Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Интеграл Пуассона

Название: Интеграл Пуассона
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 07:01:44 09 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 85 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

.

Пусть ¦(x ) , g (x ),x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку

f * g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и

cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где {cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn = -i n t dt , n = 0, ±1,±2,¼

Пусть ¦ÎL1 (-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию

¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î[-p,p] , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х)равны

cn ( fr ) = cn × r| n | , n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î[-p,p]. ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )

Если ¦Î L1 ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = `cn ( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

=, ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix ) , xÎ[-p, p] . Тогда

u (z) = ( z = reix , | z |<1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, | z |<1+ e .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)

Из последней оценки получим

при n®¥.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.


[*] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] иx-y=2 p ) и f (x) = 0 , если |x |>2p.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:21:50 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:06:12 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:53:07 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Интеграл Пуассона

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150738)
Комментарии (1839)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru