Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

Название: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 15:48:48 27 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 41 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

з дисципліни: „Вища математика”

Розділ 6: „Диференціальні рівняння”

на тему:

„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Задача Коші.”


1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

1

дедійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо

Оскільки то

2

Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:

І. і дійсні і різні числа

ІІ. і комплексні числа);

ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при

.

Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою .

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції та. Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:

або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функціїта - розв’язки рівняння 1.Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції .

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

3

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв’язків :.

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

або

Оскільки- корінь рівняння 2, тоі за теоремою Вієта, тому і звідки де довільні сталі. Поклавши(нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

.

Приклад 1:

Розв’язати рівняння:.

Розв’язання :

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:

.

Приклад 2:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

.

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

4

де - задані дійсні числа, - задана функція неперервна на деякому проміжку .

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного

розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 5

де - дійсне число, - многочлен степеня .

Можливі такі випадки:

а) число не є коренем характеристичного рівняння

6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

, 7 де - невизначені коефіцієнти.

Справді, підставляючи функцію 7 в рівняння 4, після скорочення на дістанемо

8 де - многочлен степеня - многочлен степеня і - многочлени степеня .Таким чином зліва і справа в тотожності 8 стоять многочлени степеня .Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомих коефіцієнтів многочлена .

Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння 4 , залежно від виду правої частини цього рівняння;

б) якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

; 9

в) якщо число є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4 шукають у вигляді

.

Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

,

де- многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен ,а - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо .

ІІ. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 9.1

де - многочлен степеня , - многочлен степеня; -дійсні числа.

Частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

, 9.2

де многочленистепеня з невизначеними коефіцієнтами; - найвищий степінь многочленів тобто - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд

,

де- відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

,

де - невідомі коефіцієнти; - число коренів характеристичного рівняння 6 , які дорівнюють .

Приклад:

Розв’язати рівняння.

Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд .Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду,причому, то за формулою 7 частинний розв’язок шукаємо у вигляді,тобто, де А і В - знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

,

звідки .Отже частинний розв’язок даного рівняння має вигляд

, тому

шуканий загальний розв’язок.

Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.

Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівнянняn -го порядку

, 10 де - сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівнянняn-го степеня виду

11

де - невідоме дійсне чи комплексне число.

Рівняння 11 має nкоренів. Позначимо ці корені через .

Теорема: Кожному простому коренюрівняння 11 відповідає частинний розв’язок рівняння 10, а кожному кореню кратності відповідає ь частинних розв’язків виду .

Кожній парі простих комплексно спряжених коренів рівняння 11 відповідає два частинних розв’язки рівняння 10 , а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду

Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння 11 дорівнює , тому кількість всіх частинних розв’язків рівняння 10 , складених згідно з цією теоремою, дорівнює .тобто збігається з порядком рівняння 10 . Позначимо ці частинні розв’язки через Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно незалежними. І загальний розв’язок рівняння 10 знаходиться за формулою

. 12

Нехай задано неоднорідне рівняння -го порядку

13 де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння 13 є функція

де - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння 10, а - частинний розв’язок рівняння 13.

Побудову загального розв’язку рівняння10 з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку . Якщо права частина рівняння 13 є функція спеціального виду 9.1, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою 9.2. якщо права частина не є функцією виду 9.1, то для знаходження застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13 суть цього методу така.

Нехай функція 12 є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння 10. знаходимо частинний розв’язок рівняння 13 за тією ж формулою 12, вважаючи. Що величини - функції від , тобто покладемо

, 14 де - невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

розв’язуючи цю систему. Знаходимо похідні , а потім інтегруванням і самі функції . Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції в рівність 14 то матимемо частинний розв’язок рівняння 13; якщо у рівність 14 підставити функції, де - довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв’язок.

Приклад:

Розв’язати рівняння .

Характеристичне рівняння має корені . Згідно з теоремою маємо частинні розв’язки: . Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:

.

ПЛАН

1. Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Контрольні питання:

1. Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами ?

2. Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?

3. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні?

4. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні рівні?

5. Який вигляд має розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння комплексні?

6. Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?

7. Як знайти загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?

8. як знайти частинний і загальний розв’язки неоднорідного диференціального рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?


Література:

Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті . -.,2002.

Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений09:13:15 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:17:48 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами Задача Коші

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150895)
Комментарии (1842)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru