Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Умова перпендикулярності прямих

Название: Умова перпендикулярності прямих
Раздел: Рефераты по астрономии
Тип: реферат Добавлен 14:04:27 20 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 10 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

: к / =.

8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку 11 ) :

у-у1 =к(х-х1 )

9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки 11 ) і 22 ) :

10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:

11. Загальне рівняння прямої:

Ах+Ву+С=0, (А22 ¹ 0).

12. Відстань від точки 11 ) до прямої Ах+Ву+С=0:

d =

13. Рівняння кола з центром 00 ) і радіусом R :

(х-х0 )2 +(у-у0 )2 = R2

14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в :

(1)

Фокуси еліпса F(c;0) i F/ (-c;0) , де с222

15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):

r=a-Ex; r/ =a+Ex,

де Е= - ексцентриситет еліпса.

16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в :

(2)

2

нерівностями a £ x £ b, y1 (x) £ y £ y2 (x), z1 (x, y) £ z £ z2 (x, y)

де yi (x) , zі (x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:

.

Для заміток.

І. Аналітична геометрія на площині.

1. Паралельне перенесення системи координат:

х ' =х-а, у ' =у-в,

де О ' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [ х ' ' ] - її нові координати.

2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):

х= х ' cos a - у ' sin a ; y= x ' sin a + y ' cоs a ,

де (х,у) - старі координати точки, '' ] - її нові координати, a - кут повороту.

3. Відстань між точками 11 ) і 22 ) :

d=

4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями 11 ) і 22 ) в даному відношенні l:

x= y= .

При l=1, маємо координати середини відрізка:

х =у =.

5. Площа трикутника з вершинами 11 ), (х22 ) і 33 ) :

S =.

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

у=кх+в,

де к= tg j (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох ,

в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу .

7. tg q = - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/ .

Умова паралельності прямих: к/ .

1

24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в :

x=a cos t, y=b sin t.

25. Параметричні рівняння циклоїди:

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) .

II. Диференціальне числення функцій

однієї змінної.

1. Основні теореми про границі:

а)

б)

Зокрема,

в)

2. Чудові границі:

а) б)

3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:

lg x= М ln x, де М= lg e=0,43429…

4. Приріст функції у= f(x), що відповідає приросту аргументу х :

5. Умова неперервності функції у= f(x) :

Основна властивість неперервної функції:

6. Похідна

Геометрично y / = f / (x) - кутовий коефіцієнт дотичної до

4

XI. Подвійні та потрійні інтеграли.

1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y) , розповсюдженим на область S , називається число:

, (1)

де і , уі ) є D Si ( і=1, 2,… n) і d – найбільший діаметр комірок D Si .

Якщо f(x, y) ³ 0 , то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) .

2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a £ x £ b , y1 (x) £ y £ y2 (x) ,

де y1 (x),y2 (x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:

.

3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r ,

де x=r cos j , y=rsin j має вигляд:

Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a £ j £ b , r1 ( j ) £ r £ r2 ( j ), то

4. Якщо r = r (х, у) – поверхнева густина пластини S , то її

маса є (2)

25

(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r =1 отримуємо формулу площі пластинки

5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:

,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки S.

6. Координати центра мас пластинки S визначаються за

формулами: , , (3)

де m – маса пластинки.

Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r =1 .

7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:

, ,

де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки.

8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V , називається число:

, (4)

де ( xi , yi , zi ) є D Vi (i=1, 2, 3,…n) , d – найбільший діаметр комірок D Vi .

Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V .

9. Об¢єм тіла V дорівнює: .

10. Якщо область інтегрування V визначається

26

Фокуси гіперболи F(c;0) і F/ (-c;0) , де с222

17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):

r= ± (Ex-a), r/ = ± (Ex+a),

де Е= - ексцентриситет гіперболи.

18. Асимптоти гіперболи (2):

у= .

19. Графік оберненої пропорційності

ху=с (с ¹ 0)

- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.

20. Канонічне рівняння параболи з параметром р :

у2 =2рх

Фокус параболи: F(p/2, 0) :рівняння директриси: х=-(р/2) ; фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2) .

21. Графік квадратного тричлена

у=Ах2 +Вх+С

- вертикальна парабола з вершиною

22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у :

r tg j =

Прямокутні координати точки з полярними координатами

r і j .

x= r cos j , y= r sin j .

23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)

3

f ¢ / (x0 )=0 або f ¢ / (x0 ) не існує.

б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0 :

1) f ¢ / (x0 )=0, f ¢ / (x0 -h1 )f ¢ / (x0 +h2 )<0 при довільних досить малихh1 >0 і h2 >0 , або

2) f ¢ / (x0 )=0, f ¢¢ / (x0 ) ¹ 0

12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f ¢¢ / (x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f ¢¢ / (x)<0.

- Необхідна умова точки перегинy графіка функції

y=f(x) при x=x0 : f ¢¢ / (x0 )=0 або f ¢¢ / (x0 ) не існує.

- Достатня умова точки перегину при х=х0 :

f ¢¢ (x0 )=0, f ¢¢ / (x0 -h1 )f '' (x0 +h2 )<0 при будь-яких досить малих h1 >0, h2 >0.

13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [ a , b ] і f( a )f( b )<0, то корінь x рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:

а) (метод хорд)

б) , де f ¢ ( a ) ¹ 0; f( a )-f ¢ ( a )>0 (метод дотичних).

14. Диференціал незалежної змінної х : dx= x . Диференціал функції у= f(x):dy=y ¢ dx . Зв’язок приросту y функції з диференціалом dy функції:

y=dy+ a x , де a →0 при х→0 .

Таблиця диференціалів функцій .

1) dun =nun-1 du ; 7) d(ctg u)=-

2) dau =au ln a du (a>0); deu =eu du ; 8) d(arcsin u) =

3)d(loga u)= ; 9) d(arccos u)= -

6

№ п/п Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння Вигляд загального розв ¢ язку
1 Корені k1 i k2 дійсні і різні
2 Корені рівні k1 = k2
3 Корені комплексні k1 = a b k2 = a b

9. Таблиця 2 .

Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).

№ п/п Права частина f(x) Випадки Частинний розв ¢ язок

1

f (x)=aemx (a,m - сталі)

1) m2 +pm+q ¹ 0 ,

2) m2 +pm+q=0 :

a) p2 -4q>0 ,

b) p2 -4q<0 .

z=Aemx ,

---------

z=Axemx ,

z=Ax2 emx .

2 f(x)=Mcos w x+Nsin w x (M,N, w - сталі, w ¹ 0 )

1) p2 +(q- w 2 )2 ¹ 0 ,

2) p=0, q= w 2 .

z=Acos w x+Bsin w x,

z=x(Acos w x+Bsin w x)

3

f(x)=ax2 +bx+c

(a,b,c – сталі)

1) q ¹ 0,

2) q=0, p ¹ 0 .

z=Ax2 +Bx+C,

z=x(Ax2 +Bx+C).

A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.

Х.Криволінійні інтеграли.

1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y) , взятий по кусково гладкій кривій К :x=x(t) , y=y(t) (t є [ a , b ]) , дорівнює

(1)

Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) ( a £ x £ b ) , то

23

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К .

Якщо f(x, y ) є лінійна густина лінії К , то інтеграл (1) являє собою масу лінії К .

2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у) , взятий по кусково гладкому шляху К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]) , визначається за формулою:

(2)

Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [ a , b ] ) , то

.

Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К .

Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили

F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К .

3. Якщо виконується умова Х(х, у) dx+Y(x, y)dy=dU(x, y) , то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і

, (3)

де 11 ) – початкова точка шляху і 22 ) – кінцева точка шляху.

Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y) .

24

графіка функції у= f(x) в точці з абсцисою х .

Правила і формули диференціювання:

а) C ¢ =0; б) (U+V-W) ¢ =U ¢ +V ¢ -W ¢ ;

в) (CU) ¢ =CU ¢ ; г) (UV) ¢ =U ¢ V+V ¢ U;

д) е)

є) ; и) n ) ¢ = n xn-1 , x ¢ =1;

і) ( sin x ) ¢ =cos x; ї) ( cos x ) ¢ =-sin x;

й) ( tg x ) ¢ =sec2 x; к) ( с tg х ) ¢ =-cosec2 x;

л)м) x ) ¢ =ax ln a, (ex ) ¢ =ex .

н) rcsin x ) ¢ = o) (arccos x) ¢ = ;

п) ( arctg x ) ¢ = р) (arcctg x) ¢ =

7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:

f(x2 )-f(x1 )=(x2 -x1 )f ¢ / ( x ), де x є (х12 ).

8. Функія у= f(x) зростає, якщо f ¢ / (x)>0 ,і спадає, якщо f ¢ (x)<0 .

9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :

якщо границя з права існує.

10. Локальна формула Тейлора:

f(x)=f(x0 )+f ¢ / (x0 )(x-x0 )+…+

де f(n) (x) існує в деякому повному околі точки х0 .

11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0 :

5

6) .

7)

8)

9) .

10) .

11) .

12) де a ¹ 0 .

13)

14)

3. Основні методи інтегрування.

а) метод розкладу:

, де f(x)=f1 (x)+f2 (x)

б) метод підстановки: якщо x= j (t) , то

в) метод інтегрування частинами:

4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F ¢ (x)=f(x) , то

.

5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:

8

де , ( n=1, 2,… ) .

IX. Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X1 (x)Y1 (y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1 (х)=0 і У1 (у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 ,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u * x (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y ¢ +b(x)y+c(x)=0

можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u * v ,

де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння

a(x)y ¢ +b(x)y=0 , а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y ¢¢ =f(x) , то загальний розв¢язок:

;

б) якщо y ¢¢ =f(у) , то загальний інтеграл:

;

в) якщо y ¢¢ =f(у ¢ ) , то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у ¢ .

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у ¢¢ = f(x, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(х) , отримуємо:

;

б) якщо у ¢¢ = f(у, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(у) , отримуємо:

.

6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=0 має вигляд

у=С1 у12 у2 ,

де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв¢язки.

7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=f(x) має вигляд ,

де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1 .

Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2 +pk+q=0 .

22

(a>0,a ¹ 1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du ; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du ; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f ¢ (u)du .

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+ x)-f(x) » f ¢ (x) x

16. Диференціал другого порядку функції у= f(x) , де х - незалежна змінна ( d2 x )=0 :

d2 y=у '' dx2 .

III. Інтегральне числення.

1. Якщо dy=f(x)dx , то y= (незвичайний інтеграл).

2. Основні властивості незвичайного інтеграла:

а)

б) в) (А¹0)

г)

Таблиця найпростіших невизначених інтегралів .

1) ( m ¹ -1 ) .

2) , (при х < 0 i при x >0 ).

3) ;

4) (a >0, a ¹ 1 ) .

5) .

7

де h=(b-a)/n, x0 =a, xn =b, y=f(x), yi =f(x0 +ih), (i=0,1,2,…,n) .

11. Формула Сімпсона:

де h=(b-a)/2.

12. Невласний інтеграл:

13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у= f(x) (f(x) ³ 0) , віссю Ох і двома вертикалями х=а , х= b (a<b) : .

14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r = f( j ) (r i j - полярні координати) і двома промінями j = a , j = b ( a < b ): .

15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х= b (a<b) :

.

16. Довжина дуги гладкої кривої r =f( j ) в полярних координатах j і r від точки j = a до точки j = b ( a < b ) :

,

17. Довжина дуги гладкої кривої х= j (t) y = y (t) , задано параметрично(t0 <T) :

18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x) :

10

9. Ряд Маклорена.

10. Розклад в степеневі ряди функцій:

а) , при ê x ú < 1 ;

б) ln(1+x) = , при –1 <x £ 1 ;

в) , при ê x ú £ 1 ;

г) , при ê x ú < + ¥ ;

д) ,

при ê x ú < + ¥ ;

е) , при ê x ú < + ¥ ;

ж) ,

при ê x ú < 1 .

11. Ряд Тейлора .

12. Ряди в комплексній області: .

13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд

19

також збігається (абсолютно).

14. Формули Ейлера: , .

15. Тригонометричний ряд Фур ¢ є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2 l має вигляд:

, (1)

де , ( n=0, 1, 2,… ) ;

, ( n=1, 2,… ) .

(коефіцієнти Фур¢є функції f(x) ). Для функції f(x) періоду 2 p маємо ,

де , ( n=0, 1, 2,… ) .

В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює

16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то

,

де , ( n=0,1, 2,… ) .

Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то

,

20

де і

6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):

а) ; б)

в) г)

д)

е)

ж)

7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b] , то

, де а <c<b .

8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:

де а= j ( a ), b = j ( b ) .

10. Формула трапецій: ,

9

z=r(cos j +isin j ) , де r= ê z ú ; j =Arg z

5. Теореми про модуль та аргумент:

а) ê z1 +z2 ÷ £ ê z1 ú + ê z2 ú ; б) ê z1 z2 ÷ £ ê z1 ú ê z2 ú ,

Arg z1 z2 =Arg z1 +Arg z2 ;

в) Arg =Arg z1 -Arg z2 ; (z2 ¹ 0) ;

г) ê zn ÷ = ê z ú n ; Arg zn =n Arg z (n - ціле).

6. Корінь з комплексного числа:

, (k =0,1,2,…, n-1 )

7. Показникова формула комплексного числа:

z = r ei j , деz = ê z ú , j = Arg z .

8. Визначник другого порядку:

.

9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х= D х/ D ; у= D у/ D (правило Крамера), де

.

10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х= D 1 t, y=- D 2 t, z= D 3 t; (- ¥ <t< ¥ ),

де -

мінори матриці .

12

3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у :

де dx= D x, dy= D y .

Якщо U = f(x, y, z) , то .

4. Малий приріст диференційованої функції:

5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l , заданому одиничним вектором {cos a , cos b } дорівнює:

.

Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і{cos a , cos b , cos g } – одиничний вектор напряму l, то

6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:

f ¢ х ( x, y, z )=0; f ¢ y ( x, y, z )=0; f ¢ z ( x, y, z )=0

7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор

Звідси .

8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G , то

17

(( x, y) є G) .

(ознака повного диференціалу.).

VIII. Ряди.

1.Основне означення: .

2. Необхідна ознака збіжності ряду:

якщо ряд збігається, то .

3. Геометрична прогресія: , якщо ê q ú < 1 .

4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).

5. Ознака Даламбера . Нехай для ряду ( Un >0 ) існує

Тоді: а) Якщо l < 1 , то ряд збігається;

б) Якщо l > 1 , то ряд розбігається, Un непрямує до 0 .

6. Абсолютна збіжність . Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).

7. Ознака Лейбніца . Якщо і при , то знакозмінний ряд V1 -V2 +V3 -V4 +… - збігається.

8. Радіус збіжності степеневого ряду а01 х+а2 х2 +… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.

18

.

19. Об’єм тіла обертання:

а) навколо осі Ох : ( a<b )

б) навколо осі Оу : ( c<d )

20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b] :

ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.

1. Комплексне число z=x+iy , де х= Re z, y=Im z - дійсні числа, і2 =-1.

Модуль комплексного числа:

Рівність комплексних чисел :

z1 =z2 Û Re z1 =Re z2 , Im z1 =Im z2

2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:

3. Арифметичні дії над комплексними числами z1 =x1 +iy1 , z2 =x2 +iy2 :

a)

б)

в) ( z2 ¹ 0 )

Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і , ú z ê 2 =z .

4. Тригонометрична форма комплексного числа:

11

V. Елементи векторної алгебри.

1. Сумою векторів , , є вектор .

2. Різницею векторів і є вектор , де

- - вектор, протилежний вектору .

3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0 , і протилежний до нього, якщо k < 0 .

4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).

Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l -скаляри)

5. Скалярним добутком векторів і є число

, де j = <( , ) .

Вектори і ортогональні, якщо * = 0 .

Якщо і , то .

6. Векторним добутком векторів і є вектор ,

де , , ( j = <(a,b) ) ,

причому а, b, с - права трійк.

Якщо і , то , де

i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.

7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с .

Якщо , , , то

14

.

VI. Аналітична геометрія в просторі.

1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z ) простору Оху z є:

x=rx , y=ry , z=rz , деr= - радіус-вектор точки М .

2. Довжина та напрям вектора а= {ax ,ay ,az } визначаються формулами: ;

cos a =ax /a; cos b =ay /a; cos g =az /a,

(cos2 a +cos2 b +cos2 g =1),

де cos a , cos b , cos g - напрямні косинуси вектора а .

3. Відстань між двома точками M1 (x1 ,y1 ,z1 ) i M2 (x2 ,y2 ,z2 ) :

.

4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} ¹ 0 , що проходить через точку M0 (x0 ,y0 ,z0 ) є N * (r-r0 )=0, …(1)

де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0 .

В координатах рівняння (1) має вид:

А(х-х0 )+В(у-у0 )+С( z-z0 )=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)

де D= -Ax0 -By0 -Cz0 (згальне рівняння площини).

5. Відстань від точки M1 (x1 ,y1 ,z1 ) до площини (2) дорівнює:

6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:

r=r0 +st (3)

15

де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0 {x0 ,y0 ,z0 } - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} ¹ 0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (- ¥ <t<+ ¥ ) .

В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:

.

7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)

Напрямним вектором прямої (4) є S=N * N ¢ , де N={A,B,C} , N ¢ ={A ¢ ,B ¢ ,C ¢ } .

8. Рівняння сфери радіуса R з центром ( x0 ,y0 ,z0 ) :

.

9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c :

.

10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О z :

x2 +y2 =2pz .

VII. Диференціальне числення функції

декількох змінних.

1. Умова некперервності функції z=f(x,y) :

,

або

Аналогічно визначається неперервність функції f ( x, y, z ) .

2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у :

16

11. Визначник третього порядку:

де - алгебраїчні

доповнення відповідних елементів визначника.

12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х= D х/ D ; у= D у/ D ; z= D z/ D ,

де

.

13. Розв’язок однорідної системи , якщо

знаходяться з підсистеми: .

13

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений09:13:31 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:18:00 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Умова перпендикулярності прямих

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151066)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru