Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Математический анализ

Название: Математический анализ
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 06:44:06 29 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 746 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ : Конструирование из других множеств:

AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}

U - универсальное множество (фиксированное)

U³A; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность; AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U

2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’

"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1 : " nÎN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2 : Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а11 , а12 , а13 ,...}

А2={а21 , а22 , а23 ,...}

А3={а31 , а32 , а33 ,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0 ],а1 a2 а3 ... где а0 ÎZ а123 ,... Î{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

о ],а1 а2 а3 ...ак (0) = ао + а1 /10 + а2 /100 + ... +ак /10k = [ао ],а1 а2 а3 ...а’к (9), где а’кк-1

х=[хо ],х1 х2 х3 ...хк ...

у=[уо ],у1 у2 у3 ...ук ...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо ],х1 х2 х3 ...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо ],у1 у2 у3 ...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 £ у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к =[уо ],у1 у2 у3 ...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо ],у1 у2 у3 ...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 ³ 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 ³ 0

9 ³ ук+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у

х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1 =[х1 ], х11 х12 х13 ... |

2«х2 =[х2 ], х21 х22 х23 ... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3 =[х3 ], х31 х32 х33 ... |

... | (*)

к«хк =[хк ], хк1 хк2 хк3 ... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3 ...

[с]¹[х1 ] => с¹х1

с1 Ï {9;х21 } => с¹х2

с2 Ï {9;х32 } => с¹х3

...

ск Ï {9;хк+1к } => с¹хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0 : "n>n0 xN £yN £zN и $ Lim xN =x, $ Lim zN =z, причем x=z, то $ Lim yN =y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xN £yN £zN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xN Î(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zN Î(х-Е,х+Е) => "n>max{n0 ,n’,n”} yN Î(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m

2) "e>0 $ aE ÎA, такое, что aE >a-e

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n

2) "e>0 $ aE ÎA, такое, что aE <a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1 =max[10*{a-[m]:aÎA}]

m2 =max[100*{a-[m],m1 :aÎA}]

...

mк =max[10K *{a-[m],m1 ...mK-1 :aÎA}]

[[m],m1 ...mK , [m],m1 ...mK + 1 /10K ]ÇA¹Æ=>[m],m1 ...mK + 1/10K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m1 ...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K ,m”K )ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K

Единственность(от противного):

аÎА, пусть а>m”K => $ к: а’K >m”K => а³а’K >m”K - это противоречит ограниченности => a£m

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда $ к: m’K >l”K , но так как "к [m’K ,m”K ) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K ,m”K ) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0 : n>n0N |<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN =Lim bN =0, cN =aN +bN , dN =aN -bN . Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN , т.е. $ n’: "n>n’: |aN |<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN |<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN |<Е/2 & |bN |<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN |=|aN +bN |£|aN |+|bN |<E/2 + E/2 = E => |dN |=|aN -bN | £ |aN |+|bN |<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN =aN *bN .

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN |£с¹0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN , т.е. $ n0 : "n>n0 |aN |<Е/с.Таким образом "n>n0 : |zN |=|aN *bN |=|aN |*|bN |<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN |£aN => bN - бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN |<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN |£|aN |<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n0 : n>n0N |>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" aN -бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0 : "n>n0 |aN |<1/E =>1/|aN |>Е.

"<=" 1/|aN | - бб последовательность => "Е>0 $ n0 : "n>n0 1/|aN |>1/Е => |aN |<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bN ³|aN | => bN - бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN |>Е. Для n>max{n’,n”} bN ³|aN |>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN -a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN =a, то |aN -a|<Е. Пусть aN =aN -a. |aN |=|aN -a|<Е

Обратное: Пусть aN =aN -a, т.к. aN - бм => |aN |£Е. |aN |=|aN -a|<Е

Теорема: Если Lim xN =x, Lim yN =y, то:

1. $ Lim (xN +yN ) и Lim (xN +yN )=х+у

2. $ Lim (xN *yN ) и Lim (xN *yN )=х*у

3. "n yN ¹0 & y¹0 => $ Lim (xN /yN ) и Lim(xN /yN )=х/у

Доказательство:

Пусть xN =х+aN , aN - бм; yN =у+bN , bN - бм

1) (xN +yN )-(х+у)=aN +bN (По теореме о сумме бм: aN +bN - бм => (xN +yn )-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) xN *yN - х*у = х*aN +у*bN +aN *bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN *yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN /yN - х/у = (у*aN -х*bN ) / (у*(у+bN ))= (у*aN -х*bN ) * 1/у * 1/уN доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN =y => по определению предела получаем $ n0 : "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<уN <у/2+у, откуда получаем: |уN |³уN >у/2.|уN |>у/2=>1/|уN |<2/у => "n: 1/|уN |£max{2/у, 1/у1 , 1/у2 ,...1/уno }

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0 : "n>n0 последовательность хN £уN , то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN -x|<E и $n”: "n>n” |yN -y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: хNN - противоречие с условием => х£у.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хÎХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают аN .

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а1 =а; аN+1N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN , если "e>0$ n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN -a|<e. Обозначение Lim aN =a.

Если не существует числа а , являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а ).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а , содержит все члены последовательности аN начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности аN .

Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность аN имеет предел а и предел с , причем а ¹ с . Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с |/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а . Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N , ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN , то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN =x, Lim yN =y, $n0 : "n>n0 хN £yN , тогда x£y

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0 ’: "n>n0 ’ |хN -х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0 ”: "n>n0 ” |yN -y|<E. "n>max{n0 ’, n0 ”}: |хN -х|<|х-у|/2 & |уN -у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0 ’, n0 ”} хN Î(х-Е,х+Е) & уN Î(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0 ’, n0 ”} хN >yN - противоречие с условием.

Теорема: Если $n0 : "n>n0 aN £bN £cN и $ Lim aN =a, $ Lim cN =c, причем a=c, то $ Lim bN =b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN <(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN . При n>max{n0 ,n’,n”} (a-E)<aN £bN £cN <(a+E), т.е. " n>max{n0 ,n’,n”}=>bN Î(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n1 >n2 (n1 <n2 ): xN1 ³xN2 (xN1 £xN2 ).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2 , тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN : nÎN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $xE : (х-Е)<хE => $ n0 xNo >(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xN ³xNo >(x-E), получили xN £x=SupX, значит "n>n0 xN Î(x-E,х]<(x-E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, "n aN £bN и (bN -aN )-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN ,bN ] (с Ç[aN ,bN ])

Доказательство:

aN £bN £b1 aN монтонно возрастает & aN £b1 => $ Lim aN =a

a1 £aN £bN bN монтонно убывает & a1 £bN => $ Lim bN =b

aN £a b£bN aN £bN => a£b

Lim (bN -aN )=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aN £c£bN

Пусть с не единственное: aN £c’£bN , с’¹с

aN £c£bN =>-bN £-c£-aN => aN -bN £c’-c£bN -aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN -bN )£Lim(c’-c)£Lim(bN -aN ) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>

0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(bN -aN )=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0 Î(a;b). Точка x0 , называется точкой локалниого min(max), если для всех xÎ(a;b), выполняется

f(x0 )<f(x) (f(x0 )>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0 . Если эта производная f‘(x0 )>0(f‘(x0 )<0), то для значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0 ) (f(x)<f(x0 )), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)<f(x0 ) (f(x)>f(x0 )).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x0 )>0, то найдется такая окрестность (x0 -d,x0 +d) точки x0 , в которой (при х¹x0 ) (f(x)-f(x0 ))/(x-x0 )>0. Пусть x0 <x<x+d, так что х-х0 >0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0 )>0, т.е. f(x)>f(x0 ). Если же x-d<x<x0 и х-х0 <0, то очевидно и f(x)-f(x0 )<0, т.е. f(x)<f(x0 ). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то необходимо f‘(x0 )=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x0 . Предположение, что f‘(x0 )¹0, приводит к противоречию: либо f‘(x0 )>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0 ), если x>x0 и достаточно близко к x0 , либо f‘(x0 )<0, и тогда f(x)>f(x0 ), если x<x0 и достаточно близко к x0 . В обоих случаях f(x0 ) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство m£f(x)£M в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b . В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то необходимо f‘(x0 )=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)¹g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)¹0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с , что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (a<c<b ), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где qÎ(0;1). Тогда принимая x0 =a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0 ÎI, x0 +hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x0 +h)-f(x0 )=f’(x0 +qh)*h ([x0 ;x0 +h] h>0, [x0+ h;x0 ] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN -строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл-ть aKn -которая наз. подпосл-тью посл-ти aN =>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN =а, то и Lim аKn =а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0 : "n>n0N -а|<Е, ввиду того что kN ®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN >n0 тогда при тех же значениях n будет верно |аKn -а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: а£хN £b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1 ,b1 ] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1 ,b1 ] промежуток [а2 ,b2 ] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN . Продолжая процесс до бесконечности на к -том шаге выделим промежуток [аK ,bK ]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN . Длина к -того промежутка равна bKK = (b-a)/2K , кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK ³аK+1 & bK £bK+1 . Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n аN £c£bN .

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 Î[а1 ,b1 ]

хN2 Î[а2 ,b2 ] n2 >n1

. . .

хNK Î[аK ,bK ] nK >nK-1

а£хNk £b. (Lim aK =LimbK =c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk =c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аN £хN £bN

хNK ®х, так как хNK -подпоследовательность => "n а£хN £b =>а£х£b

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupM¹Sup{xN }: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{xN }: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK : предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN .

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ => $ подпоследовательность хNS ®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0 : "s>s0 =>

х’-1/к<хNS <х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS <х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS <х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS <х+1, т.е $ s0 : "s>s0 это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1 <х+1/1

k=2: х-2/2<хN2 <х+1/2 n1 <n2

...

k=k: х-2/к<хNK <х+1/к nK-1 <nK

При к®¥ хNK ®х

13.Фундаментальные последовательности .

Определение: Последовательность {аN } - называется фундаментальной, если "Е>0 $ n0 : "n>n0 и любого рÎN выполнено неравенство |аN +р-аN |<Е. Геометрически это означает что "Е>0 $ n0 , такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти : Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN =x, тогда "Е>0 $ n0 : "n>n0 N -х|<Е/2. n>n0 , n’>n0NN’ |=|хN -х+х-хN’ |<|хN -х|+|х-хN’ |<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1 =1998 $ n0 : |хNN’ |<Е, n>n0 , n’>n0

"n>n0NN0 |<Е1 х N0 -1998<хN N0 +1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK ®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK -х|<Е/2 и одновременно nк >n0 . Следовательно (из фунд-ти) |хNNK |<Е/2 =>

NK -х|<Е/2 => х-Е/2<хNK <х+Е/2 => |хNNK |<Е/2 => хNK -Е/2<хNNK +Е/2 => х-Е<хN <х+Е => |хN -х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nÎN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0 =1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n ®¥ )

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n0 =: "n>n0 ||<E

2) Lim=1

xN = - 1

=1+xN

n=(1+xN )n

n=

xN 2 <2/(n-1)

При n®¥®0 => xN ®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN )=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN =; yN =; zN =yN +

xN монотонно возрастает: докажем:

xN =(1+1/n)n =1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN =>yN <zN <3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n ³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)n ³1+n/n=2

Получили: 2 £ xN <3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е .

17. Последовательности (во всех пределах n ®¥ )

1) Lim=1, a>0

a) a³1:

xN =xN+1 ==> $ Lim xN =x

xN+1 =xN *

xN =xN+1 *

xN =xN+1 *xN *(n+1)

Lim xN =Lim (xN+1 *xN *(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a xN =

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

xN =xN+1 =

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> $ n0 : "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

xN+1 =xN *

Lim xN+1 = Lim xN * => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN ®1 => (xN )a ®1:

a) "n: xN ³1 и a³0

(xN ) [ a ] £(xN )a <(xN )[ a ]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN )[ a ] =Lim (xN )[ a ]+1 =1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN )a =1

б) "n: 0<xN <1 и a³0

yN =1/xN => yn>1 Lim yN =lim1/xN =1/1=1 => (по (а)) Lim (yN )a =1 => lim 1/(xN )a =1 => Lim (xN )a =1

Объединим (а) и (б):

xN ®1 a>0

xN1 ,xN2 ,...>1 (1)

xM1 ,xM2 ,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек xN .

в) a<0

(xN )a =1/(xN )- a a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN )- a = 1 => Lim (xN ) a = 1

1 5. Доказательство формулы e=...

yN =; zN =yN +

1) yN монотонно растет

2) yN <zN

3) zN -yN ®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN -zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1 <yN <zN <z1 =3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN <e <zN = yN + 1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN /(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + qN /(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e =m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = yN + qN /(n*n!)

m*(n-1)!= yN *n! + qN /n, где (m*(n-1)! & yN *n!)ÎZ, (qN /n)ÏZ => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0<|х-х0 |<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если " последовательности хN ®х0 , хN ¹х0 f(xN )®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х0 |<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

хN ®х0 , хN ¹х0 , т.к. хN ®х0 => $ n0 : "n>n0 0<|xN -x0 |<Е (Е=d) => 0<|xN -x0 |<d => по определению Коши |f(xN )-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x0 |<d => |f(x)-A|³E

Отрицание (Г): $ хN ®х0 , хN ¹х0 : |f(xN )-A|³E

$ хN ®х0 , хN ¹х0 => $ n0 : "n>n0 0<|xN -x0 |<Е (Е=d) => по отрицанию определения Коши |f(xN )-А|³Е

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+¥), определяется предел при хN ®¥ следующим образом: limf(х) при хN ®¥ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN ®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и хN ®¥ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х0 ±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0 -d,x0 +d)\{x0 } принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $d >0: -d<х-х0 <d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0 +d) => x попадает в интервал (x0 -d,x0 +d) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x0 -d,0) => x попадает в интервал (x0 -d,x0 +d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х0 ±|h|) при h®0: Lim(х0 +|h|) = Lim(х0 -|h|)=А

"Е>0 $d’ >0: 0<х-х0 <d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $d” >0: -d”<х-х0 <0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при х®х0 Lim f(х)=f(х0 ). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0 ) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0 )|<Е выполнено и при х=х0 => в определении можно снять ограничение х¹х0 => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х¹х0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если " посл-ти хN ®х0 , f(xN )®f(a)

Если при х®х0 limf(х)¹f(х0 ), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х0 . Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0 )

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 - точка бесконечного разрыва.

Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со значением f(x0 ), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х0 ), то говорят что функция f(x) имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х0 .

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х0 : Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0 <d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х0 <d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х0 <d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть хN ®х0N ¹х0 , xN ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(xN )=F & Lim g(xN )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN )*g(xN )=Lim f(xN )*Lim g(xN )= F*G => по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть хN ®х0N ¹х0 , xN ÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(xN )=F & Lim g(xN )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN )/g(xN )=Lim f(xN )/Lim g(xN )=F/G => по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и g(x)¹0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-х0 |<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х0 |<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0 |<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для

хÎ(х0 -d, х0 +d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х0 |<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х0 |<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0 |<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) => A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х ®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x0 (при х®х0 )

|Sin x-Sin x0 |=2*|Sin((x-x0 )/2)|*|Cos((x+x0 )/2)| < 2*|(x-x0 )/2|=|x-x0 | => -|x-x0 |<Sin x-Sin x0 <|x-x0 | при х®х0 => -|x-x0 |®0 & |x-x0 |®0 => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0 )®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0 )

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0 ) = Sin y0

|Sin y-Sin y0 |=2*|Sin((y-y0 )/2)|*|Cos((y+y0 )/2)| < 2*|(y-y0 )/2|=|y-y0 | => -|y-y0 |<Sin y-Sin y0 <|y-y0 | при y®y0 -|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y0 )®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0 )]®0 => (Cos x-Cos x0 )®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R2 ) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х0 Î[a,b]: f(х0 )=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х0 =(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0 )=f(х0 )-с=0 => f(х0 )=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а1 )*g(b1 )<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2 )*g(b2 )<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n -го промежутка [aN ,bN ] будем иметь: g(aN )<0, g(bN )>0, причем длина его равна bN -aN =(b-a)/2n ®0 при n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для которой Lim aN =Lim bN = x0 . Покажем, что x0 -удовлетворяет требованию теоремы: g(aN )<0, g(bN )>0 => переходим к пределам: Lim g(aN )£0, Lim g(bN )³0, используем условие непрерывности: g(x0 )£0 g(x0 )³0 => g(x0 )=0 => f(х0 )-c=0 => f(х0 )=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у12 ÎУ; у1 £у£у2 , тогда существуют х12 ÎХ: у1 =f(х1 ), у2 =f(х2 ). Применяя теорему к отрезку [х12 ]ÍХ (если х12 ) и к отрезку

21 ]ÍХ (если х21 ) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть xN : xN ¹a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN : yN =g(xN ) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN )=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN ))=Lim f(yN )=f(b) (n®¥). Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN ¹b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN )®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0 , а функция f непрерывна в точке у0 =g(x0 ), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0 .

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уÎf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0 )=у0 - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х0 ÎХ, что f(х0 )=у0 . Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х1 > или <х0 , то соответственно и f(х1 )> или <f(х0 ). Сопоставля именно это значение х0 произвольно взятому у0 из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0 ) при у®у0 . Пусть f`(у0 )=х0 . Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0 )|<Е <=> х0 -Е<f`(у)<х0 +Е <=> f(х0 -Е)<у<f(х0 +Е) <=> f(х0 -Е)-у0 <у-у0 <f(х0 +Е)-у0 <=> -d’<у-у0 <d”, где d’=у0 -f(х0 -Е)>у0 -f(х0 )=0, d”=f(х0 +Е)-у0 >f(х0 )-у0 =0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0 |<d => -d’<у-у0 <d” <=> |f`(у)-f`(у0 )|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN , nÎN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N =1/хN , учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х¹0

2) хN (nÎN) - тоже непрерывная функция

3) х-N =1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х¹0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная при х¹0, т.о. получили что хM mÎZ - непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0ф-ция хN nÎN строго монотонно возрастает и ф-ция хN непрерывна=>$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида аX , а>0, а¹1 xÎQ.

Свойства: для mÎZ nÎN

1) (аM )1/N = (а1/N )M

M )1/N =(((а1/N )N )M )1/N = ((а1/N )N*M )1/N = (((а1/N )M )N )1/N = (а1/N )M

2) (аM )1/N =b <=> аM =bN

3) (аM*K )1/N*K =(аM )1/N

M*K )1/N*K =b <=> аM*K =bN*K <=> аM =bN <=> (аM )1/N =b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: aM/N =(аM )1/N =(а1/N )M ,a-M/N =1/aM/N , а0 =1

Св-ва: x,yÎQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM = bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX /aY = aX-Y

3) (aX )Y =aX*Y

(aX )Y =b; x=m/n, y=k/s => (aM/N )K/S =b => (aM/N )K =bS => (a1/N )M*K =bS => (aM*K )1/N =bS => aM*K =bS*N => a(M*K)/(S*N) =b => aX*Y =b

4) x<y => aX <aY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY =aZ+X => aY -aX =aZ+X -aX =aX *aZ -aX =aX *(aZ -1) => если aZ >1 при z>0, то aX <aY .

z=m/n => aZ =(a1/N )M => a1/N >1 => (a1/N )M >1 => aX *(aZ -1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 aX ®1 (xÎR)

Т.к. Lim a1/N =1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N =Lim1/a1/N =1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0 : "n>n0 1-E<a-1/N <a1/N <1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0 , то

a-1/N <aX <a1/N => 1-E<aX <1+E. => Lim aX =1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида аX , а>0, а¹1 xÎR.

Свойства: x,yÎR.

1) aX * aY = aX+Y

xN ®x, yN ®y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX )Y =aX*Y

xN ®x, yK ®y => (aXn )Yk = aXn*Yk => (n®¥) (aX )Yk =aX*Yk =>(k®¥) (aX )Y =aX*Y

4) x<y => aX <aY (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; xN ®x x’N ®x’ xN ,x’N ÎQ => xN <x’N => aXn < aX’n => (n®¥) aX £aX’ - монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ ³ aQ >1 => aX-X’ ¹1 => aX<aX’ - строго монотонна

5) при x n®0 aX ®1

Т.к. Lim a1/N =1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N =Lim1/a1/N =1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0 : "n>n0 1-E<a-1/N <a1/N <1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n0 , то

a-1/N <aX <a1/N => 1-E<aX <1+E. => Lim aX =1 (при x®0)

6) aX - непрерывна

Lim aX =1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX -aXo = aXo (aX-Xo - 1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX -x0 n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo )=

Lim aXo *Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x ® 0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®¥

Лемма: Пусть nK ®¥ nK ÎN Тогда (1+1/nK )Nk ®e

Доказательство:

"E>0 $k0 : "n>n0 0<e-(1+1/n)n <E => nK ®¥$ k0 : "k>k0 => nK >n0 => 0<e-(1+1/nk )Nk <E

Lim (1+xK )1/Xk при x®0+:

1/xK =zK +yK , zK ÎN => 0£yK <1 => (1+1/zK+1 )Zk <(1+xK )1/Xk < (1+1/zK )Zk+1 =(1+1/zK )Zk *(1+1/zK )=>(1+1/zK+1 )Zk =(1+1/zK+1 )Zk+1 )/(1+1/zK+1 ) => (1+1/zK+1 )Zk+1 /(1+1/zK+1 ) < (1+xK )1/Xk < (1+1/zK )Zk *(1+1/zK ) k®¥ учитывая, что: (1+1/zK )®1 (1+1/zK+1 )®1 => получаем:

e£Lim (1+xK )1/Xk £e => Lim (1+xK )1/Xk =e => Lim (1+x)1/X =e при x®0+

Lim (1+xK )1/Xk при x®0-:

yK =-xK ®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X =e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X =e при x®0

2) n®¥ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X )X = eX

3) x®xa aÎR - непрерывна

xa =(eLn x ) a =ea *Ln x

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®a *Ln x => x®ea *Ln x

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim LogA (1+x)1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (eX -1)/x = {eX -1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (aX -1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)a -1)/x = Lim ([e a *Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN ), такую что Lim cN =m. Т.к. "nÎN: cN <m то $ xN Î[a,b]: cN <f(xN )£m. xN - ограничена => $ xKn ®a. Т.к. a£xКn £b => aÎ[a,b].

Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKn ®m.

Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем cKn ®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn <f(xKn )£m, получим

Lim f(xKn )=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(xKn )=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0

Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<d, x’,x”ÎI}, IÍDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: "Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK , х’K Î[a,b]: |хK -х’K |<1/к |f(xK )-f(x’K )|³E

Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0 . Получаем: |хKs -х’Ks |<1/к

хKs -1/k<х’KsKs -1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ks ®х0 kS ®¥ |f(xKs )-f(x’Ks )|³E кS ®¥ => 0³E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при х®x0 , если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0 ,f(x0 ) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0 )+f(x0 ). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0 +DхÎХ. Рассмотрим секущую МО М, МО (x0 ,f(x0 )), М(x0 +Dх,f(x0 +Dх)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0 )+f(x0 ), где k=f((x0 +Dх)-f(x0 ))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0 ))+x0 перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0 Dх®0 => x = Lim x0 )

Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число f’(х0 )=Lim (f(x0 +Dх)-f(x0 ))/ Dх x®x0 , если этот предел существует.

Геометрически f’(х0 ) - это наклон невертикальной касательной в точке (x0 ,f(x0 )). Уравнение касательной y=f’(x0 )*(x-x0 )+f(x0 ) . Если Lim (f(x0 +Dх)-f(x0 ))/Dх=¥Dх®0, то пишут f`(x0 )=¥ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0 . f`(x0 )=lim(f(x0 +Dх)-f(x0 ))/Dх x®x0 =>(f(x0 +Dх)-f(x0 ))/Dх=f’(x0 )+a(x), a(x)®0 при x®x0 . f(x0 +Dх)-f(x0 )=f`(x0 )*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x0 +Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0 ) получим f(x)=f’(x0 )*(x-x0 )+f(x0 )+o(x-x0 ). Необхо димо заметить, что o(x-x0 ) уменьшается быстрее чем (x-x0 ) при x®x0 (т.к. o(x-x0 )/(x-x0 )®0 при x®x0 )

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0 )+f(x0 )+o(x-x0 )

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0 )

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x0 )*(x-x0 )+f(x0 )+o(x-x0 ) => f`(x0 )=C

=>: f(x)=C(x-x0 )+f(x0 )+o(x-x0 ) => (f(x)-f(x0 ))/(x-x0 )=C+o(x-x0 )/(x-x0 )=C+a(x), a(x)®0 при x®x0 .

Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0 ))/(x-x0 )=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0 )

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0 , то линейная функция Dх®f’(x0 )*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и

обозначается df(x0 ). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x0 ):Dх®f`(x0 )*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0 )=f’(x0 )*dх => df(x0 )/dх: Dх®f`(x0 )*Dх/Dх=f’(x0 ) при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0 )=df(x0 )/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0 , то f непрерывна в точке x0 .

Докозательство: f(x)=f(x0 )+f’(x0 )*(x-x0 )+o(x-x0 )®f(x0 ) при x®x0 => f непрерывна в точке x0 .

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0 : это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0 . Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0 )*(x-x0 )+f(x0 )

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0 , тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0 )¹0) дифференцируемы в точке x0 и:

1) (f+g)’(x0 )=f’(x0 )+g’(x0 )

2) (f*g)’(x0 )=f’(x0 )*g(x0 )+f(x0 )*g’(x0 )

3) (f/g)’(x0 )=(f’(x0 )*g(x0 )-f(x0 )*g’(x0 ))/g(x0 )2

Доказательство:

1) Df(x0 )=f(x0 +Dx)-f(x0 )

Dg(x0 )=g(x0 +Dx)-g(x0 )

D(f+g)(x0 )=Df(x0 )+Dg(x0 )=f(x0 +Dx)-f(x0 )+g(x0 +Dx)-g(x0 )

D(f+g)(x0 )/Dx=(f(x0 +Dx)-f(x0 )+g(x0 +Dx)-g(x0 ))/Dx=(f(x0 +Dx)-f(x0 ))/Dx+(g(x0 +Dx)-g(x0 ))/Dx®f’(x0 )+g’(x0 ) при Dx®0

2)D(f*g)(x0 )=f(x0 +Dx)*g(x0 +Dx)-f(x0 )*g(x0 )=(f(x0 )+Df(x0 ))*(g(x0 )+D(x0 ))-f(x0 )*g(x0 )=g(x0 )*Df(x0 )+f(x0 )*Dg(x0 )+Df(x0 )*Dg(x0 ) D(f*g)(x0 )/Dx=g(x0 )*(Df(x0 )/Dx)+f(x0 )*(Dg(x0 )/Dx)+(Df(x0 )/Dx)*(Dg(x0 )/Dx)*Dx®f’(x0 )*g(x0 )+f(x0 )*g’(x0 ) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0 => "Е>0 (Е=|g(x0 )|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0 +Dx)-g(x0 )|<|g(x0 )|/2.

g(x0 )-|g(x0 )|/2<g(x0 +Dx)<g(x0 )+|g(x0 )|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что g(x0 +Dx)¹0.

Рассмотрим разность (1/g(x0 +Dx)-1/g(x0 ))/ Dx = -(g(x0 +Dx)-g(x0 ))/Dx*g(x0 +Dx)*g(x0 ) ® -g’(x0 )/g(x0 )2 при Dx®0

(f/g)’(x0 )=(f*1/g)’(x0 ) => (2) = f’(x0 )*1/g(x0 )+f(x0 )*(1/g)’(x0 )=f`(x0 )*1/g(x0 )+f(x0 )*(-g’(x0 )/g(x0 )2 )=(f’(x0 )*g(x0 )-f(x0 )*g’(x0 ))/g(x0 )2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0 ) = Cos (x0 )

2) Cos’(x0 ) = -Sin (x0 )

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x0 +Dx)-Sin(x0 ))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0 +Dx/2) ® Сos x0 при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x0 +Dx)-cos(x0 ))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0 +Dx/2) ® -Sin x0 при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0 , а ф-ция f диф-ма в точке y0 =g(x0 ), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0 )=f`(y0 )*g’(x0 )

Доказательство:

Dy=y-y0 , Dx=x-x0 , Df(y0 )=f’(y0 )*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0 +Dx)

Dh(x0 )=f(g(x0 +Dx))-f(g(x0 ))=f(y)-f(y0 )=f’(y0 )*Dy+o(Dy)=f’(y0 )*(g(x0 +Dx)-g(x0 ))+o(Dg)==f’(y0 )*(g’(x0 )*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0 )*g’(x0 )*Dx+f’(y0 )*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x0 )/Dx=f’(y0 )*g’(x0 )+r, r=f`(y0 )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y0 )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0 )*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0 )*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0 )*0 + 0*g’(y0 ) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) xa =a*xa -1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a -xa )/Dx = Lim xa-1 * ((1+Dx/x)a-1 )/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a -1)/x=a, получим Dx®0

Lim xa-1 *Lim((1+Dx/x)a-1 )/Dx/x = a*xa-1

2) (aX )’=aX *Ln a (x®aX )’=(x®eX *Ln a)’

x®eX *Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе непрерывны на R => (x®aX )’=(x®е X *Ln a)’=(x®еX *Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX *Ln a

Д-во : (eX )’=eX

Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+ D X -eX )/Dx=LimeX *(eD X -1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(eX -1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX

3) (LogA (x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA (x+Dx) - LogA (x))/Dx = Lim 1/x*LogA (1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA (1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA (1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0 , то g’(y0 )=1/f’(x0 ), где y0 =f(x0 )

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0 ))=g’(f(x0 ))*f’(x0 )=1, g’(f(x0 ))=g(y0 )=1/f’(x0 )

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0 Î(a,b) и f’(x0 )¹0, то g диф-ма в точке y0 =f(x0 ) и g’(y0 )=1/f’(x0 )

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0 : yN ®y0 , yN ¹y0 => $ посл-ть xN : xN =g(yN ), f(xN )=yN

g(yN )-g(y0 )/yN -yO = xN -xO /f(yN )-f(yO ) = 1/f(yN )-f(yO )/xN -xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN ®xO g(yN )-g(yO )/yN -yO ®1/f’(xO ) => g’(уO )=1/f’(xO )

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2 y)1/2 = 1/(1-x2 )1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2 )1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO , то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN (xO ) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0 (xO )=f(xO ).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1 (x) непрерывна в точке xO , а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO .

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию dх®fN (x)*dх и обозначают dN f(x). Таким образом dN f(x):dх®fN (x)dxN .

Так как fN (x)dхN :dх®fN (x)dxN , то dN f(x)=fN (x)dхN. В силу этого соотношения производную fN (x) обозначают также dN f(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2 y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2 )dx => d2 y=у”(х2 )dx2 x+y’(x)*d2 x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2 y=у’(х2 )*dx2 x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0 *vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0 N =1. Произведение uN+1 *v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СN N =1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK *vN+1-K . Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем fN+1 (x)=u0 *vN+1 ++ uN+1 *v0 =

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) => f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если xO -критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO -экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®xO ®(-) => локальный min, (-)®xO ®(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ

[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ

[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1 =1-t, l2 =t => l1 +l2 =1 l1 ,l2 ³0 => l1 А+l2 ВÎМ

Рассмотрим точки: А12 ,...АN ÎМ l1 ,l2 ³0 S(i=1,n): lI = 1

Докажем что S(i=1,n): lII ÎМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) lN =1 => приравниваем l1 =...=l N-1 =0 => верно

б) lN <1 l11 +...+ lN-1 N-1 + l N N = (1-l N )((l1 /1-l N )*А1 +...+(lN-1 /1-l N )*А N-1 ) + l N N = (1-l N )*B + l N N

BÎМ - по индуктивному предположению А N ÎМ - по условию=>(1-l N )*B + l N N ÎМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АI ÎМ lI ³0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lII ÎМ, xI ³0, f(xI )£yI => S(i=1,n): lII = (SlI *xI ;SlI *yI ) => f(SlI *xI )£SlI *yI

Неравенство Йенсена: АI ÎМ lI ³0 SlI =1f(SlI *xI )£SlI *f(xI )

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO ,x”Î(a;b) x’<xO <x” =>

(f(xO )-f(x’))/(xO -x’)£(f(x”)-f(xO ))/(x”-xO ). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO -x’)³(f(xO )-f(x’))/(xO -x’) => y³f(xO ); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO )£(f(x”)-f(xO ))/(x”-xO ) =>y£f(xO )

(f(xO )-f(x’))/(xO -x’)£(f(x”)-f(xO ))/(x”-xO )

“<=”

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:22:38 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:38 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Математический анализ

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151307)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru