Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах

Название: История тригонометрии в формулах и аксиомах
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 09:46:53 30 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 2287 Комментариев: 3 Оценило: 5 человек Средний балл: 2.6 Оценка: неизвестно     Скачать

Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604 . Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла


В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол a, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1 В1 С1 (рис.1), имеющих равные углы ÐА=ÐА1 =a. Из подобия этих треугольников имеем:

Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

В1
можно рассматривать как функции угла a.

С1
b
b1


Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:


sin a=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом aи измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin a .

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС =a =1, тогда гипотенуза этого треугольника с =2, а второй катет b =Ö3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a =1, тогда для этого треугольника c =Ö2 и b =1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

30 ° 45 ° 60 °
sina


Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.

90°N


0,79

а

А b С 0,620°M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ =1. Если угол ВАС =a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

sin a=а

Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а =0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b =0,62., то есть sin 52°=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0°и 90°прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ , то угол a®0, а катеты а ®0 и b ®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin 0°=а =0; cos 0°=b =1.

Что касается значений tg a и ctg a, то при a®0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥, где символ ¥ указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg 0°=0, а ctg 0°не существует, что чаще записывают какctg 0°=¥.

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin 90°=1; cos 90°=0, tg 90° не существует (tg 90°®¥) и ctg 90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

градусы 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
sin 0,00 0,03 0,07 0,10 0,14 0,17 0,21 0,24 0,28 0,31 0,34 0,37
градусы 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
sin 0,41 0,44 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,62 0,64 0,67 0,69 0,72
градусы 48 50 52 54 56 68 60 62 64 66 68 70
sin 0,74 0,77 0,79 0,81 0,83 0,93 0,87 0,88 0,90 0,91 0,93 0,94
градусы 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
sin 0,95 0,96 0,97 0,98 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00

Пользуясь значениями тригонометрической функции y =sinx из таблицы, построим график.

y

y=sinx

1

0 30° 60° 90°x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a2 +b2 =c2

или


По определению тогда


(1)

Легко также найти следующие зависимости


(2)

(3)


(4)


(5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические
функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла


Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0 x угол a. Будем считать, что ось 0 x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay .

Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a,образованного осью 0 x и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:


y

A


x

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0 x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

и sin (a+360°· n)=sin a

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти ax >0; ay >0;

Во II четверти ax <0; ay >0;

В III четверти ax <0; ay <0;

В IV четверти ax >0; ay <0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное числогде r обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx , где x – абстрактное число, равен sinx , где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ± 1; ± 2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin ( x +2 p n )= sinx , где n=0; ± 1; ± 2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx , соответствующих выбранным значениям x , а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x1 01 y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1 . Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0 y , ось которой 0 x совпадает с осью 0 1 x1 , но сначало координат 0 1 (x 1 =0 ) и 0 (x=0 ) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 p делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0 x , а из точек деления отрезка [0, 2 p ] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx , так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2 p ].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1 £ sinx £+1,

причем sinx=+1 , если


и sinx=-1 , если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0 , если x= p n (n=0; ±1; ±2;… ).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах


(n=0; ±1; ±2;… ).

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах


(n=0; ±1; ±2;… ).

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:22:00 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:46:47 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:12 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах
Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n ...
(sinx)"=lim[sin(x+=x)-sinx]/=x=lim[2sin(=x/2)cos((2x+=x)/2)]/=x=lim[2(=x/2)cos(x+(=x/2))]/=x=cosx
Т -касательная к Г в точке A, имеющей абсциссу х; f'(x)=tg , где - угол, образованный касательной с осью х; dy=f'(х) x=tg x=CD, DB= y-dy=o( x) x 0. Таким образом, дифференциал ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 45623 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, nо - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала ...
Наподобие того, как функция y = f(x) геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y). Возьмем в пространстве R3 прямоугольную ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Нейрокомпьютерные системы
Введение. ПОЧЕМУ ИМЕННО ИСКУССТВЕННЫЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ? После двух десятилетий почти полного забвения интерес к искусственным нейронным сетям быстро ...
Вычисления проводятся над вектором X, чтобы получить выходной вектор Y. Как мы видели, вычисления в многослойных сетях выполняются слой за слоем, начиная с ближайшего к входу слоя.
Уравнение (4.6) обобщает хорошо известный случай двух измерений, когда длина вектора равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного его х и у компонентами, как это ...
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат Просмотров: 1761 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
Тогда вектор суммы будет вектор соединяющий начало первого с концом последнего слагаемого вектора. (если начало первого и конец последнего слагаемых векторов совпали то сумма равно ...
Пусть прямые p и q пересекаются прямой t в точках Аи В. Если p и q пересекаются в некоторой точке С то внешний угол треугольника АВС равен одному из его внутренних углов, что ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3490 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Гимназия №1 города Полярные Зори Алгебра, геометрия, физика. Научная работа ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ ...
1) найти приращение =y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + =x и x;
y' =cos x, y'' = -sin x.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3753 Комментариев: 5 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 2 Оценка: 2     Скачать
Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Научная работа Автор Бирюков Павел Вячеславович. Гимназия №1 города Полярные Зори Январь-май 2004 г. Производная функция Поставим своей задачей ...
1) найти приращение =y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + =x и x;
y' =cos x, y'' = -sin x.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3132 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 6 человек Средний балл: 4 Оценка: 4     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах (2467)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150154)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru