Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Математический маятник

Название: Математический маятник
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 01:31:37 27 июня 2005 Похожие работы
Просмотров: 8669 Комментариев: 10 Оценило: 15 человек Средний балл: 3.1 Оценка: 3     Скачать

Содержание

Введение

Уравнение движения математического маятника

Период колебаний

Выводы

Литература

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.


Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW =F +N , (1)
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Рисунок 1

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

. (2)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

или ,

где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

или .

В нашем случае получим в проекции на ось t

,
где m есть масса маятника.

Так как или , отсюда находим

.
Сокращая на m и полагая

, (3)
будем окончательно иметь:

,

,

,

. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

при t = 0, . (5)
Из интеграла энергии:

, (6)
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол j£j0 . Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j0 мал (j0 £1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (8)
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T ) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT =2p Þ

(9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j0 = A , 0 = wB ,

т.е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

j = j0 cos wt. (11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

,
то (4) можно представить в виде

.
Отсюда, умножая обе части уравнение на d j и интегрируя, получим:

. (12)
Обозначим здесь через j0 угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j0 будем иметь, откуда C = w2 cosj0 . В результате интеграл (12) даёт:

, (13)
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

, (14)
где — работа на перемещении M 0 M активной силы F , если учесть, что в нашем случае v 0 =0, и (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j0 и -j0 (|j|£j0 , так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t =0, j=0. (15)

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

Так как

, ,
то

.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

. (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

, где . (18)

Тогда

,
откуда

.
Кроме того,

.
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

. (19)

По принятым начальным условиям (15) при t =0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t , а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

. (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

. (21)
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u , то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

,
или

. (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

. (23)

Функция snu (синус-амплитуда u ) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

. (24)

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j0 величина , то из уравнения (20) имеем:

. (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

, (26)
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

. (27)
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

.
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

.(28)
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

,
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

. (29)

Следовательно, чем больше j0 (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

. (30)


Выводы

Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для малых колебаний, заокн движения маятника через эллиптическую функцию.

Получено выражение для периода колебаний маятника.

Литература

Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений21:44:28 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:35:48 09 февраля 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
17:21:41 04 декабря 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
13:47:30 24 ноября 2015
Слабоват ((
Константин19:01:10 10 мая 2012Оценка: 2 - Плохо

Смотреть все комментарии (10)
Работы, похожие на Реферат: Математический маятник
Математические основы теории систем
ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 1 Введение 3 Объект и устройство 3 Задачи управления 4 Матричный формализм в теории систем 6 Линейные операторы 6 Инвариантное ...
Для таких объектов уравнения вход-выходсостояние (4), заменяется уравнением вход-выходраспределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y[t0,t] как ...
Из неравенства (28) следует, что если существует интеграл, то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х(t) равно интегралу от математического ожидания этой случайной ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1245 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Поморский государственный ...
Четвёртая глава "Показательная и логарифмическая функции" и пятая глава "Интеграл и его применение" не содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе ...
Уравнения данного вида , где тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 6559 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Синтез оптимальных уравнений
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Кафедра теоретической механики и робототехники Курсовая работа Тема: Синтез ...
Тот факт, что задание начального фазового состояния (в момент t=t0) позволяет из системы (1.4) однозначно определить фазовую траекторию x(t), t>t0, вытекает из теоремы о ...
Как известно колебание маятника, подвешенного к точке опоры, описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 259 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных ...
Содержание Введение 1. Гиперболические уравнения как подкласс дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных ...
Замечательными свойствами обладает так называемое обратное уравнение диффузии тепла, которое получается путем замены в исходном (прямом) уравнении переменной t на -t. Согласно ...
простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) - телеграфное уравнение и т.д ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Просмотров: 3369 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Вычислительная математика
... методами. Основные понятия 1.1 Погрешность 1.2 Корректность 1.3 Вычислительные методы Тема 2. Решение нелинейных уравнений 2.1 Постановка ...
Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными ...
На первом шаге прежде, чем исключать переменную x1, уравнения переставляются так, чтобы в левом верхнем углу был наибольший по модулю коэффициент ai1, i = 1, 2, ., n. В дальнейшем ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 4523 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Общая и неорганическая химия
Квантово-механическая модель атома. Квантовые числа. Атомные орбитали. Порядок заполнения орбиталей электронами Теория строения атома основана на ...
Откуда же оно взялось и почему нередко выполняется?Если в приведенном выше математическом выражении для правила Вант-Гоффа подставить вместо скоростей v1 и v2 для данной реакции их ...
R и T - газовая постоянная и абс. температура, n - число электронов, передаваемых в электродной реакции, [Ox] - концентрация (точнее, активность) или давление окисленной формы в ...
Раздел: Рефераты по химии
Тип: учебное пособие Просмотров: 14349 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Динамические системы в плоской области
ТЕМА ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 1. Введение Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида (I) где Р (х, у) и Q (х, у ...
В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой ...
В этом пункте мы введем понятия "интеграл", "интегральная кривая", "общий интеграл" дифференциального уравнения или системы уравнений так, как это обычно делается в классической ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 572 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Физика 9-10 класс
18.10.2010 Лекция 1 Волны 1. Введение 2. Что такое волна. Какие бывают волны 2.1. Синусоидальные волны. Распространение колебаний 2.2. Волна плоская ...
Нарисуем некий вспомогательный вектор длины E0 таким образом, чтобы его угол с осью абсцисс при t=0 был равен j. Если мы теперь будем вращать вектор с угловой скоростью w, его ...
Легко найти сумму этих векторов - обозначим длину суммарного вектора E0, его угол с осью абсцисс в начальный момент времени j. Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их ...
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Просмотров: 5909 Комментариев: 7 Похожие работы
Оценило: 5 человек Средний балл: 2.4 Оценка: неизвестно     Скачать
Разработка алгоритмов контроля и диагностики системы управления ...
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ" Факультет І Кафедра "Системи та процеси ...
Наряду с динамическими уравнениями рассматриваются кинематические уравнения, связывающие угловые скорости j с углами поворота триэдра осей Oxyz относительно триэдра осей некоторой ...
Имея непрерывно измеряемые значения p(t), q(t), r(t), вычислительная машина интегрирует кинематические уравнения углового движения и непрерывно определяет соответствующие три угла ...
Раздел: Рефераты по авиации и космонавтике
Тип: реферат Просмотров: 3976 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Математический маятник (3486)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150330)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru