Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

Название: Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 13:56:07 24 марта 2007 Похожие работы
Просмотров: 211 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений

с начальным условием

где , а оператор имеет вид , .

В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений (1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М - матриц [3, с. 132].

2. Основные результаты

Введем некоторые обозначения.Пусть - длина вектора , - норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица, составленная из элементов , Rm+ - множество векторов с неотрицательными компонентами. Если , то запись u>0 означает, что ui>0 при всех . Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между их комнонентами. Для фиксированного T>0 под C+T будем понимать пространство неотрицательных непрерывных на отрезке [0,T] функций с нормой , где K>0 - некоторая константа, [2, с. 11]. В системе (1) , при под понимается правосторонняя производная. Далее, , , , , . Функции предполагаются непрерывными в своих областях определения.

От системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений вида

где (Fx)(t) =

Здесь при , h(t) = 0 при , - отрезок интегрирования, . Примем в дальнейшем, что выполнено следующее предположение :

H) элементы матрицы определены, непрерывны и ограничены, ; функции удовлетворяют условию Липшица , , , где D - некоторое выпуклое подмножество Rm+.

Пусть M1 и M2 такие постоянные, что , , . Зададим матрицы A,B,Q по формулам : , где при и при , , Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим

(Lx)(t) =

где . Тогда и для всех таких, что , верно неравенство .

Теорема 1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на , и справедливы оценки , где .

Теорема 2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике и существует , такой, что . Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное, ограниченное решение x=x(t), определенное на , и справедливы оценки .

Теорема 3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех верно , где .

Приведем краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам . Выберем . Используя оценку , приходим к неравенству , где , . Имеем, что при (поэлементно). Единичная матрица I является невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной зависимости найдется такое a0>0, что (I - A0(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, получаем, что существует , такой, что верно неравенство . Отсюда следует, что при всех . Зафиксируем T>0 и обозначим через CwT множество всех функций , удовлетворяющих неравенству . Тогда из неравенств следует, что . Пусть множество . Для всех верно, что , где , , . Полагая , получаем, что отображение F является сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0, где . Если существует , такой, что , то и является сжимающим отображением на CwT. Используя далее принцип сжимающих отображений, убеждаемся в справедливости утверждений теорем 1 и 2.

Для доказательства теоремы 3 строится оценка на решение , где , функция w(t) такова, что . Эти неравенства будут выполнены, если , где , при при . Матрица (I - A1(a) B) непрерывно зависит от a и (поэлементно) при . Так как Q является невырожденной М - матрицей, то найдется a = a0 >0 такой, что (I - A1(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, можно показать, что существуют и такие, что выполняется неравенство . В итоге получаем, что справедливы оценки на решение .

3. Заключение

Установленные выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность, неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых процессов.

Важным следствием теоремы 3 являются достаточные условия, при которых популяция вырождается, т.е. ее численность x(t) такова, что при . Предположение H) задает ограничения на интенсивности процессов рождения и гибели особей, тогда как условие f(0) = 0 означает, что нет внешних источников поступления новых особей. Заметим, в частности, что предположение H) и условие f(0) = 0 выполняются для линейных процессов рождения и гибели особей. В нелинейном случае этому предположению и условию удовлетворяют f(x) и , заданные в виде некоторых многочленов, рациональных функций либо функций с непрерывными частными производными. Функции такого вида широко используются в моделях биологических процессов, см., например, [5,6].

Нетрудно показать, что матрица Q будет невырожденной М - матрицей для малых или при достаточно малых ненулевых элементах матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D = Rm+, то экспоненциальная оценка на решение x(t) справедлива при любом начальном значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка выполняется для x(0), лежащих в некоторой окрестности точки x = 0. В обоих случаях конкретный вид начального распределения особей по возрасту не влияет на экспоненциальную оценку (вектор зависит только от значений x(0)). В рамках принятых предположений можно сделать следующий вывод: если в некоторых популяциях особи являются короткоживущими или интенсивности процесса рождения особей достаточно малы, то такие популяции обязательно вырождаются, причем независимо от начального распределения особей по возрасту.

В завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая описывается дифференциальным уравнением

с начальным условием , где , см., например, [5, c. 14]. Если учитывать ограниченность времени жизни особей, то в соответствии с (1) следует рассмотреть уравнение

с начальным условием (2). Здесь в качестве множества D можно рассматривать произвольный отрезок [0, d], . Пусть . Из теоремы 3 следует, что решение x(t) данного интегро-дифференциального уравнения таково, что при для любых начальных значений x(0). Можно показать, что этот результат справедлив и для . Неравенства задают на плоскости область параметров, при которых популяция вырождается. Кроме того, можно показать, что для решение при , независимо от значений x(0), где x* - единственный положительный корень уравнения С ростом t решение x(t) приближается к x* либо монотонно, либо с затухающими колебаниями. Отметим, что решение логистической модели таких колебаний не имеет.

В заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].

Список литературы

Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц. Омск, 1994. С.119 - 129.

Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:53:11 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:53:01 24 ноября 2015

Работы, похожие на Статья: Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(149882)
Комментарии (1829)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru