Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Название: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 12:32:41 20 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 103 Комментариев: 4 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных [1] оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям [2] и оказались достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений j =1,2,...,n , где l (0,Ґ) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e (l )0, (0,Ґ), далее называемой излучением, образуют вектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, w (Ч)=Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (0,Ґ), и соответствующий суммарный сигнал Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений назовем яркостью излучения e (Ч). Вектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений назовем цветом излучения e (Ч). Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений цвет e (Ч) и само излучение назовем черным . Поскольку равенства Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений эквивалентны, равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e (Ч) назовем белым и его цвет обозначим Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, удобно считать элементами n -мерного линейного пространства Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Векторы f e , соответствующие различным излучениям e (Ч), содержатся в конусе Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Концы векторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений содержатся в множестве Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где П - гиперплоскость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Далее предполагается, что всякое излучение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений все их выпуклые комбинации (смеси) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Поэтому векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений образуют выпуклый конус Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, а векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений то и их аддитивная смесь Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Для нее

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. (1)

Отсюда следует

Лемма 1. Яркость fe и цвет j e любой аддитивной смеси e (Ч) излучений e1 (Ч),...,em (Ч) , m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых .

Подчеркнем, что равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e (Ч) и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e (Ч) на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

Далее предполагается, что вектор w (Ч) таков, что в E можно указать базовые излучения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, для которых векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n , линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными , Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n . В таком случае излучение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений характеризуется лишь цветом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n .

Для всякого излучения e (Ч) можно записать разложение

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (1*)

в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - координаты Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в базисе Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, - выходной сигнал i- го детектора, отвечающий j- ому излучению ej (Ч), i , j =1,...,n . Матрица Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений неотрицательны и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n. При этом яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и вектор цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n , (конец которого лежит в П) определяются координатами a j и цветами излучений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n , и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e (Ч).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj <0, [3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj >0: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений скалярное произведение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, биортогонально сопряженные с Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i ,j =1,...,n .

Лемма 2. В разложении (1*) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j=1,...,n , Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, причем вектор y ортогонален гиперплоскости П, так как Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений были координатами f e в некотором ортонормированном базисе Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. В этом базисе конус Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Заметим, что для любых векторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и, тем более, для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений [4] .

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R2 , или на сетке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений спектральная чувствительность j -го детектора излучения, расположенного в точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ; Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - излучение, попадающее в точку Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Изображением назовем векторнозначную функцию Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х , С , m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X . Цветное (спектрозональное) изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийопределим равенством

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , (2)

в котором почти для всех Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, - m-измеримые функции на поле зрения X , такие, что

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Цветные изображения образуют подкласс функций Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений лебеговского класса Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений функций Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Класс цветных изображений обозначим LE ,n .

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений называется цветным изображением, а условие

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (2*)

условием физичности изображений f (Ч).

Если f (Ч) - цветное изображение (2), то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, назовем черно-белым вариантом цветного изображения f (Ч), а цветное изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , f(x)0 , xОX - цветом изображения f (Ч) . В точках множества В={xОX : f (x )=0} черного цвета j (x ), В, - произвольные векторы из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, удовлетворяющие условию: яркость j (x )=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f (Ч) будем также называть цветное изображение b (Ч), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f (Ч) , b(x)=f(x), xОX , и белый цвет, b (x)=b (x)/b(x)=b , xОX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в каждой точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийпри неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийу вектора f (x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f (x) в терминах преобразования его цвета j (Ч). Для этого определим отображение A (Ч):Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, ставящее в соответствие каждому вектору цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийподмножество поля зрения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийв точках которого изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, имеет постоянный цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пусть при рассматриваемом изменении освещения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийи, соответственно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A (j ), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений влечет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A ( ) и A (j ) цвет изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений может оказаться одинаковым [5] .

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f (Ч) на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, 2) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений означает, что изображения f (Ч) и g (Ч) сравнимы по форме, причем форма g (Ч) не сложнее, чем форма f (Ч) . Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то f (Ч) и g (Ч) назовем совпадающими по форме (изоморфными), f (Ч) ~ g (Ч) . Например, если f (Ч) и g (Ч) - изображения одной и той же сцены, то g (Ч) , грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f (Ч) , если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если между множествами A (j ),Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и ( ),Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, такая, что ( (j ))= A (j ),Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, причемМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. В этом случае равенства Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений эквивалентны, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не взаимно однозначно, то ( )=U A (j ) и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. В этом случае равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений влечет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (но не эквивалентно) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пусть, скажем, g (Ч) - черно-белый вариант f (Ч) , т.е. g(x)=f(x) и g (x)/g(x)= b , x ОX . Если преобразование Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Аналогично, если f (Ч), g (Ч) - изображения одной и той же сцены, но в g (Ч), вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Пусть F - некоторая полугруппа преобразований Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, тогда для любого преобразования F ОF Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f (Ч), то они, тем более, не будут отражены в g (Ч).

Формой Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображения f (Ч) назовем множество изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, форма которых не сложнее, чем форма f` (Ч), и их пределов в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (черта символизирует замыкание в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений). Формой изображения f (Ч) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, содержащее Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Если считать, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений для любого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в том смысле, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений здесь Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi , i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х , на каждом из которых функции Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j =1,...,n , i =1,...,N , непрерывны. Поскольку согласно лемме 2

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , (3)

то цветное изображение fe (Ч), такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai , i =1,...,N . Для изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai , если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, - непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений постоянны на Ai , i =1,...,N , то это верно и для всякого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не зависит явно от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Для такого изображения примем следующее представление:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (4)

его черно-белый вариант

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (4*)

на каждом Ai имеет постоянную яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и цвет изображения (4)

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (4**)

не меняется на Ai и равен Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i =1,...,N .

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi имеет несовпадающие яркости Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и различные цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, определим как выпуклый замкнутый в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийконус:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. (4***)

v(a) , очевидно, содержится в nЧN мерном линейном подпространстве

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (4****)

которое назовем формой a(Ч) в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(Ч), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, натянутое не вектор-функции Fa(Ч),FОF, где F - класс преобразований Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках xОX ; здесь F - любое преобразование Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Тот факт, что F означает как преобразование Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, так и преобразование Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, не должен вызывать недоразумения.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(Ч) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А i , i=1,…………..,N . Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a (Ч)), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3 . Пусть {Аi } - измеримое разбиение X: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :

- постоянную яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , если и только если выполняется равенство (4);

- постоянный цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если и только если в (3) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений;

- постоянную яркость f i , i=1,...,N , если и только если в (3) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не зависит от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,…...,N.

Доказательство . На множестве A i яркость и цвет изображения (3) равны соответственно [6]

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,.…..,N.

Если выполнено равенство (4), то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не зависят. Наоборот, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, т.е. выполняется (4).

Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , то цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не зависит от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Наоборот, пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не зависит от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. В силу линейной независимости Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений координаты j (i) (x) не зависят от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , т.е. Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и, следовательно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - яркость на A i и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Последнее утверждение очевидно n

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X .

Итак, пусть в согласии с леммой 3

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , (5)

где, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция Ai , Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, функция gi (Ч) задает распределение яркости

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (6)

в пределах Ai при постоянном цвете

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,...,N , (7)

причем для изображения (5) цвета j (i) , i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g(i) , i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений а цвет на Ai равен

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (8)

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai , i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f (Ч) (5), поскольку в изображении Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на некоторых различных подмножествах Ai , i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f (Ч) (5). Совпадение цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на различных подмножествах Ai , i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений по сравнению с формой f(Ч) (5). Все изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, имеющие различный цвет на различных Ai , i=1,...,N , считаются изоморфными f (Ч) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f (Ч) . Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то, очевидно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Если в (8) яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Ai считается произвольным (постоянным), если же Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в точках некоторого подмножества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Ai считается равным цвету Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, форма которых не сложнее, чем форма Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, должны иметь на Ai , i=1,...,N , тот же цвет, что и у Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений то следует потребовать, чтобы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в то время, как яркости Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений остаются произвольными (если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Ai определяется равным цвету f (Ч) на Ai , i=1,...,N ).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f (Ч) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений при неизменном цвете j (x ) в каждой точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Множество, содержащее все такие изображения

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (9)

назовем формой в широком смысле изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, у которого f(x)№ 0, m-почти для всех Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, [ср. 2]. Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений является линейным подпространством Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, содержащем любую форму

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (10)

в которой включение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийопределяет допустимые значения яркости. В частности, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийозначает, что яркость неотрицательна: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - выпуклый замкнутый конус в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, принадлежащий Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в том случае, когда считается, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений для любого преобразования Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, действующего на изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений как на вектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в каждой точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и оставляющего Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений элементом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, т.е. изображением. Форма в широком смысле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определяется как оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений наилучшего приближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- класс преобразований Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, такой, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Иначе можно считать, что

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (10*)

а Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - оператор наилучшего приближения элементами множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, форма которых не сложнее, чем форма Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Характеристическим для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений является тот факт, что, если f (x)=f (y), то для любого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений поля зрения X .

Задано разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений цветного изображения f (Ч) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений поля зрения X и требуется определить Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений из условия

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (11)Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Теорема 1 . Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Тогда решение задачи (11) имеет вид

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . (13)

Оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого Ai , i=1,...,N.

Черно-белый вариант Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (4*) цветного изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений(4) является наилучшей в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений аппроксимацией черно-белого варианта Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений цветного изображения f (Ч) (2), если цветное изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений(4) является наилучшей в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений аппроксимацией цветного изображения f (Ч) (2). Оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

В точках множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений(4**) наилучшей аппроксимации Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений(4) цветного изображения f (Ч) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f (Ч) излучений, которые попадают на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Доказательство . Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f (Ч) на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Второе утверждение следует из равенства

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на x ОX .

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ортогональные проекторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, различны для различных Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, ибо Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и различна для разных Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на выпуклый замкнутый конус Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений [2]. Дело в том, что оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определяет форму Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображения (4), а именно

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - множество собственных функций оператора Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Поскольку Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийf(Ч) - наилучшее приближение изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, для любого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и только для таких Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Поэтому проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(Ч)

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, [7] [2]. И проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений оператор наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения злементами выпуклого замкнутого (в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений) конуса Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Иначе говоря, для определения наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений элементами Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений можно вначале найти ортогональную проекцию Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, а затем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений спроецировать в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. При этом конечномерный проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений для каждого конкретного конуса Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, последнее, в свою очередь определяется изображением

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

если векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений попарно различны. Если при этом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то форма в широком смысле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (10*) для произвольного изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - множество значений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - измеримое разбиение X , порожденное Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - подмножество X , в пределах которого изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Однако для найденного разбиения условие Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений можно представить в виде предела (в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (*)

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикатор множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , принадлежащего измеримому разбиению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- C - измеримо, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ;

- N+1 -oe разбиение является продолжением N- го, т.е. для любого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, найдется i=i(j), Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, такое, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ;

- минимальная s-алгебра, содержащая все Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, совпадает с C.

Лемма (*). Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- то множество из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, которое содержит Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Тогда для любой C-измеримой функции Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

и m-почти для всех Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений [ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, т.е. пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - прообраз борелевского множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, B - s-алгебра борелевских множеств Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и выберем эту, зависящую от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, исчерпывающую последовательность (Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- исчерпывающая последовательность разбиений X, причем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений- минимальная s-алгебра, содержащая все Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и П(N) - ортогональный проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, определенный равенством Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Тогда

1) для любого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений-измеримого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и почти для всех Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

2) для любого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений при Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений), где П - ортогональный проектор на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N) , N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N) , N=1,2,..., монотонно неубывает: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - множество всех Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений-измеримых изображений и их пределов (в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ), а в силу леммы (*) для любого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений-измеримого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то для любого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийи для любого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, ибо Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений-измеримо, N =1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1 ,...,fq , требуется определить разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1 ,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f (Ч), в которой задано не разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений поля зрения X , а векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и требуется построить измеримое разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений поля зрения, такое, что цветное изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - наилучшая в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений аппроксимация f (Ч). Так как

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, для которых Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений=1,2,...,q , или, что то же самое, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений=1,2,...,q . Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в котором

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F , действующий из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений по формуле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i =1,...,q . Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - заданные векторы Rn . Решение задачи

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения изображения f(Ч) изображениями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений имеет вид Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Множество Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определено равенством (15). Нелинейный оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2 =F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i =1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы f i , i=1,..,q единичной длины: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i =1,...,q. Тогда

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображения f (Ч) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений), в частности, относительно образования теней на f (Ч) .

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений оператор F , приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений соответственно на измеримых множествах Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ) точкой F: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений является множество всех изображений, принимающих заданные значения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на множествах положительной меры Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений любого разбиения X, и их пределов в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f (Ч) изображениями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в котором требуется определить как векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, так и множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений так, чтобы

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Тогда необходимые и достаточные условия Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений суть следующие : Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений .

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - исходные векторы в задаче (14*), Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - соответствующее оптимальное разбиение (14), F (1) - оператор наилучшего приближения и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений оптимальные векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Согласно выражению (13) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , и соответствующий оператор наилучшего приближения П (1) (13) обеспечит не менее точное приближение f (Ч) , чем F (1) : Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Выберем теперь в теореме 2 Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , определим соответствующее оптимальное разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и построим оператор наилучшего приближения F (2) . Тогда Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. На следующем шаге по разбиению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений строим Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и оператор П (3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Выберем произвольно попарно различные векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений из f (X) и построим по формуле (15) разбиение Rn Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)) , множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j=1,...,N(q) , которого образованы всеми попарно различными пересечениями Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений множеств из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Последовательность соответствующих разбиений X Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, i=1,...,N(q), q=1,2... Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений -измеримы и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений является продолжением Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений поля зрения X .

Задано разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai ,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (17)

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пусть A1 ,...,AN - заданное разбиение X, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция Ai , i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями (17), не требуя, чтобы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1 ,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).

Так как

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

то минимум S (19) по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений достигается при

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (20)

и равен

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на сфере Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийв Rn , как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y i оператора Ф i , отвечающем максимальному собственному значению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений>0,

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

и равен Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, т.е. Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Следовательно, максимум в (22) равен Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и достигается, например, при Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Теорема 3. Пусть A1 ,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем [9] m(Ai )>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями g (Ч)Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (17) является изображение

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (24)

Операторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,i=1,...,N, и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - нелинейные (зависящие от f (Ч)Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на линейное подпространство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, натянутое на собственный вектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений оператора Ф i (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri ,

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений; (25)

П проецирует в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на минимальное линейное подпространство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, содержащее все изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Невязка наилучшего приближения

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф i (23). Поскольку Ф i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф i неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi , i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f (Ч):

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi , i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть f i - cсобственный вектор Ф i , отвечающий максимальному собственному значению ri . Чтобы определить Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений следует решить задачу на собственные значения для оператора Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Поскольку rankМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений=1, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri , и ему соответствует единственный собственный вектор f i . Поэтому

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений n

Лемма 4. Для любого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri , можно выбрать так, чтобы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

составляющие содержание леммы. Действительно, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений то согласно (23) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, поскольку включение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений означает, чтоМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений; отсюда и из (25) получим, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,i=1,...,N, а поэтому и в (24) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Убедимся в неотрицательности Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. В ортонормированном базисе e1 ,...,en , в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, выходной сигнал i- го детектора в точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, p=1,...,n,

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Так как матрица Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений симметрическая и неотрицательно определенная (Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений) она имеет n неотрицательных собственных значенийМорфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, а поскольку матричные элементы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Следовательно, вектор f i определен с точностью до положительного множителя Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. n

Замечание 4.

Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийимеет постоянный цвет, то в теореме 3 Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Наоборот, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, т.е. Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определяется выражением (17), в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Итак, пусть в изображении g (Ч) (17) все векторы f 1 ,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1 ,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображения (17) есть множество решений уравнения

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (27)

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, fi - собственный вектор оператора Ф i : Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, отвечающий максимальному собственному значению ri , i=1,...,N . В данном случае Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (17).

Заданы векторы цвета j1 ,..., jq , требуется определить разбиение A1 ,..., Aq , на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j1 ,..., jq и оптимальные распределения яркостей Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений [10] .

Речь идет о следующей задаче наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Так как для любого измеримого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (29)

и достигается на

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (30)

то, как нетрудно убедиться,

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x ОX, в которых выполняется равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj .

Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в котором

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (32)

а F : Rn -> Rn оператор, определенный условием

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (34)

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция множества Ai (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (35)

имеет решение

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (37)

где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция множества

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F + : Rn -> Rn , действующий согласно формуле

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (39)

где

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, так что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийприближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений изображениями на искомых множествах A1 ,...,Aq разбиения X заданные цветами j 1 ,..., j q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1 ,...,Aq определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j 1 ,..., j q на некоторых множествах положительной меры A1 ,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (34), формой такого изображения является оператор F + (37). Всякое такое изображение g (Ч), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F + g (Ч)=g (Ч), те из них, у которых m (Ai )>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, заданного распределением цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, при произвольном (физичном) распределении яркости, например, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Для определения формы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений рассмотрим задачу наилучшего в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений приближения изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений такими изображениями

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (41)

Теорема 5. Решение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений задачи (41) дается равенством

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (42)

в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений . Невязка приближения

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (43)

( Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений !) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

или - проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Всякое изображение g (Ч), распределение цвета которого есть j (Ч) и только такое изображение содержится в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и является неподвижной точкой оператора

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийg (Ч) = g (Ч). (#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j (Ч), не представлены на изображении f (Ч) = f (Ч)j (Ч) в той области поля зрения, в которой яркость f (x )=0, x ОX, будем считать, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - форма любого изображения f (x ) = f (x )j (x ), f (x )>0, x ОX(modm ), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g (Ч), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f (Ч).

Замечание 5. Пусть j 1 ,..., j N Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - исходный набор цветов, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, A1 ,...,AN - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (34*)

- наилучшее приближение f (Ч). Тогда в равенстве (24)

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (24*)

если A1 ,...,AN - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1 ,...,AN - заданное в теореме 3 разбиение X и f 1 ,...,f N - собственные векторы операторов Ф1 ,...,ФN (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f 1 ,...,f N Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j i как цвет f i в (24), i=1,...,N .

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого Ai , i=1,...,N .

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai , i=1,...,N , на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai , i=1,...,N , например, выбрав вместо (17) класс изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (17*)

в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f (Ч) изображениями этого класса предстоит найти Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений , векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений при любом i= 1,...,N , можно считать ортогональными, определив

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (*)

из условия минимума невязки по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. После этого для каждого i=1,...,N векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений должны быть определены из условия

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (**)

при дополнительном условии ортогональности

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ортогональные собственные векторы оператора Ф i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в Rn . Пусть P i - ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений собственных векторов Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и

[Pi Фi Pi ] - сужение оператора Pi Фi Pi на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi Pi ]

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - j -ое собственное значение оператора Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (см., например, [10]). Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3* . Наилучшее приближение любого изображения f (Ч) изображениями (17*) имеет вид

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

Где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений: ортогональный проектор на линейную оболочку Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, собственных векторов задачи

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Невязка наилучшего приближения равна

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f (Ч) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и надлежит определить измеримое разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и функции Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, как решение задачи

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (30)

При любом разбиении Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийминимум в (30) по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений достигается при Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (31)

где точки Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в которых выполняется равенство Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, либо в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений заданные векторы Rn . Решением задачи (30) является изображение

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

где ортогональный проектор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений определен равенством (25), а Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. n

Замечание 5. Так как при Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

то условия (31), определяющие разбиение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, можно записать в виде

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, (32)

показывающем, что множество Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, не изменяющего его цвет .

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f (Ч) изображениями (17), при котором должны быть найдены Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и ci 0 , i=1,...,N, такие, что

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Теорема 7. Для заданного изображения f (Ч) определим множества Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений равенствами (32), оператор П - равенством (24), Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - равенствами (25). Тогда Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений,

определено равенством (32), в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - собственный вектор оператора Ф i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, наконец, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений будет дано равенством (20), в котором Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - собственный вектор оператора Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, отвечающий наибольшему собственному значению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений; наконец,

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений: Для изображения f (Ч) зададим Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и по теореме 5 найдем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, затем по теореме 3, используя Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений найдем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений найдем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, k =1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Формы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (10) и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (9) удобно задавать операторами П f и П* f соответственно.

Теорема 7. Форма Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений в широком смысле изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийопределяется ортогональным проектором П* f :

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений ,

при этом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Доказательство. Так как для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, решение которой определяется условиями (см., например, [11]) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Отсюда следует, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и тем самым доказано и второе утверждение n

Замечание. Так как Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, где fi (x) - выходной сигнал i -го детектора в точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, причем fi (x)і 0 ,i=1,...,n , и, следовательно цвет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений реальных изображений непременно имеет неотрицательные Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то для реальных изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, условия Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, эквивалентны. Если же для некоторого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то условие Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений не влечет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Заметим также, что для изображений g (Ч), удовлетворяющих условию Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, всегда Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (40)

В котором

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f (Ч ) , в которых f 1 (Ч ) - любая неотрицательная функция из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, j 1 (Ч ) - фиксированное векторное поле цвета, f 2 (Ч ) - термояркость, j 2 (Ч ) - термоцвет в точке Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Форма П *f видимой компоненты f (Ч ) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, в данном случае

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, причем П *f действует фактически только на "видимую компоненту" g (Ч), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g (Ч) в ноль.

Форма ИК компоненты f (Ч ) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j 2 (Ч ) f 2 (Ч ).

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения .

Можно ли считать f (Ч ) и g (Ч) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f (Ч) и g (Ч) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, для которого v (j (Ч)) содержит f (Ч) и g (Ч). Если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, то, очевидно, существует Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, при котором f (xv (j (Ч)), g(xv (j (Ч)), а именно, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, и, наконец, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - произвольно, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g (Ч) изображением сцены, представленной изображением f (Ч)? Ответ следует считать утвердительным, если

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Здесь j (Ч) - распределение цвета на изображении f (Ч), символ ~0 означает, что значение d(g (Ч)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g (Ч) и f (Ч) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g (Ч) по сравнению с распределением цвета f (Ч), представлены в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения .

Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f (Ч), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?

Пусть П - форма в широком смысле изображения f (Ч), определенная в теореме @, П* - форма f (Ч). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Если изменение g (Ч) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

Пусть f (Ч) - заданное изображение, A МX - подмножество поля зрения, cA (Ч) - его индикатор, cA (Ч)f (Ч) -назовем фрагментом изображения f (Ч) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f (Ч). Пусть g (Ч) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f (Ч). Задача состоит в том, чтобы указать на g (Ч) фрагмент изображения, представляющий на f (Ч) фрагмент сцены и совместить его с cA (Ч)f (Ч).

Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R2 ->R2 , преобразование изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений назовем сдвигом g (Ч) на h. Здесь

Q (h ): Rn ->Rn , h ОH, - группа операторов. Векторный сдвиг на ОH даст

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g (Ч) в “окне” A :

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (100)

причем, поскольку Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений то в (100) Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - ограничение на сдвиг “окна” А , которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

Если кроме цвета g (Ч) может отличаться от f (Ч), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - форма фрагмента f (Ч), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g (Ч), соответствующий фрагменту cA (Ч)f (Ч), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h* , совпадает с cA (Ч)f (Ч) с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.

Рассмотрим два изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Определим форму в широком смысле Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений как множество всех линейных преобразований Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (A - линейный оператор R2 ->R2 , не зависящий от x ОX). Для определения проектора на Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений рассмотрим задачу на минимум

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. [*]

Пусть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений, тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A* AS - 2trAB ~ Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений. Ее решение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (знаком - обозначено псевдообращение).

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений=Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений=Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Рис.1.

f e - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(Ч), j e - его цвет; j1 ,j2 ,j3 , - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор f e будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4] черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn .

[5] Если - более детальное изображение , то некоторые A (j ) могут “ращепиться” на несколько подмножеств ( ), на каждом из которых цвет постоянный, но различный на разных подмножествах ( ). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f (Ч), v(f (Ч)) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7] - класс неотрицательных функций принадлежащих .

[8] Одна и та же буква F использована как для оператора , так и для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9] Если m(As )=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки s.

[10] Векторы j1 ,..., jq выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих интерес.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:22:59 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:56:21 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:08:40 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:48 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151111)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru