Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Упругие волны

Название: Упругие волны
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 17:59:59 27 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 62 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 1. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро­стьюυ . Процесс распространения колебаний в пространстве на­зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ¼ υ T , т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1 , вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2 . По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлениисверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В момент времени, равный Т , первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т , пройдя путьυ T , достигнет частицы 5 .

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены ик данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо ивлево. Из рисунка видно,что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью υ .

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х . В действительности колеблют­ся не только частицы, расположенные вдоль оси х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времениt , называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек,колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х . Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y иz ), колеблются в одинаковой фазе.

На рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение x из положения равновесия точек с различными x в некоторый мо­мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции x (х , t) для некоторого фиксированного момента времени 1 . С течением времени график перемещается вдоль оси х . Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

(1.1)
Расстояние λ , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ =υ T,

где υ скорость волны, T период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2p (см. рис. 1.3).

(1.2)
Заменив в соотношении (1.1) T через1/v (v — частота коле­баний), получим

λ v =υ .

К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ . Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ .

§ 2. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х , у , z и времени t :

(2.1)
x = x (х, у , z, t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t , так и относительно координат х , y, z . Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания час­тицы с координатами х , у , z . Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции x , в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : x = x (х , t) . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

x (х , t) =a cos ( w t + a ) .

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х . Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t =x / υ (υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

x (х , t) =a cos [ w ( t − t ) + a ] = a cos [ w ( t − x / υ ) + a ] .

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

(2.2)
x = a cos [ w ( t − x / υ ) + a ]

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t . При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

(2.3)
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

w ( t − x / υ ) + a = const

0,
=

1
υ

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значениеdx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим
υ .
υ .
откуда
(2.4)

Таким образом, скорость распространения волныυ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

(2.5)
Согласно (2.4)dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

x = a cos [ w ( t + x / υ ) + a ]


– υ ,
Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х .

(2.6)
,
λ

Уравнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно х и t вид. Для этого введем величину

ω
υ
(2.7)
которая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v , можно пред­ставить волновое число в виде

(2.8)
(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

x = a cos ( w t + kx + a )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х , отличается от (2.8) только знаком при члене kx .

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:a = a 0 e–γx . Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:

(2.9)
x = a 0 e–γx cos ( w t + kx + a )

(a 0 – амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равнаw t + a . Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r , будут колебаться с фазой

w ( t – r/ υ ) = w t – kr + a

a
(2.10)
(чтобы пройти путь r , волне требуется время τ =r / υ ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием отисточника по закону 1/ r . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид
r
x = cos ( w t + kx + a )

где a постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины.Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e–γx .

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r , значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r .

§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x , y , z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид

(3.1)
x = a cos ( wt +a )
(3.2)
υ
ω
Возьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l . Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l:

x = a cos [ w( t − ) +a ] =a cos ( wtkl +a ).

(k =ω/υ; см. формулу (2.7)).

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l :

nr = r cos φ=l .

(3.3)
Заменим в (3.2) l черезnr :

x = a cos ( wtk nr +a )

(3.4)
Вектор

k = k n ,

(3.5)
равный по модулю волновому числуk = 2π/λи имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

x ( r , t ) = a cos ( wt − kr +a )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k . Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­жительe γl = e γ nr .

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х , у , z , выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям:

kr = kx x +ky y + kz z .

(3.7)
(3.6)
Тогда уравнение плоской волны примет вид

x (x , y , z , t ) = a cos ( wt − kx x ky ykz z +a )

λ

cos γ.

λ
cos β,
cos α,
Здесь

λ
Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х , у , z в мо­мент времени t . В случае, когда n совпадает сe x , kx = k , ky = kz = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

x = Re aei t -kr +α)

(3.10)
(3.8)
(3.9)
Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

â = ae i α ,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

x = â ei t -kr )

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.

§ 4. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим


Сложение производных по координатам дает


Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменивk 22 через 1/υ2 (см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

υ

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f( wt − kx x ky ykz z +a)

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем

Аналогично


Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при, дает фазовую скоростьэтой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х , волновое уравнение имеет вид

υ

§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x ). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещениеξ, то смещение основания с координатой x+ Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина,соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξменяется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х , нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,


(символ частной производной взят потому, что зависит не толькоот x , но и отt ).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция , аследовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как ужеотмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис.5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ρSΔx , где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на осьx силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+ Δx +ξ+Δξ) и (x+ ξ):


Значение производной в сечении x+ δможно для малых δ представить с большой точностью в виде


где под подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х в сечении х .

Ввиду малосги величинΔx, ξ и Δξпроизведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):


< Δx
<
(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Δξ , так что слагаемым Δξв суммеΔx +Δξ, можно пренебречь).

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на S Δx , придем к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у иz . Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что

υ =


Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

υ =

где G – модуль сдвига.

§ 6. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

x = a cos ( wtkx +a )

Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .

Выделенный нами объем обладает кинетической энергией

(ρΔV – масса объема, его скорость).

Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

(ε = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ2 (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид

Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию

Разделив эту энергию на объемΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

w

Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t , другой раз по x дает

Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2 υ2 = ω2 , получим

(6.5)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

(6.6)
Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно

Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

(6.7)
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за времяdt энергияdW, то поток энергии Φравен

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW . Тогда плотность потока энергии равна

(6.8)

(см. (6.7)). Через площадку(рис. 6.1) будет перенесена за время Δt энергия ΔW , заключенная в объеме цилиндра с основа­ниеми высотой υΔt (υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малостии Δt ) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергииw на объем цилиндра, равный υΔt :

Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:

(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)

Наконец, введя векторv , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

j = w v

Рис.6.2
Рис.6.1

Мы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разныхточках про-

странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная j во всех точках произвольной поверхности S , можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участкиdS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равенdV = υ dt dS cosφ . В нем содержится энергияdW = w dV = w υ dtdS cos φ (w мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадкаdS ). Приняв во внимание, что

w υ dS cos φ = j dS cos φ =j dS

(d S = n dS; см. рис. 6.2), можно написать:dW = j d S dt. Отсюда для потока энергии d Φ через площадку dS получается формула

(6.13)
(6.14)
(ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):

В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S .

Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Φ:

Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j и d S совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно,

(r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) . Таким образом,

(ar – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие

Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a0 e-γx (см. (2.9)). Соответственно средняяплотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по

(6.15)

Здесь c= 2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратнаяc, равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.

§ 7. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммойколебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

x1 = a cos ( wtkx +a1 ), x2 = a cos ( wt + kx +a2 ).

(7.2)
(7.1)
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α1 – α2 стала равной нулю, а начало отсчетаt так, чтобы оказалась равной нулю сумма α1 – α2 . Кроме того, заменим волновое числоk егозначением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид

Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х :

В точках, координаты которых удовлетворяют условию2πx /λ = ±n π (n Î N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:

(7.4)

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x , определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

(7.5)

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х , определяе­мые формулой (7.5).

2a cos(2px /l)
Из формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равноl/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (7.2) один раз поt , а другой раз по х , найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды e:

(7.6)
(7.7)


Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4.Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и пучно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время какx и ε достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:40:05 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:01:03 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
13:48:25 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Упругие волны

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151109)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru