Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

Название: Атомические разложения функций в пространстве Харди
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 04:15:33 07 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 67 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса ­- 2000

Содержание

Введение.................................................................................... 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и ................................. 8

§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства ....................................................... 12

§I.3. Пространства и ......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

, пространство ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство , критерий принадлежности

функции из пространству ....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,

двойственность и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

- пространство периодических, непрерывных на функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции называется функция

¦r ( x ) = ,

где , t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а) ;

б) ;

в) для любого d>0

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства понимается

, .

Определение5. Под нормой пространства понимается

, .

Определение6. Пусть ( или ,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством

, .

(, ).

Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

.

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию () можно предсавить в виде

, , ,

где для п.в. , при этом

;

.

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .

Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : , выполняется неравенство .

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде (). Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , () с учетом их кратности:

,

где - кратность нуля функции при .

Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде

, где не имеет нулей в круге и , - произведение Бляшке функции .

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (), , то и .

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ; б) ; в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо множество вида ().

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде

, , где , , - атомы. (*)

При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x ) , g (x ) , x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку

f*g(x) =dt

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn (f)= -i n t dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p, p ] . ( 2 )

Так как для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn ( fr ) = cn (f)× r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )

Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix ) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

u (z) = ( z = reix , | z | < 1 ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, | z | < 1+ e .

Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции следующим образом :

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ; (11)

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a<b, . Максимальной функцией для функции называется функция

,

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

, .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) *) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-p,p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p, p] и (14)

из последней оценки получим

при r®1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.

§I.2.Пространства Hp .

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит пространству , причем

. (18)

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем

(*)

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)

. Отсюда (**)

Учитывая (*) и (**) , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и

(19)

Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что

j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

обладающая свойствами:

а) ;

б) ; (22)

в) .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа e и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность

. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой

и

Так как средние Фейера равномерно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

такой, что

(25)

Пусть . Рассмотрим для каждого d>0 такую функцию , что

,

(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2p, и положить

).

Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых d>0 функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при достаточно большом N

(27)

Положим

, (28)

Так как h(t) - действительная функция, то , n=0,±1,±2,¼. Поэтому

и . (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.

(30)

В силу соотношений (25), (27) и (29) для

,

а для

.

Наконец, для любого

.

Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

(31)

При этом

1) , , ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом и по теореме 1

. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

.

Пусть . Для построения искомой функции положим

, , .

Функции , , имеют равномерно ограниченную по r вариацию на :

.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации и последовательность , такие, что в каждой точке и

(32)

для любой функции . При этом для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция , для которой

,

Тогда

, (33)

Зафиксируем число . Функция , аналитична в круге , поэтому согласно утверждению 1

, .

В пределе при из последнего равенства вытекает, что

, , .

Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.

§I.3.Пространства и .

Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

для п.в. , .

В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 и каждая функция удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно,

. (34)

Из (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства , а - банахово пространство с нормой (15).

Пусть . Положим

,

, (35)

ОпределениеI.5.

Если функция , то сопряженной к ней функцией называется функция , ,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов .

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при этом

а) , y>0;

б) если , , то и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а) ;

б) , , , ;

в) ;

г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :

. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства

, (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

, , ,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

по мере . (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

, . (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Так как - полином, то и

. (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде

, , . (43)

Из непрерывности функции легко следует, что

равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь

, (44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть (,,) и

. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и

, .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,

, . (45)

Согласно теореме 1

. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций к . Таким образом,

по мере (),

а потому , учитывая (46), для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если , то ;

б) если и , то ;

в) если , , , , то

. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

,

.

Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

. (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и .

- банахово пространство с нормой

. (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если при , то , , , и так как по мере при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б), мы получим

, если . (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию

, , . (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

. (52)

Для фиксированного , , при имеет место оценка

. (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим

, . (54)

Допустим теперь, что () - нули некоторой функции с , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция () аналитична в круге радиуса больше единицы, и , если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда

и

, (55)

Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть - аналитическая в круге функция и , () - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

(56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

, ,

а - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

, . (57)

При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

, , .

Так как для любого , то по теореме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что () равномерно по , мы получим

, ,

т.е. , .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

В силу теоремы 2

для п.в. . (58)

Установим, что для произвольной функции величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е.

, . (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция , то для любого

;

б) если функция , то ,

где - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

. (60)

Так как обе функции и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

. (61)

Для имеют место оценки

,

.

Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при , (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции , ,

, (63)

где - постоянная, зависящая только от .

Теорема 7.

Пусть (), и

, .

Тогда и

. (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , пространство ВМО.

§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из

пространству .

Рассмотрим () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :

для п.в. , . (65)

Ранее мы доказали, что

, , (66)

и что - банахово пространство с нормой

; (67)

при этом, если в (65) , то

() . (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что

().

Последнее соотношение теряет силу при - нетрудно проверить, что при

,

где

и, следовательно, существует функция , для которой . Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .

ОпределениеII. 8.

Множество мы будем называть обобщенным интервалом, если - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида

(). (69)

Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину

Определение II.9.

Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде *)

, , (70)

где , , - атомы. При этом

, (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и . Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет место неравенство

. (72)

Пусть - такой обобщенный интервал, что

, , (73)

(случай тривиален). Так как , то нам остается доказать, что

. (74)

Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

, (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда .

Допустим теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что

.

Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным неравенством

, ,

где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а - абсолютная постоянная. В силу (73) при мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что и , мы находим

, , где .

Следовательно,

.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции разложение (70), для которого

.

Пусть функция с такова, что выполнено соотношение (65), и пусть () - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.

, , (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что

, (76)

где постоянные С и () не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

. (77)

Рассмотрим на отрезке множества

, , (78)

Так как при любом множество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

, при , , . (79)

Положим и при

(80)

Так как конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в. при , а значит, для п.в.

.

Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы находим, что

, (81)

где - характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:

для п.в. , (82)

где

, , (83)

С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,

, . (84)

Докажем теперь, что для п.в.

, , (85)

где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что

.

Пусть теперь , - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги () , то , а значит,

, . (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

при . (87)

Легко видеть (учитывая, что и ) , что множества и пересекаются в одной точке:

с , . (88)

Пусть , , - отрезок, соединяющий точки и . Так как , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая (88)

, ,, . (89)

Рассмотрим область , ограниченную

отрезками и и дугой ;

пусть, далее, для

,

, .

По теореме Коши [5] .

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство ,

мы получим

.

Но в силу теорем 4 и 5

, ,

и так как , , то мы находим, что

. (89')

Легко видеть, что отношение ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

, . (90)

Так как , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу следует из определения функций и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции

, , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:

для п.в. ,

где , .

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.

Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

. (92)

Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция .

Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

, , , - атомы *) (93)

и положить

, (94)

то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом

(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой

,

где М не зависит от . Тогда и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

. (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим

Так как всегда , то, учитывая равенства

, ,

,

мы с помощью следствия 2 находим

, (96)

Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

, , (97)

где функции являются атомами и , и при

, , . (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при

.

Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что

.

Таким образом, равенством

, , (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :

, . (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :

.

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с

, (101)

для которой

, . (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что

. (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

,

что с учетом соотношения доказывает оценку (103).

Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,

для любой функции .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x | > p .

*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.

*) Возможен случай, когда при .

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:21:15 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:52:47 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151189)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru