периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же.

а). Пусть х О [ 0 ; 1 ), тогда { x } = x и y = x . Получим , что на промежутке [ 0 ; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.

б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45° , из которых исключен правый конец.

Примечание.

Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Пример 4.

Решить уравнение 17 [ x ] = 95 {x }

Решение

Т.к. { x } О [ 0 ; 1 ), то 95 { x }О [ 0 ; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ). Из соотношения

17 [ x ]О [ 0 ; 95 ) следует [ x ]О, т.е. [ x ] может равняться 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , и 5.

Из данного уравнения следует, что { x } = , т.е. с учетом полученного множества значений для

[ x ] делаем вывод : { x }, соответственно, может равняться 0 ;

Т. к. требуется найти х, а х = [ x ] + { x }, то получаем, что х может равняться

0 ;

Ответ :

Примечание.

Аналогичное уравнение предлагалось в 1 туре краевой математической олимпиады для десятиклассников в 1996 году.

Пример 5.

Построить график функции y = [ { x } ].

Решение

ООФ : х О R, т.к. { x }О [ 0 ; 1 ) , а целая часть чисел из промежутка [ 0 ; 1) равна нулю, то данная функция равносильна y = 0

y

0 x

Пример 6.

Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению { x } =

Решение

Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х = , m О Z по 5°, то на координатной плоскости следует построить множество вертикальных прямых х = + m, m О Z

y

0 x

Список литературы

Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., по ред. Н. Я. Виленкина.- М. Просвещение, 1995 г.

В. Н. Березин, И. Л. Никольская, Л. Ю. Березина Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике - М. 1985

А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 г.

Журнал “Квант”, 1976, № 5

Журнал “Математика в школе”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:08:23 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:37:13 24 ноября 2015
Доступно и понятно изложен материал,сложный для изучения.Спасибо большое.Разобралась во всём теперь.
Джина01:16:25 19 февраля 2011
ГАВНО!!!
Артур 17:20:48 13 июля 2010Оценка: 2 - Плохо

Работы, похожие на Статья: Целая и дробная части действительного числа

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150027)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru