Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений графический и функциональный

Название: Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений графический и функциональный
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 21:50:46 24 сентября 2010 Похожие работы
Просмотров: 127 Комментариев: 4 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Фрунзенский район

Технологическая гимназия №13 г. Минска

Авторы:

Кравченко Арсений Борисович

ученик 9”Д” класса

ул. Горецкого 69-263

д.т. 215-84-33

Ермолицкий Алексей Александрович

ученик 9”Д” класса

ул. Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23

Тема:

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Секция: математика

Научный руководитель:

Буйницкая Инесса Мечеславовна

учитель высшей категории

Минск 2004

Содержание

Общая теоретическая часть………………………………………00

Графический метод………………………………………………..00

Функциональный метод…………………………………………...00

Метод функциональной подстановки…………………………..00

Цели и задачи научной работы…………………………………..00

Практикум………...…………………………………………………00

Список литературы………………………………………………..00

Общая теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной , или универсальной подстановки .

Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

{x, f(x) | xD (f)} координатной плоскости.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D ( f ) одно число f ( x ) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

f(x)=g(x),

где f(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью , а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что так как функция f сопоставляет каждому x D ( f ) одно число f ( x ) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1 , у1 ), то решением системы будет х=х1 , у=у1 ). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).

Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах =А g(x)м in =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

f(x)=x (1)

(2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1 . Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2 . Если в уравнении f(x)+g(x)=a+bпри любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ѓ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx ,cosnx , tgmx , ctglx ) = 0 (3)

где R – рациональная функция, k , n , m , l ÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx ,cosx , tgx ,ctgx , после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x /2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

sinx = cosx =

1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2)

(4)

2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)

tgx = ctgx =

1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

Практикум

sinx +√2-sinІx + sinx √2-sinІx = 3


Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пустьu = sinx и v = +√2-sinІx . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений


u + v + uv = 3

uІ + vІ =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует


r + s = 3

rІ - 2s = 2

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место


u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

cos=x2 +1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

cos≤1 x2 +1≥1 =>

cos=1

x2 +1=1 x=0

Ответ: х=0

5sinx -5tgx

+4(1-cosx )=0

sinx + tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ , а sinx +tgx =0 при x = πk, kÎZ , то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x /2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим


2t 2t

5 -

1+tІ 1-tІ 1-tІ

+4 1- =0

2t 2t 1+tІ

+

1+tІ 1-tІ

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

8tІ

-5tІ + = 0 --5-5tІ + 8 = 0

1+tІ

откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

Ответ: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎZ

tgx +ctgx +tgІx +ctgІx +tgіx +ctgіx =6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx +ctgx , тогда tgІx +ctgІx =yІ-2, tgіx +ctgіx =yі-3y

yі+yІ-2y-8=0

y=2

Так как tgx +ctgx =2, то tgx +1/ tgx =2. Отсюда следует, что tgx =1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

2 cos πx =2 x -1

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

3+(х- π )2 =1-2 cosx

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

(х-π)2 +2=-2cosx

(х-π)2 +2≥2 -2cosx≤2

=> x=π, при k=0

Ответ: x=π

10| sinx | =10| cosx |-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

|sinx|=|cosx|-1

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений09:05:53 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:14:10 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:37:24 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:34:38 24 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений графический и функциональный

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150008)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru