Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Пределы

Название: Пределы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 11:30:40 08 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 533 Комментариев: 9 Оценило: 2 человек Средний балл: 2 Оценка: неизвестно     Скачать

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0 , такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn -A|<E. limn ® ¥ Xn =A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0 , для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и|<E/2 N0 =max(N1 ;N2 ), n>N0 . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N3 , a-E<Yn<a+E. 3. N0 =max(N1 ,N2 ,N3 ). При всех n>N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0 , n>N0 , |Xn|<E.

Свойства б.м. величин :

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во:из Xn – б.м. => " E/2 $N1 , n>N1 |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N2 , n>N2 |Yn|<E/2, N0 =max(N1 ,N2 ), N>N0 ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E=>lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0 , n>N0 , |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N1 , n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N2 , n>N2 |Yn|>M

N0 =max(N1 , N2 ) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2 >M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0 , n>N0 |Xn|>M =>n>N0 .

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во:lim Xn=a => Xn=a+an ; lim Yn=b => Yn=b+bn ;

Xn ± Yn = (a + an ) ± (b + bn ) = (a ± b) + (an ± bn ) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+an )/(b+bn ) – a/b = (ab+an b–ab–abn )/b(b+bn ) =(ban -abn )/b(b+bn )=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0 , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0 |<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x0 -d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim x ® x0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x)наз-ся бесконечно большой при x ® x0 если для "М>0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x0 |<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x0 -d<x<x0 +d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)= ¥ (x ® x0 ).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.

Sтреуг МОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

Sсект МОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

Sтреуг СОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx ® 0 (tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.limx ® 0 (arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt ® 0 t/sint=1;

3. limx ® 0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b lima x ® 0 (sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn ® ¥ (1+1/n)n =?

Бином Ньютона: (a+b)n =an +nan-1 b+(n(n-1)an-2 b2 )/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4 b4 )/4!+...+bn .

(1+1/n)n =1+n1/n+n(n-1)/2!n2 +n(n-1)(n-2)/3!n3 +...+1/nn = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22 (1-1/n)(1-2/n)+1/23 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22 +1/23 +...+1/2n =2+0.5(1-1/2n )/(1-0.5)=2+1-1/2n =3-1/2n <3.

2£(1+1/n)n <3 => $ limn ® ¥ (1+1/n)n =e.

Следствия :

1.limx ® + ¥ (1+1/x)x =e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x ³(1/x+1)x ³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1 ³(1+1/x)x ³(1+1/(n+1))n limn ® ¥ (1+1/n)n (1+1/n)=e*1=e,· limn ® ¥ (1+1/(n+1))n+1 *1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx ® + ¥ (1+1/x)x =e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0 , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0 ).limf(x)=f(x0 )

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx ® x0-0 f(x) $limx ® x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx ® x0- f(x)=limx ® x0+ f(x);

4. limx ® x0 ± f(x)=f(x0 ).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке х0 , то сумма (разность) y(х)=f1 (x)±f2 (x), произведение у(х)=f1 (x)*f2 (x), а также отношение этих фун у(х)=f1 (x)/f2 (x), есть непрерывная фун в точке х0 .

Док-во (суммы): По определению получ limх ® х0 f1 (x)=f1 (x0 ) и limх ® х0 f2 (x)=f2 (x0 ) на основании св-ва1 можем написать: limх ® х0 у(х)=limх ® х0 [f1 (x)+f2 (x) ]=

=limх ® х0 f1 (x)+limх ® х0 f2 (x)=f1 (x0 )+f2 (x0 )=у(х0 ). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0 , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0 =j(х0 ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0 .

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b) , если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства (small) :

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0 )=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке (full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1 )³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2 , что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x2 )£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x0 ; x0 +Dx ÎX => Dy=Df(x0 )=f(x0 +Dx)-f(x0 ), Dy/Dx=(f(x0 +Dx)-f(x0 ))/Dx.

Если $ limDx ®0 Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х­0 . · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim ®0 (f(x0 +Dx)-f(x0 ))/Dx= =f/ (х)=df(x)/dx=dy/dx=y| (x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0 ; f(x0 )).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

y| (x0 )=limD х ® 0 (f(x0 +Dx)-f(x0 ))/ /Dx=limD х ® 0 Dy/Dx=limD х ® 0 tga==lima ® a 0 tga=tga0 .

L: y-f(x0 )=f\ (x0 )(x-x0 )

Nl =y-f(x0 )=-(x-x0 )/f\ (x0 ).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y| =U| (x)+ V| (x) . Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y| =limD x ® 0 Dy/Dx = limD x ® 0 Du/Dx+ limD x ® 0 Dv/Dx=U| (x)+V/ (x).

2. y=uv, y| =u| v+uv| . Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y| = limD x ® 0 Dy/Dx= limD x ® 0 Duv/Dx + limD x ® 0 Dvu/Dx + limD x ® 0 DuDv/Dx={ limD x ® 0 Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u| v+uv| .

3. y=u/v, y| =(u| v-uv| )/v2 . Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=ax , y| =ax ln a. Док-во: ln y=x ln a, y| /y=ln a, y| =yln a y| =ax ln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/ =0/ }

Формула Лейбница.

y( n ) =(uv)(n) =(u)(n) v+nu(n-1) v| +([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2) v|| +…+uv(n)

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0 , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limD x ® 0 O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема : y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f\ (x0 ).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f\ (x0 )=limDx ®0 Dy/Dx= limDx ®0 [(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx ®0 (A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f\ (x0 )Dx+O(Dx) => limDx ®0 Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f\ (x0 ) – число, f\ (x0 )=limDx ®0 Dy/Dx => Dy/Dx=f\ (x0 )+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\ (x0 )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f\ (x0 )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx ®0 O(Dx)/Dx=limDx ®0 a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0 +Dx)-f(x0 ) =>f(x0 +Dx)=f(x0 )+Dy»f(x0 )+df(x0 )=f(x0 )+f\ (x0 )dx, dx=Dx.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:23:30 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
20:53:56 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:43:41 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:08:53 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:08:23 24 ноября 2015

Смотреть все комментарии (9)
Работы, похожие на Реферат: Пределы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151357)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru