Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Название: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 13:13:45 09 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 739 Комментариев: 2 Оценило: 4 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать

Общеобразовательная муниципальная

средняя школа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Автор работы:

Андреева Елена Валерьевна

ученица 11 «б» класса

Научный руководитель:

Солдаткина Клавдия Дмитриевна

Учитель математики

Город Кузнецк, 2004 год

ПЛАН.

І. Объект исследования.

ІІ. Цель исследования.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра.

V. Использованная литература.

І. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

О О

А В

А В

С С

Рис. 1 Тетраэдр. Рис. 2 Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

А А

В В


О О

С

Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямоугольного

трёхгранного угла, тетраэдра.

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.

ІІ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

SОАВ= S1 SABC= S

SOBC= S2 SOAC= S3 В

Доказать: О

D

S²=S1²+S2²+S3²

С

Доказательство.

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC×AD

SOBC=1/2 BC×OD

SOAB =1/2 OA×OB

SOAC=1/2OA×OC

S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=

=1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), т.к.

ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD² , т.к.

OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.

II . Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

где а , b , с - катеты. В

АВ, ВС и АС- гипотенузы а

Доказать: b

АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с² )

Доказательство. О

АВ² = а² + b ² с С

ВС² = b ² + с² (по теореме Пифагора)

АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

а , b , с - катеты. В

Доказать: а b

V=(1/6) а · b · с

Доказательство. О С

с

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b ·.с

Имеем V=(1/6) а · b · с , что и требовалось доказать.

IV. Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

_______________

h = (a۰b۰c )/√a²·b² + b²·c² + a²·c²

где a , b , c – катеты тетраэдра

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

ОА = а , ОВ = b , ОС = с катеты Д

ОД = h – перпендикуляр к грани

АВС а

h В

Доказать: b


____________ О

h = (a·b·c ) / √a²b²+b²c²+a²c² с С

Доказательство .

Объем тетраэдра:

V = (1/3)SАВС · h

C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

Следовательно,

h = (abc ) / (2SАВС )

Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

___________________

SАВС = √Ѕ²ОАВ + S²ОВС + S² ОАС

____________

т.е. SАВС = (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

Следовательно,

____________

h = (abc ) / √a ² b ²+ b ² c ²+ a ² c ² , что и требовалось доказать.

V. Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

____________

cos α = h / a = (bc ) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

сos β = h / b = (ac ) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = h / c = (ab ) / √a²b²+b²c²+a²c²

где a , b , c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль

Дано :

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

ОА = а , ОВ = b , ОС = с - катеты

ОД = h – нормаль к грани АВС А

Доказать : Д

____________

cos α = (bc ) / √a ² b ² + b ² c ² + a ² c ² h

____________ а В

cos β = (ac ) / √a ² b ² + b ² c ² + a ² c ² α b

____________ β

cos γ = (ab ) / √a ² b ² + b ² c ² + a ² c ² γ

С

О с

Доказательство .

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

____________

Поскольку h = (abc ) / √a ² b ²+ b ² c ²+ a ² c ²

____________

cos α = (bc )/√a ² b ²+ b ² c ²+ a ² c ² , что и требовалось доказать.

Аналогично:

____________

cos β = ОД/ОВ = d / b = (ac )/√a ² b ²+ b ² c ²+ a ² c ²

____________

cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab )/√a²b²+b²c²+a²c²

VI. Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр , определяется по формуле:

________

R = ( ½) · √a ²+ b ²+ c ²

где a , b , c – катеты тетраэдра

К L

Дано :

ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М

ОА = а, ОВ = b , ОС = с – катеты

R – радиус сферы, описывающей

тетраэдр.

Доказать : а

_______ В Д

R = (1/2)√a ²+ b ²+ c ² b

О

Доказательство . с С

На базе прямоугольного тетраэдра

ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:

_______ _____ ________

КС = D = √a ²+ b ²+ c ² (ВС = √b ²+ c ² , ВК = а , КС = √ВС²+ВК² )

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

_______

R = (1/2)D = (1/2)√a ²+ b ²+ c ²,

что и требовалось доказать.

VII . Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

abc

r = ____________ ,

a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

где a , b , c - катеты тетраэдра.

Дано : ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а , ОВ = b , ОС = с – катеты. О1 – центр вписанной сферы

r - радиус вписанной сферы

Доказать :

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1 Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1 Д = r.

_ _

Пусть do - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо | = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

__

Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __

ОК = |ОО1 |cosδ , где δ – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.

___ __ _ __ _

|OO1 |cosδ = (OO1 ·do ) = r · cosα + r ·cosβ + r ·cosγ , где (ОО1 ·dо ) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h ,

тогда h = OK + KH, т.е.

h = |OO1 |cosδ + r , т.к. КН = r

(поскольку КНДО1 является прямоугольником).

Имеем

h = r cosα + r cosβ + r cosγ + r

т.е.

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

____________

(abc )/√ a²b²+b²c²+a²c² abc

r = ____________ = ____________ ,

1 + (bc + ac + ab ) / √a²b²+b²c²+a²c²a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

VIII. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра .

А

Дано :

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = аа

катеты В

Доказать , что гипотенузная а

грань является правильным

треугольником и косинусы О Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными а

гранями равны С

___

√1/3

Доказательство .

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

_________ __

АС = √ ОА² +OC² = √2 а

_________ __

АВ = √ ОА² +OB² = √2 а

_________ __

ВС = √ ОВ² + ОС² = √2 а

т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

_ _ _ ___

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

_

ОД = а/√2

Косинус двугранного угла: __

сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.

Результаты исследования : исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.

ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b , высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.

А

Дано :

ОАВС- пирамида,

основанием является прямоугольный H

треугольник ОВС с катетами а и b В

ОА = Н, высота.

Найти: b

S полн. О Д

а

С

1) Решение по традиционной схеме:

S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС

SАОС = (1/2)а Н; SАОВ = (1/2)b Н; SВОС = (1/2)а b ;

Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ ________

ВС = √ а² + b ² ; АД = √ ОД² +Н² , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.

Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:

______

ОД/ b = а /ВС или ОД = (а b )/ВС = (а b )/ √ а² + b ²

Следовательно, _______________ ________________________

АД = √ (а b )/( а² + b ² ) + Н² = √[(а b )² +(b H)² + (а H)²]/( а² + b ²)

_________________

В результате получаем SАВС = (1/2) √ (а b )² +(b H)² + (а H)²

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (а b )² +(b H)² + (а H)² + а Н + b Н + а b ]

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС

SАОС = (1/2)а Н; SАОВ = (1/2)b Н; SВОС = (1/2)а b ;

___________________ _________________

SАВС = √ SАОС ² + SАОВ ² + SВОС ² = (1/2)√ (а b )² +(b H)² + (а H)²

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (а b )² +(b H)² + (а H)² + а Н + b Н + а b )

Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.

Ребро куба равно а . Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней

К L

Дано :

ОВДСАКLM - куб А М

ОА = а , ОВ = b , ОС = с – ребра

ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-

дящей через диагонали смежных а

граней. В Д

Найти: а

SАВС О

а С

1) Решение по традиционной схеме:

Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ __

АС = АВ = ВС = √ а² + а² = √2 а

Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:

_ _ _

SАВС = (√3/4)(АС)2 , т.е. SАВС = (√3/4)(2а 2 ) = (√3/2)а 2

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а 2 (поскольку тетраэдр равнокатетный);

___________________

SАВС = √ SАОС ² + SАОВ ² + SВОС ²

_________ _

Cледовательно, SАВС = (1/2) √ а² + а² + а² = (√3/2)а 2

V. Список использованной литературы :

1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.

2. А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.

3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:21:56 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:11 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150740)
Комментарии (1839)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru