Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

Название: Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах
Раздел: Рефераты по медицине
Тип: реферат Добавлен 04:48:04 16 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 10 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Пошукова робота на тему:

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

П лан

  • Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
  • Подвійний інтеграл в полярних координатах

Обчислення подвійного інтеграла

При одержимо подвійний інтеграл

.

1. Обчислення подвійного інтеграла

в декартових координатах

Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу

, (11.16)

Рис.11.4 Рис.11.5

де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.

Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .

На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині

Точками і границя розбивається на дві лінії: і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

: , : .

Так само точками і межа області розбивається на лінії і , рівняння яких:

.

Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої в область , а точка - точкою виходу із області. Із рівняння ліній і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють і . Отже, інтеграл

дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:

. (11.17)

Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від , якщо .

Рис.11.6

Замінюючи у формулі (11.16) її виразом (11.17), дістаємо

або в зручнішій формі

. (11.18)

Міняючи і місцями, можна вивести й формулу:

. (11.19)

З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

1. Спроектувати область на вісь (знайти точки і ).

2. Провести пряму, паралельну осі , яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння і .

3. Розставити межі інтегрування за змінною і змінною в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

Зауваження . Якщо область неправильна в напрямі осі , то необхідно таку область розбити прямими , паралельними , на кілька правильних областей.

За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад . Обчислити подвійний інтеграл

,

де область обмежена лініями (рис. 11.7).

Р о з в ’я з о к. В напрямі осі область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: . Крива входу

Рис.11.7

Крива входу описується рівнянням , а лінія виходу - рівнянням . За формулою (11.18) маємо:

.

Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області: і (на рис. 11.7 області відповідає фігура , а області - трикутник ). Тоді:

.

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах

Віднесемо площину, в якій задана область , до полярної системи координат . Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю . Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами .

Область інтегрування розіб’ємо на елементарні області двома системами координатних ліній: (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа області буде:

,

або

,

де - середній радіус між і .

Припускаючи, що функція неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо . Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

Рис.11.8 Рис.11.9

за змінними і , а тому, переходячи до границі, дістанемо

. (11.20)

Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат до полярних . Вираз називається елементом площі.

Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними і .

Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування , а сама область поміщена між променями та і координатні лінії зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих і .

Інтегруючи спочатку за у межах його зміни за сталою , тобто від до , а потім за від до , дістанемо

. (11.21)

У частинному випадку , якщо область інтегрування є частина кругового кільця , то межі інтегрування сталі за двома змінними

. (11.22)

2. Нехай полюс лежить в області інтегрування і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за , а потім за , дістаємо

, (11.23)

де - полярне рівняння межі області .

Частково, при , тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то

. (11.24)

Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

1) записати межу області у полярних координатах;

2) замінити аргументи та підінтегральної функції відповідно на і ;

3) замінити елемент площі на ;

4) розставити межі інтегрування по області ;

5) обчислити повторний інтеграл.

Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл де область частина кільця (рис. 11.10).

Р о з в ‘ я з о к.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений09:14:10 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:18:14 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150489)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru