Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Формула Шлетца

Название: Формула Шлетца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 07:18:41 26 июня 2005 Похожие работы
Просмотров: 21 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p1 ,p2 ).

А1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2 `e + 1/6d3 `e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p1 ,p2 ) – пространство всех пар (p1 ,p2 )точек p1 ,p2 прямой А1 . Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1 р2 , а конец вектора `е – в точку р1 ; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р12 ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p1 ,p2 ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р12 * , близкого к р1 р2 ,по отношению к р1 р2 .

§ 2. Отображение f.

А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` ej }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp =Wj ej ; d ` ej =Wj k ;

DWj =Wk ^Wk j ; DWj =Wj y ^Wy k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2 в пространстве R(p1 ,p2 ):f:A2 ® R(p1 ,p2 ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f-1 (p1 ,p2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q +W= l j Wj ; Q-W= m j Wj (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1 : R(p1 ,p2 ) ® A2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :

Wj = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l k l j + m k m j = d j k

l j l j =1

m j m j =1 (*)

l j m j =0

m j l j =0

Указанную пару {r;R } реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λj Wj -W-Q)=0 ,

получаем :

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

D(μj Wj +W-Q)=0

получаем :

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wj

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1 = jj } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

k ^Wj kk dWj k +1\4(λjμkk μj )^Wk +1\4(λj μkk μj )dWk +dλjk ^Wkjk dWk =0 .

получим:

(dλjtkt Wj kjk Wt k +1\4(λk μjtk λjk )Wk +1\16λt μkjj )Wk )^Wt =0

k ^Wj kk dWj k +1\4d(λj μkk μj )^Wk +1\4(λj μkk μj )dWk +dμjk ^Wkjk dWk =0

получим:

(dμjtkt Wj kjt Wt k +1\4(λk μjtk λjt )Wk +1\16λt μkjj )Wk )^Wt =0

обозначим:

λ j =dλjt Wj t

μj =dμjt Wj t

λjk =dλjktk Wk tjt Wk t

μjk =dμtk Wj tjt Wk t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λj Wj

Q-W=μj Wj

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk

jk Wj k +1\4(λj μkk μj )Wkjk Wk (4)

λjk =(1\4(μα λjkα μjk )+1\16λk μαjj )+λjkα )Wα

μjk =(1\4(μα λjkα μjk )+1\16λk μαjj )+μjkα )Wα

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2 = jjjkjk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :

ГР = jjj1j2j1j2 ,...,λj1j2...jpj1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j },{μj } образует подобъекты геометрического объекта Г1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λj Xj =1 ; μj Xj =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины jj } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины jj } охватываются объектом Г1 .

Из (*) получаем:

j =-λk Wk j -1\4(λjjt Wtkt λk λt Wtkt Wtk μj

j =-μk Wk jkt μk λj Wtkt μk μj Wt +1\4λtjj )Wt

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v1j ej (вектора v2j ej ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λj Xj =0 , μj Xj = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j } и j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λj Xj =1

V2

V1 μj Xj =1

Система величин ρjjj образует ковектор: jk Wj k +(μjkjk )Wk .

Определяемая им прямая ρj Xj =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Пусть W -однородное подмногообразие в R(p1 ,p2 ) содержащее элементы 12 ) определяемое условием: 1 *2 * ) W↔p1 * p2 * =p1 p2 .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p1 * ,p2 * ) W и p1 * =p1 +dp1 +1\2d2 p1 +... ,

p2 * =p2 +dp2 +1\2d2 p2 +... .

Тогда в репере Г: p1 * p2 * =e p1 p2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1 * р2 * по отношению к р1 р2 . Таким образом, 1 * р1 * ) W↔ W=0 .

Из (2) получим: W=ρ1 Wj

Следовательно, 1 * р2 * ) W равносильно ρ j Wj =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента 12 ) R(p1 p2 ) определяется функция h :(p1 * p2 * ) h(p1 p2 )→e R , так, что р1 * р2 * =е р1 р2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1 (W) является линией уровня функцииh . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf-1 (W) .

]W1 ,W2 - одномерные многообразия вR(p1 p2 ) , содержащие элемент 1 р2 ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p1 * ,p2 * ) є W1 ↔p2 * =p2 .

(p1 * ,p2 * ) є W2 ↔p1 * =p1 .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW2 (многообразияW1 ) при отображенииf .

Дифференциальные уравнения линииf-1 (W1 ) и f-1 (W2 ) имеют соответственно вид:

λj Wj =0

μj Wj =0 .

Пусть W0 - одномерное подмногообразиев R(p1 p2 ) , содержащее 1 р2 ) и определяемое условием: (p1 * p2 * ) є W0 ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р1 * р2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямаяjj )X-j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1 (W0 ) многообразияW0 при отображенииf . Дифференциальное уравнение линииf-1 (W0 ) имеет вид:jj )Wj =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf-1 (W1 ), f-1 (W2 ) , f-1 (W), f-1 (W0 ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f .

Рассмотрим отображения:

П1 : (р12 ) R(p1 ,p2 )→p1 A1 (5.1)

П2 : (р12 ) R(p1 ,p2 )→p2 A1 (5.2)

Отображение f: A2 →R(p1 ,p2 ) порождает точечные отображения:

φ1 = П1 f: A2 →A1 (5.3)

φ2 = П2 f: A2 →A1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г1,2 = { λ j jk } и Г2,2 = jjk } объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2 .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2λjk Xj Xk +1/4λy ρk Xj Xk +<3>, (5.5)

y=-1+μj Xj +1/2μjk Xj Xk +1/4μy ρk Xj Xk +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λjkjk +1/4(λj ρkk ρj ),

Μjkjk +1/4(μj ρkk ρj )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λj Xj +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.7)

y=-1+μj Xj +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А2 , в котором выполняется:

λ1 λ2 1 0

=

μ1 μ2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X1 +1/2Λjk Xj Xk +<3> (5.9),

y=-1+X2 +1/2Μjk Xj Xk +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

Gjk =1/2(λj μkk μj )

Из (3.1) получим:

dGjk =1/2(dλj μkj μk +dλk μjkj )=1/2(μk λt Wj t +1/4λj μk μt Wt -1\4μk μt λt Wtk λjt Wtj μt Wk t +

+1/4λj λk μt Wt -1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wtj λkt Wtk μt Wj t +1/4λk λj μt Wt -1/4λk λt μj Wt +

k μjt Wt ),

dGjk =1/2(μk λtk μt )Wj t +1/2(λj μtt μj )Wk t +Gjkt Wt ,

где Gjkt =1/2(μk λjty μktj λktk μjt -1/2μj μk λt +1/2λj λk μt -1/4λj μk λt +1/4λj μk μt +1/4μj λk μt -

-1/4μj λk λt ) (6.3).

Таким образом, система величин {Gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G :

dS2 =Gjk Wj Wk (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS22 -W2 (6.5) в R(p1 ,p2 ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением Gjk Wj Wk =0 или

λj Wj μk Wk =0 (6.6)

Предложение : Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек ( x,U ) и ( y,U ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU )

Теорема : Метрика dS22 -W2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1 ,p2 ,p1 +dp1 ,p2 +dp2

Соответственно: 1,-1,1+θ+ W,-1+θ-W .

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS22 -W2

Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Гl jk =1/2Gtl (Gtkj +Gjtk -Gjkt )


псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2 = jjjkjk }.

Онопределяется формулой: Г l jk j Λjkl Μjkl λt λkl μt μk .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

gjkj λkj μk (7.1)

Из (3.1) получаем:

dgjk =dλj λk +dλk λj +dμj μk +dμk μjk λt Wj t +1/4λk λj μt Wt -1/4λj λt μj Wtk λjt Wtj λt Wk t +

+1/4λj λk μt Wt -1/4λj λt μk Wtj λkt Wtk μt Wj t +1/4μk λj μt Wt -1/4μk λt μj Wtk μjt Wt +

j μt Wk t +1/4μj λk μt Wt -1/4μj λt μk Wtj μkt Wt .

dgjk =(λk λtk μt )Wj t +(λj λtj μt )Wk t +gjkt Wt , (7.2)

где gjkt =1/2λj λk μt -1/2μj μk λt -1/4λk λt μj -1/4λj λt μk +1/4λj μk μt +1/4μj λk μtk λjtj λkt +

k μjtj μkt (7.3)

Таким образом, система величин {gjk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g :

dS2 =gjk Wj Wk (6 .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика ( 6 .4) соответствует при отображении f метрике:

dS2 =2(θ2 +W2 ) (6 .5)

в R(p1 ,p2 )

Из (6 .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6 .6)

или j Xj )2 +(μj Xj )2 =1 (6 .7)

Из (6 .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

V1

V2 рис.3.

Пусть gjkj λkj μk (6.8)

В силу (2.7) имеем:

gjt gtk =(λj λtj μt )(λt λkt μk )=λj λkj μkk j (6 .9)

Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j } (вектора j } )соответствует в метрике g полю основного ковектора j } (ковектора j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λj λk gjkj λk λj λkj λk μj μk =1 ,

μj μk gjkj μk λj λkj μk μj μk =1 ,

λj μk gjkj μk λj λkj μk μj μk =0 .

Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства ( A2 ,gf ).

В работе <2> был построен охват объекта

γjk l =1/2gtl (gtkj +gjtk -gjkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г2 = jjjkjk }

Он определяется формулой:

γ jk l l Λjkl Mjk +Gjkll )+1/2(λll )(μj μkj λk ) ,

где Gjk =1/2(λj μkk μj ).

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:24:45 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:10:01 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:54:44 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Формула Шлетца

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151310)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru