Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Название: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 02:34:30 21 января 2005 Похожие работы
Просмотров: 692 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура 0 .

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0 .


Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi . Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

(1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi )=Ui


Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

(1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.


Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

(1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня,  постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:


(1.4)

где  начальное значение коэффициента теплопроводности,  вспомогательный коэффициент.


Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

(1.5)


т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь  значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.


Время Т0 , по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1.6)


где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

(1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

о С

о С

 141,85 (Вт/м*К)

2,703*10-4

6,789*10-7

3,383*102 (Вт/м2 *К)

218 о С

А = 3,043*10-5 (м2 /с)

11

X, м U, o C
0 353
0,00386 343
0,00772 313
0,01158 261
0,01544 184
0,01930 74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.


Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

(2.1)


В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)


Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

(2.3)

Сумма

Система (2.3) примет вид:

(2.4)


В результате вычислений получаем Sk и Vj . Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1 . В результате получаем:

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак , находим минимальное значение суммы S:

Smin =0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.


Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией  , которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0 =3.5438 10-22

S1 =-8.9667 10-14

S2 =6.3247 10-7


Откуда:

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.


Выбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение  равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Доверительные интервалы для коэффициентов:

(2.4*)


В нашем случае примут вид:

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.


Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi ;Ui ). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией  Мы выбрали функцию регрессии в виде:

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

(2.5)


C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).


Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

(2.7)


Решая эту систему методом Гаусса, получим:

(2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:


Н0 – альтернативная гипотеза

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.


В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:

(2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r1 ) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F* , удовлетворяющее равенству: p(F>F* =

В нашем случае F=349.02, а F* =10,13.


Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F , имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности .


Коэффициент вычислим по формуле (1.5), обозначим:

(3.1)

Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления не превосходила 0,1%, т.е.:

(3.2)


Т.к. из (3.1) очевидно, что  , то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

(3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём 0,001Т (3.4)

Т=218 о С, следовательно, 0,218 о С.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

Использование теоретической оценки погрешности


Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:

, где M [f”(t)], te [0;T], f(t)=e- bt 3


Учитывая формулу (3.4) получаем:

(3.5)


Дифференцируя f(t), получим:

А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1 , t=t2 , t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10-4

f’’(t2)=-1.6627 10-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10-6

Итак: M 1,5886 10-4 , откуда n=25.66; принимаем N=26.


Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления :


3.2 Вычисление интеграла I методом парабол


При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

, откуда:

Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV (t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2 n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2 n -In | = 15, то |I-I2 n |=


Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

(3.6)


Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n In I2n
4 102.11
8 101.61 0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8 n=4
ti (8) y8 ti (4) y4
0 1 0 1
27.25 0.9864
54.5 0.8959 54.5 0.8959
81.75 0.6901
109 0.4151 109 0.4151
136.25 0.1796
163.5 0.0514 163.5 0.0514
190.75 0.0089874
218 0.00088179 218 0.00088179

4. Вычисление времени Т0 установления режима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: Axsin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

F(x) -1 -0.6285 0.4843
x 0.01 0.05 0.1

т.е. с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей 

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0


f”(x)=(2A+1)cos(x) – Axsin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу касательных:

по методу хорд:

Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

n an bn f(an ) f(bn )
0 0.05 0.1 -0.6285 0.4843
1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394
2 0.08202 0.08207 -9.1515 10-4 3.7121 10-4
3 0.08206 0.08206 -8.4666 10-8 3.4321 10-8

Т0 = 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = (x). Для этого умножим обе части на произвольное число , неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - f(x)


xx - Axsin(x) + cosx)

В качестве возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда 0,045.


Приближение к корню ищем по следующей схеме:

Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:

(q = max |’(x)| на [a’b])

’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

’(0,05) = 0,3322 ’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

i xi ( xi )  xi
0 0.075 0.082392 0.00739
1 0.082392 0.082025 0.000367
2 0.082025 0.08206 3.54 10-5
3 0.08206 0.082057 3.33 10-6
4 0.082057 0.082057 3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10-4 , имеем:

Т0 = 72,7176 с. , 0.03142

5. Решение краевой задачи


Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:

(5.1)


Введя новую переменную y = (U -   , запишем (5.1) в виде:

(5.2)


  0.18L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём .

Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях , получим:

(5.3)


Ограничимся двумя первыми членами ряда:

Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y0 :

где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения.


Корни уравнения:

y0общ = 1 + c1 ch(px)+c2 sh(px), где p = 0.01953


Константы найдём из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:

y0 = 1 - 0.57 sh(px)


Общее решение:

Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569;

Тогда общее решение для y1 имеет вид:


с3 = 0; с4 = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:


   

Итоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

x U(x) U
0 352.9075 353
0.0019 350.4901
0.0039 343.1972 343
0.0058 330.9053
0.0077 313.4042 313
0.0097 290.391
0.0116 261.4598 261
0.0135 226.0893
0.0154 1836255 184
0.0174 133.2579
0.0193 74 74

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

[см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:48:11 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:12:36 24 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150407)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru