Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

Название: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 16:43:07 24 марта 2007 Похожие работы
Просмотров: 60 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

С.А. Клоков, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение. Обозначения. Постановка задачи

Пусть - стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), , - -алгебры, порожденные семействами , . Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания

стремится к нулю при .

Как обычно, через обозначим дисперсию суммы , а через - нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы и обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в.,  ·  - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через обозначим срезку , через - дисперсию суммы . Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность таких с.в., что и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением , где const - абсолютная константа, будем писать , а если и , то .

Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, [5]).

Говорят, что последовательность с.в. притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и имеет место соотношение , . В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).

Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В [?] доказана

Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, , для некоторого и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1] высказана

Гипотеза (Ибрагимов, 1965).

Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение.

Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с , и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.

Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого ( - ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана

Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем . Пусть , выполнено соотношение

(1)

где h(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

В настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что для всех выполнено

(2)

Очевидно, что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.

Основным результатом работы является обобщение теоремы 2:

Теорема 3. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение

(3)

где h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону.

Обобщение результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства теоремы 2, данного в работе [4].

2. Вспомогательные результаты

Из (2) очевидным образом следует

Лемма 1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда для любого фиксированного и для любой функции достаточно медленно.

Определим последовательность соотношением .

Лемма 2. Пусть выполнено (3). Тогда

а) для любого x0 или достаточно медленно;

б) если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность достаточно медленно, то .

Доказательство. Из определения an легко выводится, что

(4)

Из (4) и леммы 1 следует, что

(5)

Пункт а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного k или достаточно медленно, что

.

Выбором достаточно большой константы можно добиться, что , откуда следует, что . Выбирая достаточно малую константу D = D2, получим, что . Таким образом, .

Лемма 3. Пусть - схема серий с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. образуют стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом перемешивания причем . Пусть Tn,j ,. Тогда

(6)

Доказательство. Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в [3, лемма3.3].

Лемма 4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение .

Доказательство. Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].

Лемма 5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда

(7)

где при .

Доказательство. Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0, что . Пусть - такая числовая последовательность, что и zn = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для

(8)

Из (8) выводим

где 0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а) леммы 2, нетрудно вычислить, что при .

3 Доказательство основного результата

В работе А.Г. Гриня [?] введено понятие универсальной нормирующей последовательности (УНП) . Там же доказана

4. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если , и необходимо, чтобы при любом . Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3, получаем

(9)

Вместе с определением УНП (9) означает, что и an2 = o(bn2). Пусть последовательность q = q(n) стремится к бесконечности столь медленно, что an2 = o(q-1bn2). Пользуясь пунктом а) леммы 2, имеем для любого

при . Согласно теореме 4, последовательность притягивается к нормальному закону. Теорема доказана.

Список литературы

Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятн. и ее применен. 1990. Т. 35. N2. С. 255-270.

Peligrad M. An invariance principle for -mixing sequences. - Ann. Probab. 1985. V. 13. N4. Р. 1304-1313.

Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for -mixing sequences // Stochastic Processes and their Applications. 1990. V. 35. P. 293-308.

Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 142 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:55:09 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:53:52 24 ноября 2015

Работы, похожие на Статья: Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150512)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru