Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Теория твердоемкости тела. Ход Дебая

Название: Теория твердоемкости тела. Ход Дебая
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 17:01:16 09 октября 2005 Похожие работы
Просмотров: 922 Комментариев: 2 Оценило: 5 человек Средний балл: 2.2 Оценка: неизвестно     Скачать

Теплоемкость твердых тел (классическая модель)

В рамках данной книги наибольший интерес представляет обычно область температур выше дебаевских. Поэтому здесь мы не дадим подробного квантово-механического анализа теп­лоемкости твёрдых тел. Однако можно провести более деталь­ное обсуждение теплоёмкости с классической точки зрения. Это поможет читателю получишь более глубокие представления о колебаниях самих атомов.

Первый шаг состоит в определении теплоемкости осцил­лятора. Предположим что общую теплоемкость всего твердого тела, состоящего из N атомов можно поровну разделить между 3N осцилляторами (каждый атом принимается за три осцил­лятора, так как атом может перемещаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях). Тогда задача сводится к тому, что бы объяснить , почему теплоемкость одного осцил­лятора- будет равна 3R / 3N (R 2 кал/моль - К.). Чтобы решить эту задачу, мы сначала рассмотрим теплоемкость идеального газа, поскольку; температурная шкала установлена именно для идеального газа. Если мы сможем установить связь между энергией атомов 0идеального, газа и его температурой, мы тем самым сумеем выявить процессы, которые приводят к поглощению энергии твердым телом при повышении его температуры. Напишем уравнение , состояния идеального газа, занимающего объём V при давлении Р и температуре Т :

PV = RT. (1)

Чтобы рассчитать теплоемкость, надо выразить давление газа в замкнутом объеме через его внутреннюю энергию. Определим давление, которое оказывает на стенки сосуда. Пусть сосуд имеет форму куба и площадь каждой стенки равна 1м .Тогда сила F действующая на стенку равна Р. Предположим, что в этом объёме находится N атомов газа. Будем также считать, что их движение беспорядочно т. е. параллельно каждой координатной оси перемещается N / 3 атомов. Пусть скорость всех атомов одинакова и равна V . Тогда все атомы обладают одинаковым количеством движения р. При каждым ударе атома о стенку ей передается импульс 2р. По закону Ньютона сила равна dр / dt . Поэтому для всех N атомов можно написать

(2)

где т— масса атома.

Это выражение можно Преобразовать так, что бы в него вошла энергия. Кинетическая энергия Е каждого атома равна 1 /2 mv

(3)

Поэтому уравненение можно написать в виде

(4)

Подставив значение Р в уравнение , окончательно получим

(5)

Если N —число Авогадро ,то молярная теплоемкость С равна

или

Для идеального газа теплоемкость не зависит от темпера­туры, а ее значение (3 кал/моль -°К) хорошо согласуется с изме­рениями для одноатомных газов. Тепловая энергия, приходя­щаяся на каждую степень свободы атома относительно про­странственных координат, равна кТ 1 2.

Теперь задача заключается в выводе для твердого тела уравнения, аналогичного выражению (6). Очевидно, что для твердого тела такой вывод нельзя дублировать, так как атомы твердого тела не ударяются о стенку сосуда, и давление равно нулю. Может показаться, что уравнение (6) вообще неприменимо для любых твердых тел. Однако значение этого уравнения очень велико и не ограничивается тем особым слу­чаем, для которого оно было выведено. На каждое нормальное колебание системы приходится тепловая энергия кТ / 2 (в пре­дельном случае высоких температур).

Нетрудно определить, как происходит изменение энергии гармонического осциллятора. Колеблющийся атом обладает и кинетической, и потенциальной энергиями. Обе эти состав­ляющие не постоянны; только их сумма, общая энергия Е , является константой.. В течение периода кинетическая энергия изменяется от нуля до Е . Среднее значение кинетической энергии в действительности равно точно Е / 2 , такое же сред­нее значение имеет и потенциальная энергия. Вспомним, что для газа в замкнутом объеме тепловая энергия атома, отне­сенная к каждой координате его перемещения, составляет ровно кТ / 2. Вспомним также, что для газа вся тепловая энер­гия есть энергия кинетическая, а потенциальной энергией газ не обладает. Предположим, что для осциллятора средняя кинетическая энергия Е / 2 (имеет величину ) кТ / 2. Тогда общая тепловая энергия каждого осциллятора равна кТ , а суммарная тепловая энергия всего твердого тела, состоящего из атомов, будет составлять

Е = 3 Nk Т. (7)

Из этого выражения следует, что молярная теплоемкость твердых тел равна

С =3 N k кал/моль- °К = З R кал/моль-К. (8)

Для температур выше дебаевских это уравнение дает клас­сическое значение 6 кал/моль К. Отметим, что это ровно вдвое больше значения теплоемкости ЗR / 2 для идеального

газа, поскольку осциллятор может накапливать тепло и в виде потенциальной энергии. К уравнению (7) можно прийти и другим путем, который рассматривался ранее. Этот вывод основан на том, что каждый способ поглощения анергии допу­скает накапливание ее в количестве / 2 на каждую степень свободы. Тепловая энергия линейного осциллятора склады­вается из двух слагаемых: величины kT / 2 , приходящейся на долю кинетической энергии, и величины / 2 — вклада потенциальной энергии. Следовательно, тепловая энергия твер­дого тела, рассматриваемого как совокупность 3 N осцилля­торов, опять равна 3 NkТ.

Необходимо подчеркнуть, что аргументы, приводящие к выводу уравнения (8), в принципе корректны, но исполь­зованные количественные соотношения далеко не всегда точно отражают реальное положение дел.

Зная, что тепловая энергия осциллятора имеет порядок (по доказанному выше), можно вычислить амплитуду коле­баний атома. При максимальном смещении энергия осциллятора становится целиком потенциальной. Поскольку эта энергия равна /2 ,

Для атома, у которого коэффициент упругости «пружины» а 25 н 1 м . при комнатной температуре имеет порядок 0,2 А. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными измере­ниями атомных смещений рентгеновскими методами.

Для обычных металлов при обычных температурах это отношение составляет примерно 1/100. Отсюда ясно, почему теплоемкость металла довольно точно описывается решеточной составляющей и почему закон Дюлонга и Нти справедлив при высоких температурах.

Отметим также, что теплоемкость С линейна по Т . При очень низких температурах этот линейный член, который обычно записывают в виде

С = Т

можно отделить от решеточного члена, который стремится к нулю быстрее — как Т . Измерение дает непосредственную инфор­мацию о величине плотности состоянии на уровне Ферми. Например, для переходных металлов наблюдаются высо­кие значения у в соответствии со сказанным в настоящие главы.

Происхождение линейного хода теплоемкости при низких температурах можно понять следующим образом. Рассмотрим распределение Ферми. Влияние температуры сводится к возбуждению небольшого числа электронов на более высокие уровни. Но этот аффект может быть заметным только в области энергии порядка Т вблизи . Мы можем сказать, что каждый

Термическое возбужденно электронов в металле.

электрон из общего числа, примерно равного ( ), при­обретает энергию порядка Т . Таким образом, полный выигрыш энергии составляет приблизительно

Это соответствует теплоемкости

Электронная теплоемкость

Электроны в металлах должны вносить некоторый вклад в пол­ную теплоемкость. Чтобы найти его, вычислим среднюю энергию электронов. Воспользуемся формулой (1), предполагая, чти система электронов сильно вырождена

Продифференцируем этот результат по температуре, учитывая , что уровень Ферми также зависит от температуры(3):

Здесь использовано равенство и опущены члены высшего порядка по Т.

Это очень важный результат. Сравним выражение (3) с теплоемкостью классического газа частиц, скажем 3/2 . В кван­товом случае результат намного меньше. Для свободных элек­тронов плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми, составляет 3/2 , так что

Твердые тела.

Колебания решетки подобны акустическим стоячим волнам, которые также являются синхронно и взаимно независимыми. В дальнейшем мы будем разлагать каждый тип колебаний на две бегущие волны, волновые векторы которых имеют про­тивоположные знаки.

В квантовой механике отдельные типы колебаний рассма­триваются таким же путем, как и в классической физике. Энергии этих колебаний дискретны. и равны (1 / 2 + n )h .Квантовые числа n можно рассматривать как числа « фононов » или звуковых квантов с энергией . Фононам приписывается импульс, равный , где с—скорость звука.

Произведение

(9)

равно нулю, если . Если колебания рассматриваются как функции векторов решетки, то они должны обладать свойством ортогональности. Их можно в общем случае рас­сматривать как волновые функции фононов.

Так как имеют место два поперечных и сдан продольный типы колебаний. Совместимых с каждым волновым вектором, то типы колебания, или состояния фонона, должны характери­зоваться „спиновой переменной’’ s , которая может принимать три значения. Для упрощения записи эта спиновая перемен­ная, где это возможно, опускается.

Несмотря на то что понятие фонона является не более чем образным выражением, оно все же полезно, позволяя объединить статистические теории газообразного и твердого состояний. Если обозначить энергию фонона через , а число типов колебаний в бесконечно малой области вблизи через , то поведение кристалла во многих отношениях можно изучать как свойства фононного газа.

Термодинамические величины кристаллического твердого тела в соответствии с этим будут равны сумме термодинамических функций отдельных типов колебаний. В частности, свободная энергия будет равна:

(10)

также молярная теплоемкость выражается в виде:

(11)

Функция должна подчиняться требованию

(12)

Ввиду последнего условия правая часть равенства (11) при высокой температуре будет равна 3NR для любой функции ( ). При низких температурах играют роль только неболь­шие значения энергий , а для этих энергетических уровней кристалл можно рассматривать как идеальный фононный газ. Распределение однофононных состояний по импульсам идентично соответствующему распределению для материальных частиц, т. е. ( ) . Учитывая связь между импульсом и энергией, получим распределение по энергиям (13)

78

Интеграл дает только численный множитель, так что теплоемкость пропорциональна кубу температуры. Чтобы вывести формулу для интерполяции между надежными зна­чениями теплоемкости при высокой и низкой температуре, мы предположим, что выражение (13) справедливо ниже определенного предела энергии, тогда как за его пределами

. Этот предел выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие (12). В терминах „дебаевской темпе­ратуры» , которая является эмпирической константой, ха­рактерной для данного твердого тела, предельную энергию можно выразить в виде . Кривая теплоемкости тогда

будет иметь вид

(14)

В этом выражении интеграл является функцией температуры и находится из таблиц или вычисляется численным интегри­рованием. Согласие этой формулы с измерениями лучше, чем можно было ожидать на основании предположений, сде­ланных при ее выводе.

Переходя теперь к переносу тепла в твердом теле, мы тотчас замечаем, что фононы, обладая свойствами волн, спо­собны передавать энергию на любое расстояние независимо от градиента температуры. Такой перенос тепла скорее на­поминает процесс излучения, чем процесс теплопроводности. Однако эксперимент с несомненностью показывает, что теплота передается через кристаллические; твердые тела только при наличии неоднородности температуры.

В качестве предпосылки к возникновению стационарных градиентов температуры необходимо, чтобы фононы могли обмениваться энергией. Такой обмен возможен, если принять во внимание ангармонические члены в выражении по­тенциальной энергии . Эти члены можно выразить в функции отдельных типов колебаний. Решая отно­сительно Гц и подставляя , мы получим эту часть потенциальной энергии в виде ряда, в котором каждый член зависит от произведения трех типов колебаний:

(15)

Тензоры третьего ранга Ь являются, по крайней мере в прин­ципе, известными величинами.

Каждый член в уравнении можно использовать для вычисления матричного элемента, определяющего в соответ­ствии с вероятность перехода между состояниями с двумя типами колебаний и состоянием с одним типом ко­лебания или обратно. Процессы такого рода известны под названием трехфононных столкновений. Матричные эле­менты в общем случае обращаются в нуль, когда осуще­ствляется суммирование по узлам решетки, так как экспо­ненциальные функции меняют знак и сокращаются. Неисче­зающие матричные элементы соответствуют только таким процессам, в которых

(16)

или

(17)

Эти условия совместно с условием R =R ‘ =R» приводят к тому, что экспоненциальные функции становятся равными единице. Сумма в (15) в соответствии с этим остается ко­нечной, если удовлетворяются условия (16) или (17). Закон сохранения энергии в переходе выражается в требо­вании, чтобы частоты ‘были связаны соотношением

(18)

или сходным уравнением.

Если волновые векторы удовлетворяют условию (16), то вероятность перехода будет конечной; однако такие про­цессы не должны приводить к наличию теплового сопроти­вления, так как волновой вектор при столкновении сохра­няется; таким образом, радиационный перенос энергии через решетку не предотвращается. Если волновые векторы удо­влетворяют условию (17), то волны рассеиваются; такого рода переходы называются процессами переброса ‘); они приводят к местному накоплению энергии и создают градиент температуры.

Таковы основы теории теплопроводности в кристалличе­ских твердых телах. Матричные элементы, вычисленные по (18), используются в трехфононных столкновениях. Если обозначить число фононов в равновесном состоянии через

(19)

то неравновесное распределение определяется в виде

(20)

где v—неизвестная функция от 1. В случае стационарного градиента температуры эта функция должна удовлетворять кинетическому уравнению

(21)

В этом уравнении коэффициенты А и В зависят от трех волновых векторов и соответствующих частот и полностью определяются с помощью теории возмущений. Величина К рассматривается как непрерывная переменная, поскольку гра­диент температуры определяется только в пределах таких областей, которые велики по сравнению С периодом кристал­лической решетки. Тройка волновых векторов соответствует процессам переброса.

Решения этом уравнения еще не получены. Пока еще невозможно вычислить количественно теплопроводность кри­сталлов, причем математические трудности в решении урав­нения (20) не являются единственным препятствием к этому. С помощью функции распределения коэффициенты пере­носа можно получить только посредством уравнения , к которому эта функция непосредственно не применима.

Однако теория дает возможность получить полуколиче­ственные результаты, которые находятся в соответствии с экспериментом. Найдено, что при высоких температурах коэффициент теплопроводности пропорционален 1 / Т. Это очень хорошо согласуется с теоретическим результатом, вы­текающим из температурной зависимости коэффициентов уравнения (20). Когда температура снижается, вероятность процессов переброса заметно убывает и роль этих процессов в образовании теплового сопротивления кристаллов при низ­ких температурах стремится к нулю. Приобретают значение другие процессы, как, например, расспяние фононов на де­фектах решетки или границах зерен; и здесь снова экспериментальные результаты согласуются с выводами теории.

Теория явлений переноса в кристаллах и в классических жидкостях в настоящее время еще несовершенна по ряду причин. В классической жидкости оказывается трудным точно установить те микрофизические случайные процессы, от которых зависит необратимость; но функции молекуляр­ного распределения и их оценка находятся в наших руках. В кристаллах подробные сведения об элементарных случай­ных процессах недостаточны для вывода соответствующих функций распределения.

К сожалению, мы мало что можем сказать о квантовой теории жидкого состояния. Экспериментальные исследования жидкого гелия, дают обширные данные, интерпретация кото­рых в настоящее время проводится почти целиком на основе модельных представлений, не связанных с какой-либо фунда­ментальной теорией. Попытки вывести выражения для рас­пределения энергетических уровней и термодинамических параметров ведутся, но пока лишь с ограниченным успехом. Однако в этом отношении имеются обнадеживающие пер­спективы.

Обычно принимается, что нижние возбужденные состоя­ния жидкого гелия должны рассматриваться как фононный газ, не отличающийся от состояний кристаллических реше­ток. Эта точка зрения подтверждается измерениями тепло­емкости, которая оказалась пропорциональной Т при темпе­ратуре ниже 0,6° К. Однако в жидкостях фононы не могут рассматриваться с помощью линейных преобразований коор­динат атомов. Отдельные колебания можно определить только как пространственные компоненты Фурье в разложении плотности. Несмотря на эту трудность, многие авторы до­стигли некоторых успехов в определении вклада фононных переменных в функцию Гамильтона и в уравнения движе­ния.

Теории придется преодолеть еще серьезные математиче­ские трудности, но можно ожидать, что она постигнет боль­ших успехов в изучении квантовых жидкостей.

Наше рассуждение в сущности сводится к тому, что элек­троны, расположенные в глубине распределения Ферми, почти «не чувствуют» влияния температуры. Их состояние определяется принципом Паули, который требует, чтобы электроны запол­няли все уровни, но не позволяет им вторгаться друг к другу па уровень. Не удивительно поэтому, что электроны, расположен­ные в глубоких внутренних оболочках ионных остовой, не следует принимать во внимание при вычислении теплоемкости твердого тела, по крайней мере до тех но)), пока температура не станет столь велика, что они смогут -возбуждаться термическим путем.

Ход Дебая.

В 1912 г. эту задачу приближенно решил Дебай, рассматри­вая твердое тело, как изотропную непрерывную среду. -

Число продольных колебаний в интервале частот ( ) в объеме V не прерывной среды равно

где а— скорость распространения продольных волн в среде.

В твердом теле помимо продольных колебаний возможны два независимых поперечных колебания. Их число в том же интервале частот

где С1 — скорость распространения поперечных колебаний.

Полное число колебаний в интервале

где с — средняя скорость упругих волн в среде, определяемая из равенства

В .непрерывной среде число собственных колебаний бесконечно. Атомная структура -твердого тела учитывается теории Дебая условием, что число нормальных колебаний равно числу степеней свободы твердого тела, т. е.

Откуда максимальная частота

а соответствующая ей минимально возможная длина волны , где а — межатомное расстояние в кристалле.

Таким образом, функция распределения частот в теории Дебая имеет вид

На рис. пунктирная линия изображает функцию распределе­ния частот в теории Дебая, а сплошная линия — решеточную функцию распределения, учитывающую дискретную структуру \кристалла и специфичную для конкретного твердого тела. Функция определяется экспериментально по рассеянию нейтронов, а теоретически — численными методами.

В качестве термодинамического потенциала кристалла по формулам можно вычислить энергию Гельмгольца, а потом определить и все другие термодинамические функции твердого тела в теории Дебая.

Вычислить внутреннюю энергию Е Действительно, получим

Для вычисления интеграла евведем новую переменную и температуру Дебая

(по порядку величины 100— 1000 К). Тогда для одного грамм-атома кристалла получаем

где функция Дебая

При высоких температурах, , в верхнем пределе интег­рала функции Дебая стоит малая величина, поэтому в подынтег­ральной функции х заведомо мало; полагая , получим

и теплоемкость имеет классическое значение

При низких температурах, , в верхнем пределе интеграла функции Дебая стоит большая величина, и так как в знаменатель подынтегральной функции входит член то этот предел можно заменить на бесконечность. Тогда

так как Внутренняя энергия


и теплоемкость ,

Таким образом, при низких температурах теплоемкость кристал­ла пропорциональна кубу температуры («закон 7»»).

Из формулы находим выражение для теплоемкости во всей области изменения температуры:

Из этой .формулы видно, что в теории Дебая теплоемкость явля­ется для всех тел одной и той же универсальной функцией . График зависимости от в приведен на •рис. Формула для теплоемкости, несмотря на приближен­ный характер теории Дебая, хорошо подтверждается на опыте. Дальнейшее развитие теории теплоемкости кристаллов связано с отказом от замены твердого тела непрерывной средой и рассмот­рением колебаний твердого тела как колебаний кристаллической решетки.

В теории Дебая можно вычислить энергию Гельмгольца и другие термодинамические величины (•)..

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:46:09 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
13:48:15 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Теория твердоемкости тела. Ход Дебая

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151226)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru