Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Дифференциация в процессе обучения математике

Название: Дифференциация в процессе обучения математике
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Добавлен 12:55:21 05 сентября 2010 Похожие работы
Просмотров: 97 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра педагогики

Выпускная квалификационная работа

Дифференциация в процессе обучения математике

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Жужгова К. А.

Научный руководитель:

к.п.н., доцент кафедры педагогики Капустина Н.М.

Рецензент:

к.псих.н., доцент кафедры практической психологии

Ершова Н.Н.

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________ 2005 г. Зав. кафедрой Т.В. Машарова

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров 2005

Содержание.

Введение………………………………………………………………………...

Глава 1. Теоретические основы дифференциации…………………………...

3

6

1.1. Сущность понятия дифференциации…………………………………

1.2. Возможности и пути использования дифференциации в учебном процессе…………………………………………………………………

Глава 2. Из опыта использования дифференциации в процессе преподавания математики…………………………………………...

2.1. Использование различных путей дифференциации в преподавании математики……………………………………………………………..

2.2. Анализ опытной работы по дифференциации обучения математике в 11 классе……………………………………………………………...

Заключение……………………………………………………………………..

Библиографический список…………………………………………………...

Приложения…………………………………………………………………….

6

14

26

26

35

48

50

54

Введение.

Под влиянием возрастающих требований жизни увеличивается объем и усложняется содержание знаний, подлежащих усвоению в школе. Но при традиционной системе обучения не каждый школьник способен освоить программу. По своим природным способностям, темпу работы и т.д. учащиеся сильно отличаются друг от друга. Нередко в одном классе можно наблюдать школьников как с очень высоким, так и с очень низким уровнем развития. Учитель обычно выбирает методы и формы обучения, ориентированные на среднего ученика. При этом слабым и сильным ученикам уделяется мало внимания. В этих условиях учащиеся с хорошими способностями работают без особого напряжения, а слабые учащиеся испытывают возрастающие затруднения.

В обучении математике эта проблема занимает особое место, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. Как показали многочисленные психолого-педагогические исследования, если уровнять многие факторы, влияющие на уровень усвоения новых знаний, а именно: обеспечить одинаковый исходный минимум знаний у всех учащихся, положительное отношение их к уроку, тщательно разработать методику введения нового материала, то, несмотря на равенство этих условий, новые знания будут усвоены по-разному. Одни школьники достаточно полно усвоят новое и могут применить его в новых, но сходных с учебной обстановкой условиях, требующих самостоятельного развития новых знаний (высший уровень усвоения). Другие усвоят существенные стороны нового понятия или закономерности и сумеют применить их к решению задач, близких к тем, которые разбирались в процессе объяснения нового материала (средний уровень усвоения). Наконец, будут и такие, кто вынес лишь отдельные, нередко несущественные стороны нового понятия или закономерности и не может применить их к решению даже простых задач (низший уровень усвоения). При этом потребуется различное количество упражнений и различная мера помощи со стороны учителя тем учащимся, которых предстоит довести до высшего уровня усвоения.

Следовательно, необходима такая организация учебного процесса, которая позволила бы учитывать различия между учащимися и создавать оптимальные условия для эффективной учебной деятельности всех школьников, то есть возникает необходимость перестройки содержания, методов, форм обучения, максимально учитывающая индивидуальные особенности учеников. И подходом, который учитывает эти особенности, является дифференциация. Исходя из этого, мною была выбрана тема выпускной квалификационной работы: «Дифференциации в процессе обучения математике».

Цель работы : теоретически обосновать и экспериментально проверить эффективность дифференциации в обучении.

Гипотеза : эффективность процесса обучения повысится, если будет использоваться дифференцированное обучение.

Объект исследования : процесс обучения.

Предмет исследования : дифференциация процесса обучения в школе.

Задачи работы ориентированы на реализацию цели и проверку гипотезы:

-провести теоретический, психолого-педагогический анализ проблемы дифференциации обучения;

-выявить эффективность дифференцированной системы обучения с помощью эксперимента, проведенного на уроках математики в 11 классе мсош п. Кордяга;

-раскрыть возможные пути и средства дифференциации в обучении математике.

При написании работы использовались следующие методы :

- изучение и анализ психолого-педагогической, учебно-методической и другой литературы, посвященной изучаемой проблеме;

- наблюдения;

- беседы;

- анкетирования;

- анализ контрольных и самостоятельных работ по математике;

- опытно-экспериментальная работа.

Глава 1. Теоретические основы дифференциации .

1.1. Сущность понятия дифференциации.

Личность каждого человека наделена только ей присущим сочетанием черт и особенностей, образующих её индивидуальность. Индивидуальность – это сочетание психологических особенностей человека, составляющих его своеобразие, его отличие от других людей. Индивидуальность проявляется в чертах темперамента, характера, привычках, преобладающих интересах, в качествах познавательных процессов (восприятия, памяти, мышления, воображения), в способностях, индивидуальном стиле деятельности и т.д. Нет двух людей с одинаковым сочетанием указанных психологических особенностей – личность человека неповторима в своей индивидуальности. Учет в обучении индивидуальных особенностей учащихся является важной психолого-педагогической задачей. В психологии и педагогике существует понятие «индивидуальный подход» - это психолого-педагогический принцип, согласно которому в обучении учитывается индивидуальность каждого ребенка как проявление особенностей его психофизиологической организации в ее неповторимости, своеобразии, уникальности.

Необходимость такого подхода в разные времена отмечали многие ученые-педагоги. Например, В.А. Сухомлинский считал, что в обучении детей «нужны особые меры, необходим тонкий, деликатный индивидуальный подход» [28,т1,с.92].

Необходимость учета индивидуальных особенностей учащихся влечет за собой вопрос: как все это осуществить организационно. В аристократической системе домашнего обучения, где обучение было индивидуальным, эта проблема могла возникнуть только в том смысле, способен ли учитель понимать индивидуальные особенности своего ученика. Для современного школьного обучения все гораздо сложнее: учеников много, а учитель один, поэтому очень сложно построить учебный процесс в соответствии с индивидуальными особенностями каждого ученика. Поэтому очень часто используется такой выход: выделяются отдельные группы учащихся, обучение которых строится по-разному. Каждая группа учеников, имеющая сходные индивидуальные особенности, идет своим путем. В этом случае речь идет о дифференцированном обучении.

В 60-е годы XX века дифференцированное обучение применимо к общеобразовательной школе понималось как разделение школьных планов и программ в старших классах. В дальнейшем это понятие стало рассматриваться гораздо шире, но и здесь имеются различные подходы.

Например, И.Э.Унт подразумевает под дифференциацией учет индивидуальных особенностей в той форме, когда «учащиеся группируются на основании каких либо особенностей для отдельного обучения; обычно обучение в этом случае происходит по несколько различным учебным планам или программам»[30]. Примерно так же истолковывает это понятие и Е.С.Рабунский [24].

Гораздо шире рассматривает дифференцированное обучение И.М.Чередов. Он включает в это понятие не только обучение по различным планам и программам, но и «такой процесс обучения на уроках, который предполагает глубокое изучение индивидуальных особенностей учащихся, их классификацию по типологическим группам и организацию работы этих групп над выполнением специфических учебных заданий, которые способствуют их умственному и нравственному развитию» [34].

Проблема дифференциации обучения принадлежит к традиционным для педагогики. В разное время эту проблему исследовали в своих работах различные авторы: А.А Бударный[5], З.И. Калмыкова[12,13,14], Е.С. Рабунский[24], И.Э.Унт[30], И.М. Чередов[34,35,36], Н.М. Шахмаев[38], и др. Их исследования показали эффективность и целесообразность дифференцированного обучения. Е.С. Рабунский считает, что «процесс обучения в условиях дифференциации становится максимально приближенным к познавательным потребностям учеников, их индивидуальным возможностям» [24]. И.М. Чередов отмечает, что «при дифференцированном обучении создаются оптимальные условия для активной деятельности всех учащихся, обеспечивающие возможность продуктивного усвоения и переработки наибольшего количества информации » [34].

В ХХ веке в практике школ опробованы различные виды дифференциации обучения, среди них – дифференциация по способностям. На основании учета успеваемости в предыдущем классе учащиеся распределялись на несколько групп. Такое деление предполагалось ежегодным. Другой разновидностью дифференциации была дифференциация по интеллекту на основе интеллектуальных тестов. Третьей разновидностью являлась дифференциация обучения по неспособностям. Она состояла в том, что учащиеся, не успевающие по отдельным учебным предметам помещались в классы, в которых эти предметы изучались на пониженном уровне и в меньшем объеме. В 60-70-е гг. появилась такая форма организации дифференциации обучения как специализированные школы с углубленным изучением отдельных учебных предметов. Такие школы существуют и сейчас. Пример такого учебного заведения в городе Кирове – средняя школа № 28.

В настоящее время выделяются два основных типа дифференциации обучения: внешняя дифференциация и внутренняя.

Внешняя дифференциация характеризуется следующим:

- Созданием однородных групп учащихся по способностям, интересам, склонностям;

- Организацией в этих группах однородной среды, предметно и социально жестко ориентированной (изучение отдельных предметов, их циклов, ориентация на подготовку в вуз с гарантией поступления в него и т.п.).

Внешняя дифференциация реализуется в организации работы профильных классов, факультативов, гимназий и лицеев.

Внутренней дифференциации в отличие от внешней присущи следующие черты:

- Создание смешанных (разнородных) классов, где детей изначально не разделяют по способностям

- Учет индивидуально - типологических особенностей детей осуществляется в специально созданных группах внутри класса; разделение на группы может быть явным или неявным, состав групп меняется в зависимости от поставленной учебной задачи.

Следует особо отметить уровневую дифференциацию как один из видов внутренней дифференциации. Впервые идея уровневой дифференциации была высказана в концепции дифференцированного обучения, разработанной РАО[20,c.42-47]. В соответствии с ней уровневая дифференциация « предполагает такую организацию обучения, при которой школьники, обучаясь по одной программе, имеют право и возможность усваивать ее на различных планируемых уровнях, но не ниже уровня обязательных требований». Уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения: явном выделении уровня обязательной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Сообразуясь с ними и, учитывая свои способности, интересы, потребности, ученик получает право и возможность выбирать объем и глубину усвоения учебного материала, варьировать свою учебную нагрузку.

В основе дифференцированного обучения лежит учет психологических особенностей учащихся, а именно таких, которые влияют на их учебную деятельность и от которых зависят результаты учения. Это такие особенности как память, внимание, воображение, мышление, способности. Таких особенностей очень много, поэтому возникает вопрос: какие из них надо учитывать в первую очередь. Принцип индивидуального подхода в дидактике предполагает учет таких особенностей учащихся, которые влияют на его учебную деятельность и от которых зависят результаты учения. Существует много типологий особенностей, разработанных различными учеными. Например, Ю.К. Бабанский определяет следующие критерии для определения учебных возможностей учащихся и последующего разделения их на группы:

- Уровень развития психических процессов и свойств в мышлении и в первую очередь умение выделять существенное в изучаемом, а также самостоятельность мышления школьников;

- Сформированность навыков и умений учебного труда и, прежде всего, умение рационально планировать учебную деятельность, осуществлять самоконтроль в учении и выполнять в должном темпе основные учебные действия;

- Отношение к учению, ведущие интересы и склонности;

- Идейно-нравственная воспитанность, осознание необходимости учебной дисциплины, настойчивость при выполнении учебных требований;

- Работоспособность;

- Образовательная подготовленность по ранее пройденному материалу [4].

Другой ученый Е.С. Рабунский – к особенностям учащихся, которые в первую очередь следует учитывать, относит:

- Уровень успеваемости учащихся, который, прежде всего, соответствует качеству выполнения ими учебных заданий. Учитель с помощью школьной отметки устанавливает уровень знаний и навыков учащихся согласно требованиям учебной программы, а также относительный уровень умений – в соответствии с известными учителю алгоритмами усвоения и применения знаний;

- Уровень познавательной самостоятельности. Познавательная самостоятельность в широком смысле слова – это готовность школьника к самообразованию, это результат всей учебно-воспитательной работы в школе. В структуру познавательной самостоятельности входят знания, навыки, способности, мотивы учения;

- Интересы, которые по принципу действенности можно условно подразделить на три уровня:

1) Нулевой уровень характеризуется отсутствием интереса к предмету, такие учащиеся учатся, как правило, по принуждению;

2) Потенциальный интерес к предмету характеризуется обычно положительным отношением к учению, любознательностью, желанием и отдельными попытками преодолеть трудности в учебной деятельности;

3) Действенный интерес характеризуется осознанной устойчивой познавательной направленностью ученика, основанной на глубокой потребности самостоятельно добывать знания, овладевать навыками, умениями [24].

А.А.Бударный берет за основу по преимуществу способность к учению и трудоспособность, при этом все-таки подчеркивается, что необходимо учитывать личность ученика в целом – его интересы, отношение к учебе, эмоциональные и волевые качества [5].

И.Э.Унт выделяет следующие особенности:

- Обучаемость, т.е. общие умственные способности (в том числе креативность), а также специальные способности;

- Учебные умения:

- Обученность, которая состоит как из программных, так и внепрограммных знаний, умений и навыков;

- Познавательные интересы (на фоне общей учебной мотивации) [30].

Сопоставив мнения различных исследователей, о том, какие особенности учащихся нужно учитывать в первую очередь при осуществлении дифференцированного подхода, можно сделать вывод, что очень важным для успешной организации обучения является уровень умственного развития, составляющими которого являются обучаемость и обученность.

Понятие «обучаемость» разработала психолог З.И. Калмыкова. Под обучаемостью понимают «систему интеллектуальных свойств личности, формирующихся качеств ума, от которых зависит продуктивность учебной деятельности»[13]. Среди слагаемых обучаемости – обобщенность мыслительной деятельности, экономичность, самостоятельность мышления, гибкость мыслительных процессов и т.д. Исследования подтвердили существование как общей обучаемости (общей способности к учению), так и специальной (способности к изучению какого-то учебного предмета).

Кроме обучаемости уровень умственного развития учащегося определяют также и знания, умения и навыки, или обученность. Умственные способности представляют собой потенциальные возможности, предпосылки для учения, знания же являются содержательной базой для реализации способностей. Учащиеся с высоким уровнем знаний, умений и навыков усваивают новый учебный материал значительно легче, чем те, у кого этот уровень низок.

Кроме того, ученые отмечают, что в процессе обучения необходим учет познавательных интересов. Под познавательным интересом к предмету понимают избирательную направленность психических процессов человека на объекты и явления окружающего мира, при которой наблюдается стремление личности заниматься определенной областью деятельности. Познавательные интересы в процессе обучения учитываются как с целью повышения мотивации активной работы, так и с целью углубления имеющихся интересов и формирования новых.

Учет вышеперечисленных показателей важен для всех учащихся. В отдельных случаях к этим особенностям добавляются и такие факторы, которые в отношении данного ребенка оказывают специфическое влияние на учебную деятельность (особенно важны среди этих факторов домашние воспитательные условия). Кроме психологических факторов на учебный процесс свое влияние оказывает и состояние здоровья ребенка. Болезни, в зависимости от их характера, оказывают на учащихся временное или постоянное отрицательное воздействие – снижают его трудоспособность. Различные физические дефекты (расстройство зрения, слуха, задержки в умственном развитии) делают невозможным нормальный процесс учебно-познавательной деятельности и обусловливают необходимость в специальном обучении.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что дифференциация – это такая система обучения, которая ставит своей целью создание оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей; она характеризуется формированием групп учащихся, сходных по какому-либо комплексу качеств, среди которых основными являются обучаемость, обученность, познавательный интерес; кроме того, имеется ряд специфических факторов (состояние здоровья, домашние воспитательные условия и т. д.).


1.2 Возможности и пути использования дифференциации в учебном процессе.

В настоящее время появились различные учебные заведения нового типа (гимназии, лицеи, колледжи и.т.д.), в организации работы которых реализуется внешняя дифференциация. В таких образовательных учреждениях создаются более благоприятные, чем в обычных школах условия для учета учебных возможностей школьников. Но все же большинство ребят школьного возраста учатся в обычных средних школах. Поэтому возникает вопрос: как можно осуществить дифференциацию обучения в обычной школе.

Основной формой организации обучения в современной школе является урок, который характеризуется разнообразием способов организации учебной деятельности. Выделяют следующие формы учебной работы на уроке:

- фронтальная;

- групповая;

- индивидуальная.

Выясним, какие возможности для дифференциации предоставляет каждая форма работы.

При фронтальном обучении педагог управляет учебной деятельностью всего класса, который работает над единой задачей. Он осуществляет прямое идейно-эмоциональное воздействие на коллектив учащихся, организует их сотрудничество, определяет им единый темп работы. Однако фронтальная форма организации обучения не рассчитана на учет индивидуальных различий школьников. Взятый темп урока слабым учащимся может показаться высоким, а сильным – низким. По этой причине слабые учащиеся уйдут с занятия, не усвоив учебный материал. Сильные же недостаточно расширят и углубят знания.

Характеризуя вторую форму учебной работы – групповую, нужно отметить, что еще К.Д.Ушинский, рассматривая вопросы организации учебного процесса в школах, рекомендовал делить класс на группы для того, чтобы давать всем детям задания в соответствии с их подготовкой. Он писал: «Такое деление класса на группы, из которых одна сильнее другой, не только не вредно, но даже полезно, если наставник умеет, занимаясь с одной группой сам, дать двум другим полезное самостоятельное упражнение» [33].

Что же такое групповая работа? По определению Х.И.Лийметса, под групповой работой мы понимаем «такое построение работы, где класс делится для выполнения того или иного задания на группы по 3-8 человек – чаще всего по 4 человека. Задание дается группе, а не отдельному ученику» [17].

Исследователи отмечают, что в малой группе учащийся находится в более благоприятных, чем при фронтальной работе всем классом условиях в отношении возможности действовать в соответствии со своей индивидуальностью. В беседе внутри малой группы он может высказывать свое мнение, активнее участвовать в решении учебных задач в соответствии со своими интересами и способностями.

И.М.Чередов подразделяет групповую форму учебной работы на звеньевую, бригадную, кооперированно-групповую и как особую разновидность групповой формы обучения, которая предполагает организацию работы групп учащихся с разными учебными возможностями, выделяет дифференцированно-групповую форму [34]. Она позволяет, зная индивидуальные особенности каждого ученика (уровень подготовки, развития, особенности мышления, памяти, интерес к предмету и т.д.), определить для него наиболее целесообразный и эффективный характер работы на уроке.

Дифференцированно-групповая работа предполагает организацию работы групп с разными учебными возможностями, поэтому возникает следующий вопрос: как сгруппировать учащихся для работы на уроке? Наиболее сложной и в то же время основной проблемой становится выбор тех свойств учащихся, на основе которых их группируют. В педагогической литературе часто ограничиваются выражениями «сильный», «средний» и «слабый» ученик, не уточняя, в каком отношении он силен или слаб. Как уже указывалось выше, разные ученые берут разные критерии за основу группировки учащихся. Например, Е.С.Рабунский исходит из уровня успеваемости, степени познавательной самостоятельности и из активного интереса к учебе. А.А.Бударный берет за основу способность к учению и трудоспособность. Но все же неясно, в какой мере при такой группировке учитывается то или иное свойство ученика.

Фактически все сводится к одному вопросу: что считать существенным при группировке учащихся – уровень их знаний или способностей, особенно если речь идет об учениках, у которых эти свойства не согласуются. В какую группу поместить учащихся, которые занимаются довольно хорошо, но которые не в состоянии выполнить задания труднее обычных, а также таких учеников, которые успешно выполняют задания, требующие сложных мыслительных операций, но чей уровень знаний при этом остается средним или даже ниже среднего?

И.Э.Унт решает этот вопрос таким образом - создаются разные группы в зависимости от того, каких свойств ученика данные задания больше требуют – умственных способностей или уровня знаний [30]. Здесь следует отметить, что в групповой работе распространено деление учащихся на две категории по способу работы:

- работа с относительно стабильными группами;

- работа с нестабильными группами.

В случае каждого способа работы можно создать группы различного состава.

Первый способ в организационном отношении более удобен для учителя и экономичен по времени, поскольку каждый ученик знает, в какую группу он входит. Учителю стоит лишь назвать номер группы, чтобы ученики могли приступить к работе. Однако этот способ не такой гибкий при учете индивидуальных способностей учащихся. И наоборот, второй способ неудобен в организационном отношении и требует больше времени (учитель должен всякий раз назначать, кто какое задание выполняет), но он более гибкий при учете индивидуальности ученика, поскольку в каждом конкретном случае можно учитывать существенные для данной работы индивидуальные особенности. Учитель должен выбрать для себя наиболее приемлемый способ работы.

Дифференцированно-групповая форма работы требует от учителя тщательного изучения индивидуальных особенностей учеников, правильного определения их учебных возможностей. Знание этих возможностей позволяет подбирать оптимальные условия для развития каждого школьника. Среди особенностей учащихся, которые необходимо учитывать при организации дифференцированного обучения, доминируют обученность, обучаемость и познавательный интерес, поэтому остановимся подробнее на проблемах диагностики этих качеств.

Основным методом диагностики уровня обучаемости в педагогике долгое время был обучающий эксперимент, с помощью которого прослеживается проявление способностей в процессе усвоения нового материала. Так, например, З.И.Калмыкова рекомендует для диагностики умственных способностей обучающий эксперимент, в ходе которого учащиеся выполняют задания проблемного характера [12]. Подобную же методику использовал и В.А.Крутецкий при исследовании математических способностей [16]. В своих позднейших исследованиях З.И.Калмыкова выработала методику оценки умственных способностей учащихся, когда оценочные суждения определяются тем, в какой степени школьники оказываются способны самостоятельно проработать новый учебный материал.

Другим основным методом диагностирования уровня обучаемости учащихся является метод тестирования. В этом случае учащимся предъявляются задания, не связанные с учебным материалом. Их выполнение требует участия различных познавательных процессов. По качеству выполнения предложенных заданий и определяется уровень обучаемости учащихся.

Что касается специальной обучаемости (способности к изучению какого-то учебного предмета), ее диагностика осуществляется аналогично общей обучаемости – с помощью обучающего эксперимента и тестов. Для диагноза специальных способностей используется такой вид учебной деятельности, который предполагает наличие соответствующих способностей; например, решение математических задач дает примерное представление относительно соответствующих способностей у учащегося.

Изучив учащихся с помощью выделенных методик, учитель определяет уровень обучаемости каждого ученика.

Высший уровень обучаемости отличает тех ребят, которые свободно анализируют материал, выделяя существенные признаки, быстро обобщают, абстрагируют, легко выводят новые понятия, имеют прочные навыки планирования, самоконтроля, обладают способностью свободно совершенствовать разные учебные операции.

Высокий уровень обучаемости наблюдается у тех учеников, которые испытывают некоторые затруднения только при анализе материала с весьма сложной структурой, во всех других ситуациях свободно отделяют существенные признаки от несущественных, в большей части обладают самостоятельностью мышления, сформированными умениями планирования, навыками самоконтроля, свободно совершают разные учебные операции.

Средний уровень обучаемости наблюдается у тех школьников, которые испытывают трудности в анализе материала, в выделении существенных признаков, но с помощью учителя справляются с заданием; такие ученики зачастую не отличаются самостоятельностью мышления, слабо владеют учебными умениями и навыками, не умеют рационально планировать, осуществлять самоконтроль.

Наконец, низкий уровень обучаемости характеризует тех учеников, которые испытывают большие трудности в анализе материала, выделении существенных признаков понятий, обобщении, абстрагировании, слабо владеют или совсем не владеют умениями и навыками умственного труда.

Помимо обучаемости учитель также должен определить уровень обученности учеников. Одним из ориентиров для определения уровня обученности учащихся являются оценки, выставленные за ранее изученный материал в классных журналах. Для более точного определения этого качества необходимо тщательно наблюдать за учебной деятельностью школьников, проводить с ними диагностирующие работы. Одним из наиболее эффективных и удобных методов диагностики являются предметные тесты. Они состоят из коротких заданий, на которые учащийся должен реагировать или составлением ответа (что часто представляет собой заполнение пробелов), или комбинированием предложенных ему готовых ответов (выбор правильного ответа, объединение подходящих элементов, суждение о правильности представленных ответов и т.д.).

Пригодность предметных тестов для диагностики знаний вытекает из того, что этот вид контроля дает возможность составлять вопросы в объеме всего предметного курса, к тому же результаты их хорошо сравнимы между собой.

Чтобы определить общий уровень обученности школьников, можно воспользоваться следующими критериями. Высший уровень обученности отмечается у тех учеников, которые в любой ситуации учебного процесса демонстрируют высокие знания ранее изученного материала, свободно ими пользуются при анализе нового материала для выделения существенных признаков, обобщения, выведения новых понятий, усвоения новых знаний. Высокий уровень у тех учащихся, которые в большей части учебных ситуаций показывают высокие знания, свободно на них опираются при анализе нового материала, выведении понятий, усвоении знаний. Те ученики, которые не всегда располагают определенным фондом действенных знаний при анализе нового материала, испытывают затруднения при выведении новых понятий, обладают средним уровнем обученности. Низкий уровень характеризует тех школьников, которые, имея ограниченный фонд действенных знаний, не могут успешно анализировать новый материал, выводить новые понятия, закономерности.

Для изучения познавательных интересов наиболее распространенными методами являются наблюдение, беседа, сочинения и анкеты. Для изучения интересов используется и диагноз знаний. При этом исходят из факта, что ученик, интересующийся какой-либо областью знаний, обладает здесь значительно большими знаниями. Так, например, диагноз предварительных знаний можно использовать и для изучения интересов.

Г.И.Щукина в своих исследованиях подразделяет учеников по характеру познавательных интересов на три категории [39].

Школьники с высоким уровнем развития познавательных интересов отличаются высокой самопроизвольной познавательной активностью. Они проявляют интерес к сущности явлений, всегда стремятся разобраться в трудных вопросах. Поэтому интенсивно и с увлечением самостоятельно работают. Особенно с большим желанием решают сложные задачи, любят преодолевать трудности.

Ученики со средним уровнем развития интереса, по мнению Г.И.Щукиной, проявляют познавательную активность при побуждении учителя. Они интересуются только информацией, дающей определенные факты, описание, сущность же явлений выясняют только с помощью учителя. Проявляют интерес к самостоятельной работе в зависимости от ситуации при наличии побуждений извне. Эти ученики трудности преодолевают при помощи учителя.

Школьники с низким уровнем познавательного интереса отличаются познавательной инертностью. Они демонстрируют эпизодический интерес к эффектным и занимательным сторонам явлений при полном отсутствии его к их сущности. Эти дети отличаются мнимой самостоятельностью в работе, часто отвлекаются при затруднениях, пасуют, их характеризует полная бездеятельность.

Учитель, выбрав для себя наиболее приемлемые методы диагностики, определяет учебные возможности школьников, относит каждого ученика к той или иной типологической группе и осуществляет обучение, ориентируясь на это деление.

Третья форма учебной работы на уроке – индивидуальная – представляет собой такую организацию обучения, где каждый ученик работает самостоятельно, проявляя инициативу. Темп работы зависит от учебных возможностей и подготовленности учащегося. Дифференциацию обучения здесь можно осуществить с помощью индивидуализированной самостоятельной работы. Она состоит в том, что учащимся даются не одинаковые задания, а задания, которые варьируются в зависимости от особенностей учащихся. Преподаватель предлагает задания соответствующего типа каждой группе учеников. Определив группам задания разных типов, преподаватель наблюдает за самостоятельной работой учеников. Особенно внимательно он следит за учащимися с низкими учебными возможностями. В необходимых случаях приходит им на помощь. Он должен иметь в виду, что эти ученики с робостью берутся за выполнение задания, у них нет полной уверенности в том, что они сумеют это сделать.

Рассмотрим, как дифференциация может включаться в процесс обучения.

При формировании знаний работа может быть организована следующим образом. Преподаватель сначала излагает материал всем. Затем ученикам с высокими учебными возможностями предлагает работать с другими источниками знаний, а с остальными разбирает материал вторично, уточняя отдельные моменты, еще раз аргументируя основные положения. На этом этапе ученики со средними и низкими учебными возможностями, отвечая на вопросы учителя, обобщают и систематизируют знания. Ученики с высокими учебными возможностями, отличающиеся познавательной самостоятельностью, расширяют и углубляют знания.

Самые широкие возможности для дифференциации предоставляет этап закрепления и применения знаний. На этом этапе урока необходимы прежде всего групповые занятия учащихся, в ходе которых они бы выполняли конкретные задания, соответствующие их учебным возможностям. Задания в зависимости от уровня группы различны по трудности и по количеству. Работа в группах происходит следующим образом: ученики знакомятся с заданием, все приступают к его выполнению. Если результат у всех одинаковый, то выполняют другое задание. Если кто-то получил другой результат, чем другие, он должен объяснить, как его нашел и по возможности найти ошибку. При необходимости ему помогают. Если получено несколько разных ответов, то все члены группы еще раз анализируют процесс решения, а за этим следует общий анализ. Если какая-либо группа испытывает трудности, учитель включается в ее работу и руководит обсуждением. Таким образом, учитель больше внимания может уделить ученикам, чем в рамках фронтальной работы.

Много возможностей для дифференциации на этапе закрепления и применения знаний имеется и у индивидуализированной самостоятельной работы.

При организации индивидуализированной самостоятельной работы учитель может руководствоваться следующими схемами:

Схема 1:

1) Общие задания;

2) Дополнительные задания более быстрым и сильным ученикам.

Схема 2:

1) Общие задания;

2) Разветвленные задания

- более легкий вариант

- средний вариант

- более трудный вариант.

Схема 3:

Разветвленные задания

- более легкий вариант

- средний вариант

- более трудный вариант.

Схема 4:

1) Разветвленные задания

- более легкий вариант

- средний вариант

- более трудный вариант.

2) Общие задания.

Использование схемы 1 целесообразно при изучении такой новой темы, которая содержит много нового учебного материала и поэтому заставляет быть в напряжении не только слабых, но и сильных учеников. Схема учитывает различный темп продвижения учащихся и в заключение предлагает дополнительные задания более быстрым ученикам.

Схема 2 эффективна тогда, когда не представляется целесообразным заставлять всех учеников в полном объеме выполнять общие задания, поскольку это оказалось бы для части учеников слишком легким, а для части – слишком трудным. Схема приемлема, например, в том случае, когда новый материал содержал элементы повторения или когда имеют дело с упражнениями после прохождения теоретических основ темы.

Схема 3 используется тогда, когда подготовка и способности учащихся настолько различны, для усвоения нового материала, что общие задания не могут обеспечить развивающей деятельности для большинства учеников. Такое положение типично для повторения, а также в случае слишком различных предшествующих знаний.

Схема 4 целесообразна в том случае, когда между учащимися наблюдаются большие различия в таких предварительных знаниях, которые необходимы для изучения нового учебного материала. В таком случае разветвленные задания подготавливают восприятие и понимание новой темы, а их выполнение способствует переходу к общим заданиям.

Кроме того, можно использовать различные комбинации этих схем.

Эффективным средством для учета интересов и способностей школьников являются и дифференцированные домашние задания, которые могут быть направлены на дальнейшее изучение нового материала, на закрепление и проверку знаний, умений и навыков учащихся. Например, домашние задания могут включать в себя задания по написанию рефератов (для сильных учащихся) с последующим выступлением на кружке, факультативе, внеклассном мероприятии. При изучении математики можно предлагать учащимся для домашнего решения задачи разного уровня сложности, разное количество задач.

Это некоторые из способов реализации дифференциации в процессе обучения. Число и разнообразие этих способов зависит от творческой направленности и фантазии учителя, от его индивидуальных склонностей, педагогического мастерства, от умения работать сразу со всем классом, и с отдельным учеником в отдельности.


Глава 2. Из опыта использования дифференциации в процессе преподавания математики .

2.1 Использование различных путей дифференциации в преподавании математики.

В связи с необходимостью учета индивидуальных особенностей учащихся поиск возможностей практической реализации дифференциации в школе является важной задачей для педагогов. Разработка путей использования дифференциации на разных этапах обучения математике ведется многими учителями-математиками. С результатами некоторых исследований можно познакомиться с помощью периодических изданий, в которых педагоги делятся своим опытом. Так, например, Е.С.Тимощук исследует возможности применения дифференциации на этапе закрепления знаний. Его статья, опубликованная в журнале «Математика в школе» посвящена проблеме дифференцированной помощи учащимся при решении задач[29].

На основе своего опыта, автор данной статьи выделяет 3 группы учащихся в соответствии с уровнем сформированности у них умений по решению задач.

Учащиеся первой группы имеют пробелы в знаниях программного материала, искажают содержание теорем в применении их к решению задач, самостоятельно могут решить задачи в один-два шага, решение более сложных задач начинают со слепых проб, не умеют вести целенаправленный поиск решения, не могут найти связи между данными и искомыми величинами, часто пропускают обоснование гипотез, сформулированных в ходе попыток решения, и не понимают необходимости их проведения, не видят существенных зависимостей и ключевых моментов в решении задач.

Эта общая характеристика не исключает различных индивидуальных особенностей учащихся, входящих в первую группу. Здесь могут быть учащиеся, имеющие пробелы в знаниях и отставание в развитии вследствие частых пропусков уроков по болезни, в силу систематической плохой подготовки к урокам. Вместе с тем эту группу составляют учащиеся, относящиеся к разным уровням обучаемости.

Учащиеся второй группы имеют достаточные знания программного материала, могут применить их при решении стандартных задач. Затрудняются при переходе к решению задач нового типа, но, овладев методами их решения, справляются с решением аналогичных задач; не справляются самостоятельно с решением сложных (нетиповых) задач. У этих учащихся не сформированы эвристические приемы мышления, они с большим трудом могут сформулировать гипотезу относительно конечной цели и промежуточных подцелей в процессе поиска решения задачи.

Третью группу составляют учащиеся, которые могут сводить сложную задачу к цепочке простых подзадач, выдвигать и обосновывать гипотезы в процессе поиска решения задач, переносить прежние знания в новые условия. Эти учащиеся быстро и легко обобщают методы решения классов однотипных задач.

Автор статьи не согласен с мнением отдельных учителей о том, что учащиеся первой группы должны решать только простые задачи, объясняя это тем, что обычные способы решения затормаживают мышление, следовательно, тормозят развитие. Поэтому все три группы наряду с простыми задачами должны решать сложные. Учащиеся всех трех групп могут решать одну и ту же сложную задачу, но мера помощи учителя каждой из групп будет разной. Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задач:

1) подготовки к решению;

2) поиска плана решения;

3) составления плана решения;

4) осуществления решения;

5) обсуждения найденного решения.

Учащимся третьей группы оказывается помощь лишь на втором и пятом этапах. Для учащихся второй группы может быть организована помощь на первом, втором и пятом этапах. Учащиеся первой группы нуждаются в помощи на всех этапах решения задачи, лишь постепенно помощь и контроль учителя ослабляются последовательно на четвертом, затем на третьем этапе решения (учащиеся переходят во вторую группу).

На некоторых этапах учитель организует помощь учащимся разных групп, например, на первом этапе – учащимся первой и второй групп. С учащимися первой группы рекомендуется вспомнить необходимый теоретический материал, порешать подзадачи, к которым сводится исходная задача (часть из них может быть решена устно), решить аналогичную, более простую задачу с целью выявления метода решения.

Учащиеся второй группы решают предварительно ключевую подзадачу в процессе подготовки к решению основной задачи. Затем учитель помогает им свести исходную задачу к уже решенной продуманной системе вопросов.

Такая система обучения позволяет даже слабому ученику перейти в дальнейшем в группу более высокого уровня, так как школьников учат не просто воспроизводить ход решения задачи, но и вести поиск в разных направлениях.

Вообще, работа со слабыми учащимися должна занимать очень важное место в обучении. Но несмотря на это, очень часто ученики, которые по каким-то причинам не усвоили материал, часто не получают никакой поддержки и помощи со стороны учителей. На этот факт обращает внимание Т.А.Косенкова - автор статьи «Из опыта работы со слабыми учащимися»[15]; при этом она делится отдельными моментами проведения уроков, особое внимание уделяя именно работе со слабыми учениками.

При подготовке к уроку учитель должен выписать формулы, отдельные фрагменты решения примеров, которые будут рассматриваться на уроке, теоремы, которые будут использованы во время урока, и начинать урок с их повторения – это так называемая актуализация прежних знаний. Ее можно проводить фронтально, у доски, вызывая учащихся по их желанию. В любом случае на повторение нельзя тратить более 5 минут, поэтому рассматриваемые вопросы необходимо заранее написать на доске или воспользоваться кодоскопом. Ответы учащихся не оцениваются отдельной оценкой, но учитываются в дальнейшем.

При проведении практических уроков по решению примеров, уравнений по темам «Производная», «Степень с рациональным показателем», «Решение тригонометрических, показательных, логарифмических и иррациональных уравнений» и др. (т.е. по темам, где на решение задания затрачивается немного времени) – учитель поступает следующим образом. Сначала решает уравнение определенного типа сам с подробным объяснением, потом вызывает к доске 5 человек (желающих): трех учащихся средних способностей, двух послабее. Каждому дается свое задание, подобное разобранному учителем (можно пользоваться тетрадью). Перед всем классом ставится задача: решить все записанные на доске примеры самостоятельно, не дожидаясь записей на доске (на оценку).

Автор статьи считает, что здесь очень часто учителя допускают ошибку – очень боятся поставить ученику хорошую оценку, так как примеры однотипные и не требуют большой сообразительности. «Но эта «жадность», - отмечает Т.А.Косенкова,- приводит к тому, что учащиеся становятся пассивными, равнодушными к предмету. Ведь если ученик систематически не занимается, то полученная случайно пятерка или четверка затеряется среди других оценок. Но в то же время хорошая оценка может пробудить уверенность в своих силах, самоуважение, желание лучше учиться, интерес к предмету».

Итак, 5 человек у доски 2-3 минуты пытаются решать задание самостоятельно, потом учитель начинает помогать каждому из них по очереди: сначала первый пример подробно разбирается и повторяется вместе с отвечающим, второй пример разбирается уже менее подробно и так до тех пор, пока все примеры будут решены.

После этого проводится самостоятельная работа: всем раздаются карточки с заданиями (желательно иметь 6 и более вариантов). После того как учащиеся начали работать, учитель проходит по классу и тех ребят, которые не знают с чего начать, вызывает к доске и снова подробно объясняет на подобном примере решение. И даже после этого следует подходить к работе учеников дифференцированно. Если учитель видит, что на самостоятельную работу осталось мало времени и многие еще не успели выполнить задание, то на проверку разрешает сдать работу только желающим. Остальные должны переписать полностью свои задания и решить их дома. И только те учащиеся, которые не выполнят задания к следующему уроку, получают двойку.

Контрольные работы проводятся по индивидуальным карточкам с использованием справочного материала, подготовленного самими учащимися. Если контрольная работа написана на «2», то учащийся обязан сделать либо работу над ошибками сам, либо с помощью учителя на консультации. Если ученик хочет исправить оценку «3» на «4» или «5», то ему необходимо сделать работу над ошибками (можно дома), а потом на дополнительном занятии написать другой вариант.

Автор статьи рекомендует проводить со слабыми учениками математические диктанты, цель которых – помочь школьникам запомнить формулировки аксиом и теорем, которые в дальнейшем будут использованы.

«В результате такой систематической планомерной работы, - отмечает Т.А.Косенкова,- у ребят появляется интерес к предмету, желание трудиться. Они уже с удовольствием выходят к доске, не боятся отвечать. В результате увеличивается количество хороших оценок по математике».

Интересным опытом по организации дифференцированного обучения делится С.Н.Юркина в статье «О дифференцированном обучении математике»[40].

Каждый класс в начале года учитель разбивает на 6 групп по результатам успеваемости и отношению к делу в прошлом учебном году, при этом учитывается и психологическая совместимость учеников. Это разбиение будет стабильным в течение учебного года, хотя частые переходы из группы в группу возможны в случае, если ученик стал заниматься лучше или, наоборот, хуже. На разных этапах учебной работы для каждой группы учеников учитель использует варианты заданий разной сложности.

Так, при работе в классе дифференцированное обучение можно провести следующим образом. После того, как учитель объяснит всему классу новый материал и проведет первоначальное формирование умений по данной теме, следует перейти к закреплению умений, доведению их до навыков. Именно здесь можно использовать варианты различной сложности. Существует несколько способов их применения:

- 1,2,3 группы решают общее задание фронтально под наблюдением учителя, а 4,5,6 группы выполняют общие или индивидуальные задания самостоятельно. Для них предусмотрен какой-либо вариант проверки (с использованием поворотных досок, магнитной доски и др.);

- 1,2,3,4 группы работают самостоятельно, а 5 и 6 группы вместе с учителем разбирают задания повышенной трудности;

- учащиеся, хорошо усвоившие материал, работают самостоятельно, а те, у кого возникли затруднения, выполняют задания под руководством учителя;

- ученики четырех групп работают самостоятельно, а одна группа получает более трудное задание, другая – более простое; для каждой группы предусмотрен свой способ проверки;

Такая организация формирования и закрепления умений позволяет заботиться о развитии сильного ученика, предупредить отставание слабого, дает возможность основной массе класса получить достаточно прочные знания по теме.

Наличие вариантов различной сложности позволяет легко организовать самостоятельную или контрольную работу. Учитель складывает карточки с заданиями на своем столе в 6 стопок. Члены каждой группы по очереди подходят к столу и берут нужную карточку. Это занимает 1-2 минуты и не нарушает порядок на уроке.

Зачеты (в основном по геометрии) учитель также может принимать, используя варианты различной сложности. Представители от каждой группы (каждый раз по 3 человека) решают задания одновременно на трех досках.

Особенно удобно применять варианты различной сложности на уроках-практикумах. Проводить их можно по крайней мере двумя способами.

1. Основная цель практикума, проводимого в середине изучения темы, - обучающая. Примерно за 2-3 дня до практикума выделяется 5-6 консультантов, вместе с которыми учитель составляет и решает задания практикума. Каждая группа получает свое задание и решает его в течение урока под руководством консультанта. После уроков учитель проверяет тетради вместе с консультантами, которые высказывают свое мнение об уровне подготовки и самостоятельности решения задания каждым учеником их группы.

2. Основная цель практикума, который проводится в конце изучения темы, - обобщить знания учащихся, провести необходимую коррекцию знаний, проверить общий уровень подготовки класса. Класс также разбивается на 6 групп, но принцип их подбора другой: в каждую группу входят и сильные, и слабые учащиеся. Учитель заранее составляет списки групп с указанием консультанта, но знакомит с ними ребят только на уроке. Урок начинается с краткого опроса по теории. Опрос проводит консультант по вопроснику, составленному учителем. Затем учащиеся все вместе решают данное задание, при необходимости обращаясь к образцу. По окончании этой части урока ответственный за работу группы сдает учителю листок с оценкой уровня подготовки учащихся по теории и решению задач. Последние 20-25 минут урока учащиеся выполняют самостоятельное задание, различное для каждого члена группы. Оценивает работу на практикуме учитель, при этом учитывается мнение консультантов.

В заключение автор статьи обращает внимание на организацию контроля домашнего задания. Он пишет, что к этой форме контроля не обязательно привлекать хорошо успевающих учеников, здесь может справиться любой. На каждую четверть выбирается 6 контролеров, которые перед каждым уроком математики проверяют у ребят определенной группы наличие домашней работы (причем контролер должен быть из другой группы). В течение учебного года к этой работе будут привлечены 24 человека. Таким образом практически каждый ученик выполняет посильную работу по организации учебного процесса.

Автор отмечает следующую реальную пользу от применения всех этих деталей дифференцированного обучения:

- Значительно улучшается четкость в организации работы класса;

- Так как каждый ученик работает на посильном для него уровне трудности, он лучше осознает свои ближайшие цели и задачи;

- Четкость в работе дает возможность постоянно контролировать знания, умения и навыки;

- Наличие сильных учеников как группы позволяет постоянно продумывать работу с ними, учитывать возможности их развития.

На основе вышесказанного можно заключить, что педагоги-математики, использующие дифференциацию при обучении школьников, отмечают его эффективность и целесообразность применения в школе.

2.2. Анализ опытной работы по дифференциации обучения математике в 11 классе мсош п. Кордяга.

Опытная работа по дифференциации осуществлялась в 11 классе мсош поселка Кордяга. Данная работа проводилась в несколько этапов. На первом этапе была проведена диагностическая работа по выявлению индивидуальных особенностей каждого школьника, были выделены временные типологические группы для работы на уроках и составлен план дифференцированного обучения. Вторым этапом опытной работы было проведение уроков с использованием дифференциации. На заключительном, третьем этапе, были проведены проверочные работы для оценки результатов примененной системы обучения. Теперь подробнее о каждом этапе.

1 этап:

В 11 классе мсош поселка Кордяга учится 8 учеников, из них – 3 мальчика, 5 девочек. Возраст учеников – 15-16 лет. В целом, класс успевающий. Большинство учеников класса имеют достаточные знания в области математики, свободно на них опираются при изучении нового материала, при решении примеров. Это ученики с высоким и средним уровнем обученности. Но кроме них имеются 2 ученика, которым необходимо пристальное внимание со стороны учителя математики, так как они имеют пробелы в знании программного материала, часто не могут применить имеющиеся знания на практике, то есть обладают низким уровнем обученности. Эти данные получены с помощью изучения оценок по математике в классном журнале, а также из беседы с учителем математики, который на основе своего опыта работы с данным классом дал сведения об уровне подготовки каждого ученика в области математики. Распределение учащихся по уровням обученности отражено в таблице.

Уровень обученности.

Фамилия ученика Высокий уровень обученности Средний уровень обученности

Низкий уровень

обученности

Апиркян Р. +
Бушмакина Е. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

Пояснение к таблице:

-Высокий уровень обученности - ученик в любой ситуации учебного процесса демонстрирует высокие знания ранее изученного материала, высокий уровень математических умений и навыков;

-Средний уровень обученности – ученик не всегда располагает необходимым фондом знаний, умений и навыков при изучении математики;

-Низкий уровень обученности - школьник, имея ограниченный фонд знаний, умений и навыков.

Кроме того, установлено, что более половины учеников класса имеют уровень обучаемости, достаточный для глубокого изучения программного материала. В качестве метода исследования обучаемости был выбран анализ процесса решения экспериментальных задач. Задания были подобраны так, чтобы они требовали не воспроизведения известных алгоритмов решения, а самостоятельного нахождения пути решения задачи. Ученикам была предложена самостоятельная работа из 3-х заданий, а также числовой тест (см. приложения 1 и 2).

По результатам этих работ была составлена таблица.

Уровень обучаемости.

Фамилия ученика

Высокий уровень

обучаемости

Средний уровень

обучаемости

Низкий уровень

обучаемости

Апиркян Р. +
Бушмакина Е. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

Пояснение к таблице:

-Высший уровень обучаемости – ученик свободно анализирует материал, обладает способностью самостоятельно найти путь решения задачи нового типа;

-средний уровень обучаемости - ученик испытывает трудности в анализе материала, решении задач нового типа, но с помощью учителя справляется с заданием;

- низкий уровень обучаемости - ученик испытывает большие трудности в анализе материала, слабо владеет или совсем не владеет умениями и навыками умственного труда, не способен выполнить задание, требующее самостоятельного нахождения пути решения.

На основании вышеприведенных данных можно выделить следующие группы в классе:

1 группа – обладающие высоким уровнем математических знаний, умений и навыков, самостоятельно и творчески мыслящие (Зорин, Крестьянинов, Скрябина).

2 группа – обладающие достаточно хорошим уровнем математических знаний, умений и навыков, но испытывающие трудности при решении задач нового типа (Апиркян, Бушмакина, Слуднев).

3 группа – имеющие низкий уровень математических знаний, умений и навыков, не способные решить новую задачу (Черепанова, Штинова).

Характеризуя отношение к учению, интересы и склонности учеников данного класса, нужно отметить следующее. Лишь одна ученица класса-Скрябина Оксана - имеет прочный устойчивый интерес к математике. Девочка даже в свободное время с большим желанием решает математические задачи, любит преодолевать трудности при выполнении различных примеров. Она выбрала для себя профессию учителя математики.

Диагностика уровня интереса учащихся к предмету была проведена с помощью учителя математики, который охарактеризовал всех учеников по нескольким показателям. Все данные отражены в таблице «Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике», приведенной ниже.

Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике.

Показатель

Фамилия

Наличие самостоятельности при решении познавательных задач Отношение к творческим поисковым задачам Осведомленность в области математики
Апиркян Р. 1 1 2
Бушмакина Е. 2 1 2
Зорин Я. 2 3 3
Крестьянинов В. 2 2 3
Скрябина О. 3 3 3
Слуднев С. 1 2 3
Черепанова Я. 1 2 1
Штинова М. 1 1 1

Пояснение к таблице.

Наличие самостоятельности при решении познавательных задач:

1- ученик не может работать без помощи учителя.

2- ученик проявляет интерес к самостоятельной работе в зависимости от ситуации при наличии контроля со стороны учителя.

3- ученик всегда проявляет высокую самостоятельность, стремится сам разобраться в трудных вопросах.

Отношение к творческим поисковым задачам:

1-ученик не любит решать сложные задачи, при малейших трудностях пасует.

2- ученик любит решать творческие поисковые задачи, но, испытав затруднение при решении, сразу обращается за помощью к товарищам или учителю.

3- ученик с большим желанием решает сложные задачи, любит преодолевать трудности.

Осведомленность в области математики:

1-низкий уровень математических знаний, умений и навыков.

2-средний уровень математических знаний, умений и навыков.

3-высокий уровень математических знаний, умений и навыков.

На основании данной таблицы, с учетом классификации Г.И.Щукиной (см. пункт 1.2) ученики были распределены по уровням познавательного интереса.

Уровень познавательного интереса.

Фамилия ученика

Высокий уровень

познавательного интереса

Средний уровень

познавательного интереса

Низкий уровень познавательного интереса
Апиркян Р. +
Бушмакина Е. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

2 этап :

Дифференциация осуществлялась на уроках по следующим темам (описание уроков см. в приложениях):

Алгебра:

- Таблица первообразных (1 урок).

- Правила нахождения первообразных (2 урока).

Геометрия :

- Простейшие задачи в координатах (2 урока).

Занятия были построены с учетом различий в уровнях знаний и способностей учащихся. Одной из целей уроков было развитие интереса к математике, которому способствовали необычные формы проведения уроков, личное участие каждого ученика в работе, чувство ответственности, осознание каждым учеником своей возможности чего-то достичь.

Приведем пример использования дифференциации на конкретном уроке.

Урок «Правила нахождения первообразных».

Цель урока: выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку и первообразные в случаях, непосредственно сводящихся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных.

На этом уроке дифференциация применяется на этапе закрепления изученного материала (дифференцированно-групповая работа).

Учащиеся рассаживаются по группам (группы 1,2,3 (см. пункт 1.2)).

Каждой группе выдается карточка. Дается следующая устная инструкция по выполнению заданий: « Познакомьтесь с заданием, затем приступайте к решению. Если результат у всех одинаковый, то решайте другую задачу. Если кто-то получил другой результат, чем другие, он должен объяснить, как решал и по возможности найти ошибку. При необходимости можно помочь ему. Если получено несколько разных ответов, то все члены группы еще раз анализируют весь ход решения».

Карточка группы 1:

1. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку:

f(x)= М (;3)

2. Докажите, что разность первообразных для функции f(x)=2- sin2x в точках М(1;3), N(2;4) равна 4.

3. При каких а функция F=xsinx+acosx является первообразной для функции F=xcosx?

Карточка группы 2.

1.Для функции f найдите первообразную, принимающую заданное значение в данной точке:

f(x)=4x+1/x2 F(-1)=4

2.Для функции f найдите 2 первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т.е. точками с равными абсциссами) равно а:

f(x)=2-sinxa=4

3.Найти общий вид первообразных для функции f(x)=(5+2x)6

Карточка группы 3.

1. Для функции f найдите первообразную, принимающую заданное значение в данной точке:

f(x)=x3 F(-1)= 2.

2. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку:

f(x)=3x2 -2x+4 M (-1;1)

3. Найти общий вид первообразных для функции f(x)=(3+2x)2

Описания остальных уроков приведены в приложениях.

3 этап:

На завершающем этапе исследования с учениками были проведены 2 работы:

- контрольная работа по геометрии;

- самостоятельная работа по алгебре (см. приложения).

Обе работы требовали применения полученных знаний, умений, навыков и содержали как задания на воспроизведение известных алгоритмов решения, так и задачи на самостоятельный творческий поиск решения. По итогам проверки этих работ и обобщения их результатов было снова составлено распределение школьников по уровням обученности и обучаемости:

Уровень обученности .

Фамилия ученика Высокий уровень обученности Средний уровень обученности

Низкий уровень

обученности

Бушмакина Е. +
Апиркян Р. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

Уровень обучаемости .

Фамилия ученика

Высокий уровень

обучаемости

Средний уровень

обучаемости

Низкий уровень

обучаемости

Апиркян Р. +
Бушмакина Е. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

Сравним результаты до проведенной работы и после нее:

Количество учеников

Уровень обученности

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
высокий 4 5
средний 2 3
низкий 2 0

Количество учеников

Уровень обучаемости

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
высокий 3 4
средний 3 3
низкий 2 1

Для диагностики уровня познавательного интереса в конце исследования была вновь составлена таблица:

Уровень сформированности качеств, характеризующих интерес к математике.

Показатель

Фамилия

Наличие самостоятельности при решении познавательных задач Положительное отношение к творческим поисковым задачам Осведомленность в области математики
Апиркян Р. 2 2 2
Бушмакина Е. 2 2 2
Зорин Я. 3 3 3
Крестьянинов В. 2 3 3
Скрябина О. 3 3 3
Слуднев С. 2 2 3
Черепанова Я. 1 3 2
Штинова М. 1 1 2

Также вновь произведено распределение школьников по уровням познавательного интереса, и результаты сравнены с результатами до проведения опытной работы.

Уровень познавательного интереса .

Фамилия ученика

Высокий уровень

познавательного интереса

Средний уровень

познавательного интереса

Низкий уровень познавательного интереса
Апиркян Р. +
Бушмакина Е. +
Зорин Я. +
Крестьянинов В. +
Скрябина О. +
Слуднев С. +
Черепанова Я. +
Штинова М. +

Сравним:

Количество учеников

Уровень

познавательного интереса

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
Высокий 3 4
Средний 2 3
Низкий 3 1

Анализ таблиц, сравнивающих уровни развития исследуемых показателей до и после проведения опытной работы, позволяет сделать следующие выводы: после применения дифференциации на уроках в классе, в целом, повысился уровень знаний, умений и навыков учащихся; возрос уровень обученности в классе и уровень познавательного интереса.

Наиболее заметное влияние дифференциация обучения оказала на уровень обученности учеников. Работа каждого ученика на посильном для него уровне трудности привела к тому, что школьники, отнесенные нами до проведения дифференциации в группу с низким уровнем обученности, перешли теперь в группу со средним уровнем обученности. Кроме того, повысилось количество учащихся, чей уровень знаний и умений можно определить как высокий.

Уровень обучаемости в классе изменился незначительно, но, тем не менее, в лучшую сторону: два ученика перешли в группы более высокого уровня - один из группы среднего уровня обучаемости в группу высокого уровня, другой – из группы низкого уровня в группу среднего уровня обучаемости. В целом, в классе увеличилось число учащихся, способных самостоятельно или при небольшой помощи учителя проработать новый учебный материал, найти алгоритм решения новой задачи.

Изменение уровня познавательного интереса выразилось в том, что большая часть учеников класса стала с большим желанием решать сложные задачи, преодолевать трудности, с увлечением самостоятельно работать.

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что дифференциация, примененная на уроках математики в 11 классе, способствовала повышению эффективности процесса обучения.


Заключение.

Исследование дифференциации в обучении математике показало, что изучение этого вопроса является в настоящее время очень актуальным.

В ходе работы мы определили, что дифференциация – это такая система обучения, которая ставит своей целью создание оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей, она характеризуется формированием групп учащихся, сходных по какому-либо комплексу свойств и качеств, среди которых основными являются обученность, обучаемость, познавательный интерес. Было установлено, что современная школа предоставляет большие возможности для использования дифференциации. Число и разнообразие способов реализации дифференцированного подхода в школе зависит от творческой направленности учителя, от его педагогического мастерства, от умения работать сразу со всем классом и с каждым учеником в отдельности.

В ходе исследования было выяснено, что педагоги-математики, использующие дифференциацию в обучении школьников, отмечают его эффективность и необходимость применения в школе.

Опытная работа, в ходе которой были применены на практике некоторые из способов реализации дифференцированного обучения (дифференцированно-групповая работа, индивидуализированная самостоятельная работа), привела к следующим результатам:

Количество учеников

Уровень обученности

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
высокий 4 5
средний 2 3
низкий 2 0

Количество учеников

Уровень обучаемости

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
высокий 3 4
средний 3 3
низкий 2 1

Количество учеников

Уровень

познавательного интереса

До проведения опытной работы После проведения опытной работы
Высокий 3 4
Средний 2 3
Низкий 3 1

Итак, опытная работа способствовала тому, что в классе, в целом, повысился уровень знаний, умений и навыков учащихся; возрос интерес школьников к математике, повысились способности учеников к глубокому изучению программного материала, то есть можно заключить, что гипотеза, выдвинутая в начале нашего исследования, о том, что эффективность обучения повысится, если будет использоваться дифференциация, подтвердилась.

Библиографический список .

1) Айзенк Г.Ю. Проверьте свои способности.– СПб.: Лань,1999.-160 с..

2) Акимова М.К. ,Козлова В.Т. Индивидуальность учащегося и индивидуальный подход. - М.: Знание, 1992.- 80с.

3) Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования.// Математика в школе.-1989.-№3-с.9-10.

4) Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения.-М.: Педагогика, 1977.

5) Бударный А.А. Пути и методы предупреждения и преодоления неуспеваемости и второгодничества. Кандидатская диссертация. М.1963.

6) Волковысский Р.Ю., Темкина Д.А. Организация дифференцированной работы учащихся при обучении.- М.: Просвещение, 1993.-110с.

7) Гильбух Ю.З. Внимание: одаренные дети. – М.: Знание, 1991.-79с.

8) Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся.// Математика в школе.-1990, № 1.

9) Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе.// Математика в школе.-1990.-№4.

10) Дорофеев Г.В. Дифференциация в обучении математике.// Математика в школе.-1990.№6.-С.15-20.

11) Злоцкий Г.В. Широкий спектр средств дифференциации.// Математика в школе.-1991.-№5

12) Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения.- М.: Знание, 1979.-126с.

13) Калмыкова З.И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога. - М.: Знание, 1982.-96с.

14) Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. - М.: Педагогика, 1981.-200с.

15) Косенкова Т.А. Из опыта работы со слабыми учащимися.// Математика в школе.-1991.№2-с.12-13.

16) Крутецкий В.А. Психология математических способностей.- М.: Просвещение, 1968.-467с.

17) Лийметс Т.В. Групповая работа на уроке. – М.: Знание, 1975.-300с.

18) Малофеев Р.И. Проблемное обучение в средней школе.- М.: Просвещение, 1996.-207 с.

19) Машарова Т.В. Педагогическая технология: личностно-ориентированное обучение. Учебное пособие.- М.: Педагогика ПРЕСС, 1999.-144с.

20) Монахов В.Л., Орлов В.А., Фирсов В.В. Дифференцированное обучение в средней школе.// Cоветская педагогика, 1990. №8.

21) Общая психология / под ред. А.В.Петровского.- М: Просвещение, 1986.- 464с.

22) Охитина Л.Т. Психологические основы урока.- М.: Просвещение, 1977.-96с.

23) Петрова Е.С. Дифференцированное обучение. 1 сентября.-2001,№ 16-с.7-12.

24) Рабунский Е.С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников.- М.: Педагогика, 1975.-82с.

25) Ромашко И.В., Винник В.М. Технология работы в разноуровневых группах.// Математика в школе.-1996, №4.-с.40-41.

26) Самоволов П.К. К проблеме дифференциации обучения.// Математика в школе.-1991.-№4.

27) Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.: Просвещение, 1995.-238с.

28) Сухомлинский В.А. Избранные произведения: в 5 т. – Киев: Радянська школа, 1979-1980.

29) Тимощук М.Е. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач//Математика в школе.1990.№3.-с.13-15

30) Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения.- М.:Педагогика,1990. -191с.

31) Утеева Р.А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке.// Математика в школе.-1995, №2.-с.33-34.

32) Утеева Р.А. Дифференцированные формы учебной деятельности учащихся.// Математика в школе,№5-с.32-33.

33) Ушинский К.Д. Сочинения. М.- С.-П: АПН РСФСР,1949.

34) Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе.- М.: Просвещение,1988.-159с.

35) Чередов И.М. О дифференцированном обучении на уроках.- М.: Просвещение,1973.-155с.

36) Чередов И.М. Система форм организации обучения в советской общеобразовательной школе. – М.: Педагогика, 1987.-151с.

37) Черникова Т.М. Уроки в парах сменного состава.// Математика в школе.-1995, № 2.-с.45-46.

38) Шахмаев Н.И. Учителю о дифференцированном обучении.- М.: АПН СССР,1989.-231с.

39) Щукина Г.И. Проблемы познавательного интереса в педагогике. - М.: Педагогика,1971.

40) Юркина С.Н. О дифференцированном обучении математике.// Математика в школе.-1990,№3.-с.13-14.

41) Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. - М.:-Сентябрь,1996.-96с.

42) Якиманская И.С. Развивающее обучение. – М.: Педагогика, 1979.-144с.

Приложение 1.

Числовой тест.

1. Продолжите числовой ряд:

18 20 24 32 …

2. Вставьте недостающее число:

3. Вставьте недостающее число:

4. Продолжите числовой ряд:

212 179 146 113 …

5. Продолжите числовой ряд:

64 48 40 36 34 …

6. Вставьте недостающее число:

2 6
54 18
? 9
81 27

7. Вставьте пропущенное число:

341 (250) 466

282 ( … ) 398

8. Вставьте пропущенное число:


9. Продолжите числовой ряд:

7 19 37 61 …

10. Вставьте пропущенное число:

8 5 2

4 2 0

9 6 ?


Приложение 2.

Самостоятельная работа.

1. Восстановите пропущенные цифры в записи умножения:

9 5

* *

* * 5

* *

* * 3 *

2. Найдите сумму целых чисел от 1 до 50 хотя бы двумя способами.

3. Число 64 представлено в виде суммы двух положительных слагаемых так, что сумма их квадратов минимальна. Найдите эти слагаемые.


Приложение 3.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Таблица первообразных».

Цель урока: научить с помощью таблицы находить общий вид первообразной, закрепить этот навык при решении упражнений.

На этом занятии дифференциация используется при изучении нового материала. В начале урока вызываются к доске трое учащихся сильной группы 1.

Задание: найти первообразные для данных функций:

1 ученик: у=хn

y=1/cos2 x

2 ученик: y=

y=sinx

3 ученик: y=cosx

y=1/sin2 x

В это время с остальными учениками класса проверяется домашнее задание, а затем устно находится первообразная функции y=k.

Далее проверяется правильность выполненных у доски заданий таким образом: по очереди выходят к доске ученики групп 2 и 3, каждый проверяет правильность одной из найденных первообразных, обосновывая свои действия ссылкой на соответствующие определения, правила и т.п.

Затем таблица первообразных заносится в тетради.


Приложение 4.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Правила нахождения первообразных» (урок 1).

Цель: рассмотреть правила нахождения первообразных и поупражнять учащихся в их применении.

После рассмотрения правил нахождения первообразных ученики группы 1 сразу же приступают к решению задач из учебника (Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа. 11 класс» - №342(а,в), №343(а,г), №344(б,г), №346(а)). С учащимися групп 2 и 3 повторно рассматривается каждое правило и решается пример, иллюстрирующий это правило. Затем группа 2 также приступает к самостоятельному решению задач из учебника, а ученики группы 3 по очереди решают номера из учебника у доски, поясняя каждое свое действие.

Задания.

Найдите общий вид первообразных для функции f:

№342.

а) f(x)=2-x3 +1/x3

в) f(x)=1/x2 -sinx

№343

а) f(x)=(2x-3)5

г) f(x)= -1/3cos(x/3-п/4)

№344

б) f(x)=2/cos2 (п/3-x)

г) f(x)= -2/x5 +1/cos2 (3x-1)

№346

а) f(x)=1-cos3x+2sin(п/3-x).


Приложение 5.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Простейшие задачи в координатах» (урок 1).

Цель урока: рассмотреть формулу нахождения координат середины отрезка, нахождения длины вектора по его координатам, нахождения расстояния между двумя точками. Научить учащихся применять формулы для решения задач.

На этапе закрепления изученного материала проводится дифференцированно-групповая работа (см п.2.2-пример применения дифференциации на уроке «Правила нахождения первообразных»)

Карточка группы 1.

1. Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если:

А(-3;m;5), В(2;-2;n).

2. Точка М – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки А, если В(0;0;2), М(-12;4;15).

3. Даны точки А(3/2;1;-2), B(2;2;-3), C(2;0;-1). Найдите периметр треугольника АВС и длины его медиан.

Карточка группы 2.

1. Точка М – середина отрезка АВ. Найдите:

а) координаты точки М, если А(0;3;-4), В(-2;2;0)

б) координаты точки В, если А(14;-8;5), М(3;-2;-7)

2. Даны векторы а{5;-1;7}, b{0;-3;4}.

Найдите:

а) │a│

б) │a+ b│

3. Найдите длину вектора АВ, если А(-35;-17;20), В(-34;-5;8).

Карточка группы 3.

1. Точка М – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если:

а) А(0;3;-4), В(-2;2;0)

б) А(1;-2;-4), В(8;2;2)

2. Найдите длины векторов

а) а{5;-1;7}

б) b{0;-3;4}

3. Найдите длину вектора АВ, если А(-1;0;2), В(1;-2;3).


Приложение 6.

Пример применения дифференциации на уроке по теме «Простейшие задачи в координатах» (урок 2).

Цель урока: закрепить навыки нахождения координат середины отрезка, нахождения длины вектора по его координатам, нахождения расстояния между двумя точками.

После проверки домашнего задания организуется индивидуализированная самостоятельная работа. Каждый ученик получает карточку, в зависимости от того, в какую группу он входит.

Карточка группы 1.

1.Заданы координаты точек A(-1;2;3), B(1;-4;1), C(1;-3;2), D(0;1;0). Найти расстояние между серединами отрезков АВ и СD.

2.Найти длины векторов а = i+j+k, d = -2k.

3. Точки A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки D.

Карточка группы 2.

1. Найти длину вектора 3а-b, если а{2;3;2}, b{-1;-2;1}.

2. Даны точки А(1;-1;0), B(1;2;3), C(-1;2;0). Найти координаты середины отрезка BC и координаты вектора CD, где D-середина отрезка AB.

3. Определите вид треугольника ABC, если A(9;3;-5), B(2;10;-5), C(2;3;2).

Карточка группы 3.

1. Точка М – середина отрезка АВ. Найдите:

а) координаты точки М, если А(2;-3;-4), В(-3;1;0)

б) координаты точки В, если А(7;5;5), М(2;-2;0)

2. Найдите длину вектора b{2;-6;1}.

3. Определите вид треугольника ABC, если A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10).

Приложение 7.

Самостоятельная работа по алгебре.

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:

а) F(x)=x4 -3, f(x)=4x3

б) F(x)=5x-cosx, f(x)=5+sinx

2. Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=4/x2 +3cosx.

3. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=6/cos2 3x+1, М(п/4;п/4).


Приложение 8.

Самостоятельная работа по геометрии.

1. Даны точки A(2;7;1), B(0;-1;3), B(2;9;1) и вектор a{-3;4;0}. Найти:

а) координаты точки С – середины отрезка АВ.

б) │AB│

в) │а│

2. Даны точки A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5), D(-1;3;4). Докажите, что они являются вершинами параллелограмма.

3. Найдите расстояние от точки A(-1;-7;0) до плоскости ХОZ.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений09:08:34 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:15:28 29 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Дифференциация в процессе обучения математике

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(149936)
Комментарии (1829)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru