Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Интеграл и его свойства

Название: Интеграл и его свойства
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 10:57:25 07 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 10565 Комментариев: 12 Оценило: 9 человек Средний балл: 2.9 Оценка: 3     Скачать

Теоретические вопросы

    Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’( x) или дифференциала df= f’( x) dx функции f( x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f( x ) требуется найти такую функцию F( x), что F’(х)= f( x) или dF( x)= F’( x) dx= f( x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F( x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение. Функция F( x), , называется первообразной для функции f( x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’( x)= f( x) или dF( x)= f( x) dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f( x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F1 ( x) и F2 ( x) – две различные первообразные одной и той же функции f( x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2 ( x)= F1 x)+ C, где С – постоянная .

    Неопределенный интеграл, его свойства.

Определение. Совокупность F( x)+ C всех первообразных функции f( x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F( x) – первообразная функции f( x), то:

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

    Таблица неопределенных интегралов.

Приведем основные правила интегрирования функций.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную ( u= x) , так и функцию от независимой переменной ( u= u( x)) .)


1. ( n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. (a≠0).

15.(a≠0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u| < |a|).

18.

19.


Интегралы 1 – 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

    Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ( t), откуда dx=φ’( t) dt.

Теорема. Пусть функция x=φ( t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f( x). Тогда если на множестве Х функция f( x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

- (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u( x) и v( x) – две дифференцируемые функции переменной х . Тогда:

d(uv)=udv+vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как , то:

- (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям . С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С , так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , ( Pn ( x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u= Pn ( x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени nотносительно х ). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn ( x).

III. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

Рациональной дробью R( x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( n≥ m) , то дробь называется неправильной . Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( n≤ m) , то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

где R( x) – многочлен-частное (целая часть) дроби ; Pn ( x) – остаток (многочлен степени n < m ).

6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:


1)

2) (n≥2);

3)

4) (n≥2).


Здесь А, a, p, q, M, N– действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2 /4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

Интегрирование рациональных дробей.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби . Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm ( x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:

- (5)

Теорема. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

- (6)

( A1 , A2 , …, Ak , B1 , B2 , …, B1 , M1 , N1 , M2 , M2 , …, Ms , Ns – некоторые действительные числа).

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm ( x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn ( x).

Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х , можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Правило интегрирования рациональных дробей . Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная ( k≥ m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где n < m; R( x) – многочлен;

2) если рассматриваемая рациональная дробь - правильная ( n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);

3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

    Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.

Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида:

- (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке .

Интегралы вида ( m, n є Z , m ≥ 0, n ≥ 0). Если хотя бы одно из чисел m и n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 x+ cos2 x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

Интегралы вида , , ( n є N , n > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx= t соответсвенно.

Если t= tgx , то x= arctgt , . Тогда:

.

Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t= ctgx , то x= arcctgt , , откуда:

Интегралы вида ( m, n є R ). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

8. Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы вида (m1 , n1 , m2 , n2 , … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х . Они вычисляются подстановкой x= ts , где s – общий знаменатель дробей , , … При такой замене переменной все отношения = r1 , = r2 , … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t :

Интегралы вида (m1 , n1 , m2 , n2 , … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:

где s – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной t .

Интегралы вида Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I1 – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax2 + bx+ c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой

u=k sint (или u=k cost )

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.

Интегралы вида (m, n, p є Q , a, b є R ). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома , выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) если p є Z , то применяется подстановка:

x= ts ,

где s – общий знаменатель дробей mи n ;

2) если Z , то используется подстановка:

a+ bxn = ts ,

где s – знаменатель дроби

3) если Z , то применяется подстановка:

ax-n +b=ts ,

где s – знаменатель дроби

9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

- (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ n отрезка [ a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ k , то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f( x) на отрезке [ a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f( x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману ). При этом f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x)подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y= f( x) непрерывна на отрезке [a; b] и f( x) ≥ 0 . Фигура, ограниченная графиком АВ функции y= f( x), прямыми x= a, x= b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией .

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ k .

Чем меньше , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0 :

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

10. Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны ( a= b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f( x)=1 , то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R .

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [ a; b] функций f1 ( x), f2 ( x), …, fn ( x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f( x) ≥ 0 [ a; b], то

a < b.

8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f( x) и φ( x) удовлетворяют неравенству f( x) ≥ φ( x) [ a; b], то

a > b.

9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f( x), непрерывной на отрезке [ a; b], то

a < b.

10 (теорема о среднем). Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a; b], то существует такая точка [ a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [ a; b] и длины b- a этого отрезка.

11. Теорема о среднем.

Если функция f( x) непрерывна на отрезке [ a; b], то существует такая точка [ a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [ a; b] и длины b- a этого отрезка.

12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a , а верхний х изменять так, чтобы x є [ a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

xє [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t , а верхний предел интегрирования – буквой х .

Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f( x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [ a; b] от непрерывной функции f( x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x= b и x= a.

- (9)

13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f( x) непрерывная на отрезке [ a; b], а функция x=φ( t) непрерывно дифференцируема на отрезке [ t1 ; t2 ], причем φ([ t1 ; t2 ])=[ a; b] и φ( t1 )= a, φ( t2 )= b, то справедлива формула:

- (10)

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u( x) и v( x) – дифференцируемые на отрезке [ a; b] функции переменной х . Тогда d( uv)= udv+ vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b] :

- (11)

С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница

Следовательно, формула (11) принимает вид:

- (12)

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

15. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y= f( x) [ f( x) ≥ 0], прямыми x= a и x= b и отрезками [ a; b] оси Ох , вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y= f1 ( x) и y= f2 ( x)[ f1 ( x) ≤ f2 ( x)] и прямыми x= a и x= b , находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x= x( t), y= y( t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x= a, x= b и отрезком [ a; b] оси Ох , выражается формулой:

где t1 и t2 определяются из уравнений a= x( t1 ), b= x( t2 ) [ y( t) ≥ 0 при t1 t ≤ t2 ].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

Если кривая y= f( x) на отрезке [ a; b] - гладкая (т. е. производная y’= f’( x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x= x( t), y= y( t) [ x( t) и y( t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2 , вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ) , α ≤ θ ≤ β , то длина дуги равна:

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х , а переменную интегрирования буквой t . Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Практические задания

1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

1) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

2) .

Решение:

Проверка:

- верно.

__________________________________________________________________________________

3) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

4) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

5) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

6) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

7) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

8)

Решение:

Проверка:

- верно.

__________________________________________________________________________________

9) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

2. Найти неопределенные интегралы:

1) .

Решение:

___________________________________________________________________________

2) .

Решение:

___________________________________________________________________________

3) .

Решение:

___________________________________________________________________________

4) .

Решение:

___________________________________________________________________________

5) .

Решение:

___________________________________________________________________________

6) .

Решение:

___________________________________________________________________________

7) .

Решение:

___________________________________________________________________________

8) .

Решение:

___________________________________________________________________________

9) .

Решение:

___________________________________________________________________________

10) .

Решение:

__________________________________________________________________________________

11) .

Решение:

___________________________________________________________________________

12) .

Решение:

___________________________________________________________________________

13) .

Решение:

___________________________________________________________________________

14) .

Решение:

___________________________________________________________________________

15) .

Решение:

___________________________________________________________________________

3. Вычислить определенный интеграл:

1) .

Решение:

___________________________________________________________________________

2) .

Решение:

___________________________________________________________________________

3) .

Решение:

____________________________________________________________________________

4. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) .

Решение:

- интеграл I рода.

- сходящийся.

____________________________________________________________________________

2) .

Решение:

- интеграл II рода.

- расходящийся.

____________________________________________________________________________

3) .

Решение:

___________________________________________________________________________________

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:21:51 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
20:15:04 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:08 24 ноября 2015
2
ксюша04:39:35 03 ноября 2015
Это вы называете рефератом???!!!! Бред полный!!!
Leyla 19:37:15 23 декабря 2010

Смотреть все комментарии (12)
Работы, похожие на Реферат: Интеграл и его свойства
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
Интеграл o ex cos x dx также интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx Ѭ du=exdx, v=sin x. Имеем: o ex cos x dx = ex sin x - o ex sin x dx.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n ...
Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность - пок ...
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C==f(x)dx
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 45662 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Матанализ
1Натуральные числа - 1,2,3,4, .., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа ...
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ѭ>0, найдётся такое положительное ...
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C==f(x)dx
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 329 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпоры по математическому анализу
Производные и дифференциалы высших порядков Опр-ие: производной n-го порядка (n 2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от ...
По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)
Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х0 и у к у0, если для любого ѭ>0 существует такое ѭ>0, что для всех точек (x,y), координаты ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 980 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Содержание и значение математической символики
Курсовая работа Выполнила студентка факультета математики 4 курс 4 группа Клочанова Ольга Михайловна Российский государственный педагогический ...
В первой из них он допустил ошибку, сделав вывод, что при наличии комплексных корней у знаменателя рациональной дроби с действительными коэффициентами интегрирование должно ввести ...
Все четыре приведенных выражения являются записями одноместных предикатов от соответствующей свободной переменной. (X)А(X,Y) (читается: "для всех X, A от X и Y") - одноместный ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 3320 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 5 человек Средний балл: 4.6 Оценка: неизвестно     Скачать
Лекции по Математическому анализу
Аксиоматика вещественных чисел. Алгебраические свойства вещественных чисел. На множестве вещественных чисел определена операция сложения ...
Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 834 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Использование команд преобразования выражений Maple для математических ...
Кафедра: Информационные Технологии Лабораторная работа На тему: "Использование команд преобразования выражений Maple для математических вычислений ...
Для частного двух полиномов (рациональная алгебраическая дробь) эта команда раскрывает скобки в числителе и делит каждый член полученного выражения на знаменатель, с которым она не ...
Команда имеет две формы вызова: normal (f); normal (f, expanded); где f - алгебраическая дробь, а параметр expanded указывает на то, что после сокращения дроби в числителе и ...
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: лабораторная работа Просмотров: 393 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Бернулли
В то время как большинство западноевропейских стран были заняты внутренними феодальными междоусобицами и внешними войнами, Нидерланды уже прошли ...
Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей.
... за 1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различных корней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовые формулы, показал, как ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 4743 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 5 человек Средний балл: 4.4 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпора 2 по мат анализу
1.Метрические, линейные, нормированные пространства. 2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных. Понятие: Пусть даны множества D Rn и ...
Если F(x) -первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается f(x ...
3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[ѭ(t)] определена непрерывна на отрезке [ѭ,ѭ].
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 592 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Интеграл и его свойства (6770)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150826)
Комментарии (1841)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru