Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Лоренцева функция расстояния и причинность

Название: Лоренцева функция расстояния и причинность
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 16:49:07 24 марта 2007 Похожие работы
Просмотров: 39 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

A.Н. Романов, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования

Цель данной работы состоит в доказательстве следующего утверждения (далее через cl обозначаем замыкание, а через int - внутренность множества, остальная терминология взята из [1, 2]):

Теорема. Различающее пространство-время (M, g) является глобально гиперболическим тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию конечности расстояния для всех .

Здесь через C(M, g) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии M, глобально конформных метрике g: для некоторой гладкой функции .

При доказательстве теоремы будем использовать следующее утверждение (см [1], теорема 3.30):

Лемма. Пространство-время (M, g) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда когда оно сильно причинно и удовлетворяет условию конечности расстояния для всех .

Доказываемая теорема является модификацией данной леммы: условие сильной причинности ослаблено до условия различаемости пространства-времени (M, g).

Так как любое глобально гиперболическое пространство-время всегда является и различающим, то первая часть часть теоремы сразу вытекает из леммы: (M, g) глобально гиперболично различающее и (по лемме) удовлетворяет условию конечности расстояния для всех .

Таким образом, остается доказать обратное утверждение: условие конечности расстояния и различаемость (M, g) влекут его глобальную гиперболичность. В действительности же достаточно доказать, что (M, g) удовлетворяет какому-нибудь условию причинности, являющемуся не слабее условия сильной причинности пространства-времени (M, g). Тем самым мы покажем сльную причинность, а учитывая лемму, и глобальную гиперболичность (M, g). В качестве такого условия выберем причинную простоту (означающую, что пространство-время различающее, а причинное прошлое и будущее любой точки - замкнутые подмножества замкнуты в ).

Тем самым доказательство теоремы сводится к доказательству следующего утверждения: различаемость пространства-времени (M, g) и условие конечности расстояния для всех метрик влекут за собой замкнутость множеств J+p, J-q для всех

Покажем, что множество J+p замкнуто для любой точки (замкнутость J-p доказывается аналогично).

Допустим обратное: точка Возьмем в I+q произвольную точку r. Покажем, что множество не пусто. Так как , то - последовательность точек , сходящаяся к q (сходимость в исходной топологии многообразия M). Так как , а множество I-r открыто (см. [1], лемма 2.5), то для достаточно больших , т.е.qn<<r. Тогда из соотношений получаем: p<<qn т.е. Таким образом, имеем: множество не пусто.

Получаем: (т.к. ).

Покажем далее, что непустое замкнутое в M множество не является компактным (наглядно это можно представлять как существование какой-то "выброшенной" из M области, в которую "упираются" некоторые причинные кривые, идущие из p в будущее или из r в прошлое).

Вернемся к рассмотренной выше последовательности (можно считать, что ). Так как , то для любого существует причинная кривая , идущая из p в qn. Продолжим до непродолжаемой причинной кривой. Любая окрестность точки q содержит все точки qn, начиная с некоторого n. А так как , то q является точкой накопления последовательности причинных непродолжаемых кривых Отсюда следует (см.[1] предложение 2.18), что существует причинная непродолжаемая кривая , являющаяся предельной для последовательности и такая, что Выберем параметризацию так, что и , причем уменьшение параметра t кривой соответствует движению по ней в прошлое.

Рассмотрим часть кривой , идущую в прошлое от точки . Заметим, что для любой точки выполняется соотношение: . Действительно, т.к. -предельная кривая последовательности то существует подпоследовательность такая, что для любой точки каждая ее окрестность Ua пересекает все, за исключением конечного числа, кривые из . Взяв точки rm такие, что.: , получим сходящуюся к a последовательность . Если выполнено еще соотношение , то получим, что . В данном случае включение выполняется всегда. В самом деле, если , то это означает, что кривая (вместе с кривыми ) покинула область cl(J+p). Однако выйти из может лишь через точку p, так как все "фокусируются" в p (по их определению), а - предельная кривая для последовательности . Но такого быть не может, так как это означало бы существование отрезка (лежащего на кривой ), соединяющего точки p и q и являющегося частью причинной кривой (-причинна), что противоречит выбору точки .

Таким образом, мы показали, что . Ясно, что выполнено также включение (т.к. из , т.е. ) В результате имеем: . Рассмотрим последовательность точек an, где . Если бы множество было компактным, то бесконечная последовательность должна иметь хотя бы одну предельную точку. Покажем, что такой точки нет. Допустим обратное: пусть существует точка x и подпоследовательность такие, что любая окрестность Ux точки x содержит все точки am, начиная с некоторого m.

Заметим сначала, что не существует точки , обладающей следующим свойством: любая окрестноть точки z целиком содержит кривую для некоторого , так как это бы означало, что при , т.е. существование у кривой концевой точки z, чего быть не может вследствие того, что непродолжаема.

Следовательно, существует малая окрестность Ux точки x такая, что кривая , входя в нее, через некоторое время обязательно ее покидает, после чего опять в нее входит (т.к. ), и т.д. Построим покрытие кривой достаточно малыми окрестностями ее точек. Обратим внимание на то, что все кривые , за исключением конечного числа, проходят внутри любой окрестности кривой , не выходя из нее (разве что покидают ее, когда "кончается"). То есть "повторяют" движение .

Таким образом, кривые бесконечное число раз покидают Ux и возвращаются в нее, следуя за (прилегая к ней сколь угодно близко). При этом кривые не могут пройти через точку p, так как их "сопровождает" кривая , которая в таком случае так же должна была бы пройти через p, как предельная для последовательности , чего, как упоминалось выше, быть не может.

В результате получили, что ни для какого конечного значения параметра , т.е. кривые не проходят через точку p. Невозможен также случай, когда при , так как это означало бы наличие у кривых концевой точки, чего быть не может, так как -непродолжаемые кривые. Но по выбору кривые выходят из точки p. Следовательно, мы получили противоречие, означающее, что наше предположение о существовании предельной точки у бесконечной последовательности неверно. А зто означает, что множество некомпактно.

Пусть далее h - вспомогательная (геодезически) полная положительно определенная метрика на M, а - риманова функция расстояния, индуцированная на M метрикой h. По теореме Хопфа-Ринова для римановых многообразий из полноты (M, d0) следует, что все подмножества M, ограниченные относительно d0, имеют компактные замыкания.

Следовательно, из того, что множество некомпактно, заключаем, что множество неограничено (относительно d0). Отсюда следует, что для каждого n можно выбрать так, что d0(p, pn)<n. Возьмем точки и , связанные условием: , и покажем, что существует конформный множитель такой, что .

Так как , т.е. существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из в . Выберем параметризацию кривой так, что . Обозначим через гладкую функцию, обладающую следующими свойствами: , если и длина в метрике больше n: . Определим (корректность этого определения следует из того, что для каждого самое большое лишь один из сомножителей отличен от единицы). Получаем:

Тогда из соотношений и обратного неравенства треугольника следует:

(первое слагаемое больше n, второе больше нуля).

Так как это неравенство справедливо для всех n>1, то получаем следующее соотношение:

Таким образом, найдена лоренцева метрика , глобально конформная метрике g, в которой не выполняется условие конечности расстояния, что противоречит исходному условию теоремы. Это означает, что наше предположение о незамкнутости множества J+p неверно. Следовательно, пространство-время (M, g) является причинно простым, а значит, и сильно причинным, что с условием конечности расстояния для всех означает (по лемме) его глобальную гиперболичность.

В заключение заметим, что условия различаемости (M, g) и конечности расстояния для всех влекут также непрерывность лоренцевой функции расстояния в любой метрике , так как глобальная гиперболичность остается при всех (конформные преобразования не меняют причинную структуру), а в любом глобально гиперболическом пространстве-времени лоренцева функция расстояния непрерывна ([1], следствие 3.7).

Список литературы

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. M.: Мир, 1985.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:55:18 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:53:56 24 ноября 2015

Работы, похожие на Статья: Лоренцева функция расстояния и причинность

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150026)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru