Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Теорема тейлора

Название: Теорема тейлора
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 15:12:41 06 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 77 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D , в окрестности каждой точки z 0 этой области представляется в виде степенного ряда :
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z 0 до границы области D .
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z 0 (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z 0 до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

Пример 1 . Записать разложение по степеням z функции f (z ) = ch z .

Найдем производные функции:
f (n) (z ) = ch(n) z = ch z при n= 2k ,
f (n) (z ) = ch(n) z = sh z при n = 2k -1.

В данном примере z 0 = 0. По формуле (3) имеем:
Cn = 0 при n = 2k ; Cn = 1/n ! при n = 2k- 1;
.

Так как ch z - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2 . Разложить по степеням (z -3) функцию f (z ) = sin z .

Обозначим z -3 = t . Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t ) = sin3 cos t +cos3 sin t .

Используя основные разложения, имеем:

Так как t = z -3, то

т.е.

где

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3 . Разложить по степеням z функцию

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:


Раскладываем элементарные дроби по степеням z :

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды:

Окончательный ответ:

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f (z ), аналитическая в кольце
r < | z - z 0 | < R ,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z 0 ; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z ).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z ) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z 0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z 0 = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z .

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z 1 = -1 и z 2 = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | < 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 < | z | < 3:

В итоге имеем:

В круге | z | > 3:

В итоге имеем:

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Разложить функцию f (z ) = z 3 ·e 1/z в окрестности точки z 0 = 0.

Решение. Из основного разложения получаем

или

Вычет функции ~ Вычисление вычетов

Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z 0 (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z 0 и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z 0 при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С -1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z -z 0 ) для z 0 , принадлежащей области комплексных чисел:

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z 0 является устранимой особой точкой функции f (z ), то

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

Если z 0 - полюс порядка n функции f (z ), z 0 принадлежит области комплексных чисел, то

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z 0 - простой полюс функции ,
где аналитические функции в точке z 0 и ,
то

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

Если z 0 - существенно особая точка функции f (z ), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С -1 - коэффициент в разложении f (z ) в ряд Лорана в окрестности z 0 .

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z2 -2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:

Из этого разложения находим

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,

Решение.

Запишем

т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить вычет функции

Так как то z = 0 для f (z ) - полюс второго порядка. Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4 . Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5 . Вычислить вычет функции

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:

Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С -1 = 3/2, т.е.

Теорема о вычетах ~ Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f (z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости, - граница D ,
- вычет функции f (z ) в точке zk .

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z ) - i = 0, т.е. точки

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка

Эта точка - простой полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z ):

Тогда

Решение примера в среде пакета Mathcad Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z ): поскольку

Тогда

Решение примера в среде пакета Mathematica Теоретическая справка

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z 4 + 1 = 0, т.е. точки

Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу принадлежат только две из них: и

Вычислим вычеты f (z ) в этих точках:

Тогда

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:28:44 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:54:31 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Теорема тейлора

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151387)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru