Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: по Математическому моделированию

Название: по Математическому моделированию
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 08:50:44 28 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 757 Комментариев: 1 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ :

Группа:

Дисциплина: Исследование операций

___________________________________________________________________________________

ФИО студента:________________________________________

Набор задач №34.

1. Построить математическую модель следующей задачи оптимального планирования объемов производства.

Компания производит погрузчики и тележки. От одного погрузчика компания получает доход в размере $80 и от одной тележки в размере $40 . Имеется три обрабатывающих центра, на которых выполняются операции металлообработки, сварки и сборки, необходимые для производства любого из продуктов. Для интервала планирования, равного месяцу, задана предельная производственная мощность каждого обрабатывающего центра в часах, а также количество часов, необходимое на этом центре для производства одного погрузчика и одной тележки. Эта информация задана в таблице.

Погрузчик Тележка

(часы/ед.) (часы/ед.)

Общ. мощ.

(часы)

Мет. обраб.

Сварка

Сборка

6 4

2 3

9 3

2400

1500

2700

Требуется составить допустимый план работ на месяц с максимальным доходом.

Решение.

Пусть — количество производимых погрузчиков;

— количество производимых тележек.

Тогда целевая функция, обозначающая общую сумму дохода по всем видам производимой продукции ( погрузчики и тележки ), равна

Задача состоит в нахождении допустимых значений переменных и , максимизирующих J (x ). При этом, в силу условия задачи, должны выполняться следующие ограничения на переменные:

для каждого из обрабатывающих центров время, затраченное на производство и единиц погрузчиков и тележек соответственно, не должно превышать предельной производственной мощности :

1) часов в месяц ( для центра металлообработки) ;

2) часов в месяц ( для центра сварки) ;

3) часов в месяц ( для центра сборки);

4) (ограничение на неотрицательность переменных) .

Итак, получили следующую математическую модель данной задачи:


2. Найти множество Парето следующей двухкритериальной задачи.

, ,

при условии . Значения функций заданы таблицей

x 1 2 3 4 5 6 7
-2 -4 -6 -4 -6 -8 -6
12 12 12 10 10 10 6

Решение.

Решим вопрос нахождения множества Парето данной задачи геометрически. Для этого изобразим на графике множество, состоящее из точек

=

С помощью графика найдем все точки с максимальным значением координаты . В данном случае это одна точка, имеющая координаты (-2,12). Она войдет во множество оптимальных по Парето исходов. Далее исключим из рассмотрения все точки, координаты которых не превосходят, а координаты больше или равны координатам найденной точки (-2,12) ( это (-4,12) и (-6,12) ). Снова из оставшихся точек выберем все с наибольшим значением . Это точка с координатами (-4,10). Из оставшихся две точки (-6,10) и (-8,10) нам не подходят, поскольку их координаты меньше первой координаты выбранной точки (-4,10), а координаты равны второй координате этой точки. Значит, соответствующие им стратегии являются доминируемыми. Что же касается точки (-6, 6), то она войдет во множество оптимальных по Парето точек. Окончательно получили, что множество Парето данной задачи состоит из трех точек - (-2,12), (-4,10), (-6, 6). Они отвечают стратегиям под номерами 1, 4 и 7 соответственно. Таким образом, .

3. Геометрически решить задачу линейного программирования:

,

Решение.

    Строим область допустимых решений, т.е. геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все ограничения данной ЗЛП. Каждое из неравенств системы ограничений нашей задачи геометрически в системе координат (,) определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми.

Первому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 6, 0 ).

Второму ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, -1 ) и ( 1, 0 ).

Третьему ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 1, 0 ) и проходящая параллельно оси .

Четвертому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 6 ) и ( 3, 0 ).

Пятому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точках с координатами ( 0, 4 ) и ( -8, 0 ).

Шестому ограничению соответствует прямая, пересекающая координатные оси в точке с координатами ( 0, 1 ) и проходящая параллельно оси .

Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указаны на рисунке стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных.

Полученная область допустимых решений выделена на рисунке серым цветом.

    Вектор градиента v определяется координатами ( 0.5, 2 ). Он перпендикулярен линиям уровня и указывает направление возрастания целевой функции. На рисунке красным цветом изображены линии уровня , заданные уравнениями и , т. е. когда целевая функция принимает значение 0 и 10 соответственно.

3. По графику видно, что касание линии уровня ( ее уравнение ), перед выходом из области допустимых решений, произойдет в точке пересечения прямых и. Нетрудно подсчитать, что эта точка имеет координаты .

4. В этой точке значение целевой функции будет наибольшим, т.е.

.

4. Перейти к задаче с ограничениями :

Решение.

Для начала попытаемся выразить одни переменные системы через определенный набор других переменных. С этой целью будем рассматривать расширенную матрицу системы ограничений и путем элементарных преобразований этой матрицы, выделим в ней единичную подматрицу :

Воспользуемся последней расширенной матрицей и выразимпеременные , и через оставшиеся переменные и . Помня, что , получаем новые ограничения :

Подставив эти значения вместо переменных , и в исходную задачу, для целевой функции получим:

Итак, преобразовав полученные неравенства и целевую функцию, имеем задачу, эквивалентную исходной с ограничениями « = » , но уже с ограничениями « »:

min,

5. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Решение.

Перед применением симплекс-метода необходимо преобразовать систему линейных ограничений и рассматриваемую нами функцию к каноническому виду.

Все свободные члены системы ограничений неотрицательны, значит, выполнено одно из необходимых условий применения симплекс-метода. Осталось все условия системы представить в виде уравнений. Для этого к левой части 1-го неравенства системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную , к левой части 2-го неравенства прибавляем неотрицательную переменную , а к левой части 3-го - неотрицательную переменную , тем самым мы преобразуем неравенства в равенства:

Определимся с начальным опорным решением. Наличие единичного базиса в системе ограничений позволяет легко найти его.

Переменная входит в уравнение 1 с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы с коэффициентом 0, т.е. - базисная переменная. Аналогично переменные и являются базисными. Остальные переменные являются свободными. Приравняв свободные переменные к 0 в системе ограничений, получаем опорное решение:

= ( 0 , 0 , 1 , 3 , 2 ).

Теперь непосредственно составим таблицу:

Базисные

переменные

Свободные

переменные

Отношение
2 -1 1 0 0 1 -
1 3 0 1 0 3 1
1 -2 0 0 1 2 -
J (x ) -2 -3 0 0 0 0 -

В качестве ведущего выступает 2-ой столбец, поскольку -3 - наименьший элемент в строкеJ (x ). За ведущую строку принимаем строку 2, т. к. отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2-ой строки является наименьшим из неотрицательных. Разделим элементы 2-ой строки на 3, чтобы получить в качестве ведущего элемента 1:

Базисные

переменные

Свободные

переменные

Отношение
2 -1 1 0 0 1 -
1 0 0 1 1
1 -2 0 0 1 2 -
J (x ) -2 -3 0 0 0 0 -

Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.

От элементов строки 1 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -2.

От элементов строки J (x ) отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3. В результате имеем:

Базисные

переменные

Свободные

переменные

Отношение
0 1 0 2
1 0 0 1 3
0 0 1 4
J (x ) - 0 0 1 0 3 -

За ведущий столбец выберем столбец 1 ( по тому же правилу) , а за ведущую строку - строку 1. Разделим элементы 1-ой строки на :

Базисные

переменные

Свободные

переменные

Отношение
1 0 0
1 0 0 1 3
0 0 1 4
J (x ) -1 0 0 1 0 3 -

Взяв за ведущий выделенный элемент, проведем соответствующие преобразования.

От элементов строки 2 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на .

От элементов строки J (x ) отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1. В результате имеем:

Базисные

переменные

Свободные

члены

Отношение
1 0 0 -
0 1 - 0 -
0 0 - 1 -
J (x ) 0 0 0 -

Мы получили строку J (x ), состоящую только из неотрицательных элементов. Значит, оптимальное решение найдено, = ( , , 0 , 0 , ).

J (x ) = - -

Поскольку и по условию неотрицательны, наибольшее значение функции равно свободному члену, т. е. .

6. Решить транспортную задачу.

Транспортная таблица имеет вид:

Запасы
20 13 8 11 70
15 9 17 18 70
21 19 15 13 110
Заявки 70 90 70 60

Решение.

Найдём общую сумму запасов: = 70 + 70 + 110 = 250.

Найдём общую сумму заявок: =70 + 90 + 70 + 60 = 290.

В нашем случае запасы поставщиков ( 250 единиц продукции ) меньше, чем потребность потребителей ( 290 единиц продукции ) на 40 единиц. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика с запасом продукции, равным 40. Стоимость доставки единицы продукции от данного поставщика ко всем потребителям примем равной нулю.

Запасы
20 13 8 11 70
15 9 17 18 70
21 19 15 13 110
0 0 0 0 40
Заявки 70 90 70 60

Решение транспортной задачи начнем с построения допустимого базисного плана, для этого воспользуемся методом северо-западного угла.

Рассмотрим ячейку таблицы. Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции, заявки потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение , равное min { 70 , 70 } = 70, т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 1 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили потребность потребителя , но будем считать, что потребность данного потребителя составляют 0 единиц продукции (не будем одновременно вычеркивать строку и столбец).

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 0. Разместим в ячейку значение, равное min { 70 , 0 } = 0 ,т.е. мы полностью удовлетворили потребность потребителя . Поэтому исключаем 1ый столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 70 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90. Разместим в ячейку значение, равное min { 70 , 90 } = 70 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Вычеркиваем строку 2 таблицы, т.е исключаем ее из дальнейшего рассмотрения.

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 110 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 90 – 70 = 20 . Разместим в ячейку значение, равное min { 110 , 20 } = 20 ,т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 2ой столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

Рассмотрим ячейку .Запасы поставщика составляют 110 – 20 = 90 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 70. Разместим в ячейку значение, равное min { 90 , 70 } = 70 , т.е. мы полностью удовлетворили запросы потребителя . Поэтому исключаем 3ий столбец таблицы из дальнейшего рассмотрения.

Рассмотрим ячейку . Запасы поставщика составляют 90 – 70 = 20 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 . Разместим в ячейку значение, равное min { 20 , 60 } = 20 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 3ью строку таблицы из дальнейшего рассмотрения.

Рассмотрим ячейку . Запасы поставщика составляют 40 единиц продукции. Потребность потребителя составляет 60 – 20 = 40 . Разместим в ячейку значение, равное min { 40 , 40 } = 40 ,т.е. мы полностью израсходoвали запасы поставщика . Поэтому исключаем 4ую строку таблицы из дальнейшего рассмотрения. В то же время мы полностью удовлетворили запросы потребителя .

Мы нашли начальное опорное решение, т.е. израсходовали все запасы поставщиков и удовлетворили все заявки потребителей. Занесем полученные значения в таблицу:

Запасы

20

70

13

8 11 70

15

0

9

70

17

18

70
21

19

20

15

70

13

20

110
0 0 0

0

40

40
Заявки 70 90 70 60

Теперь, произведем его оценку. Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют

= 2070 + 15 0 + 9 70 + 19 20 + 15 70 + 13 20 + 0 40 = 3720 единиц.

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 13 = -13

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – ( -10 ) = 25

= - = 20 - 25 = -5

Запасы Потенциалы

20

70

13

8 11 70 -5

15

0

9

70

17

18

70 -10
21

19

20

15

70

13

20

110 0
0 0 0

0

40

40 -13
Заявки 70 90 70 60
Потенциалы 25 19 15 13

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :

= - ( + ) = 13 - ( -5 + 19 ) = -1

= - ( + ) = 8 - ( -5 + 15 ) = -2

= - ( + ) = 11 - ( -5 + 13 ) = 3

= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12

= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15

= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4

= - ( + ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12

= - ( + ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6

= - ( + ) = 0 - ( -13 + 15 ) = -2

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -2.

Ячейки , ,, , , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , , , номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 70. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 70. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 70. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

Запасы

20

13

8

70

11 70

15

70

9

17

18

70
21

19

90

15

13

20

110
0 0 0

0

40

40
Заявки 70 90 70 60

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют

= 870 + 15 70 + 19 90 + 13 20 + 0 40 = 3580 единиц.

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 13 = -13

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – ( -10 ) = 25

Запасы Потенциалы

20

13

8

70

11 70 -7

15

70

9

17

18

70 -10
21

19

90

15

13

20

110 0
0 0 0

0

40

40 -13
Заявки 70 90 70 60
Потенциалы 25 19 15 13

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :

= - ( + ) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2

= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1

= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5

= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12

= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15

= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4

= - ( + ) = 0 - ( -13 + 25 ) = -12

= - ( + ) = 0 - ( -13 + 19 ) = -6

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -12.

Ячейки , , , ,, образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , , , номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 40. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 40. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 40. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

Запасы

20

13

8

70

11 70

15

30

9

40

17

18

70
21

19

50

15

13

60

110

0

40

0 0

0

40
Заявки 70 90 70 60

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют

= 870 + 15 30 + 9 40 + 19 50 + 13 60 + 0 40 = 3100 единиц.

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

= - = 15 – ( -10 ) = 25

= - = 0 - 25 = -25

Запасы Потенциалы

20

13

8

70

11 70 -7

15

30

9

40

17

18

70 -10
21

19

50

15

13

60

110 0

0

40

0 0

0

40

40 -25
Заявки 70 90 70 60
Потенциалы 25 19 15 13

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :

= - ( + ) = 20 - ( -7 + 25 ) = 2

= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1

= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5

= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12

= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15

= - ( + ) = 21 - ( 0 + 25 ) = -4

= - ( + ) = 0 - ( -25 + 19 ) = 6

= - ( + ) = 0 - ( -25 + 15 ) = 10

= - ( + ) = 0 - ( -25 + 13 ) = 12

Среди оценок есть отрицательные, следовательно, решение не оптимальное.

Из отрицательных оценок выбираем минимальную, она соответствует ячейке , ее оценка = -4. Ячейки , , , образуют цикл для свободной ячейки . Цикл начинается в этой свободной ячейке. Пусть ячейка имеет порядковый номер 1.

Среди ячеек цикла , ,номера которых четные , выберем ячейку , как обладающую наименьшим значением 30. От ячеек цикла с четными номерами, мы отнимаем 30. К ячейкам с нечетными номерами мы прибавляем 30. Ячейка выйдет из базиса, ячейка станет базисной.

Запасы

20

13

8

70

11 70

15

9

70

17

18

70

21

30

19

20

15

13

60

110

0

40

0 0

0

40
Заявки 70 90 70 60

Общие затраты на доставку всей продукции, для данного решения , составляют

= 870 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 единиц.

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей . Примем = 0. Тогда :

= - = 21 – 0 = 21

= - = 19 - 0 = 19

= - = 15 - 0 = 15

= - = 13 - 0 = 13

= - = 0 - 21 = -21

= - = 8 - 15 = -7

= - = 9 - 19 = -10

Запасы Потенциалы

20

13

8

70

11 70 -7

15

9

70

17

18

70 -10

21

30

19

20

15

13

60

110 0

0

40

0 0

0

40

40 -21
Заявки 70 90 70 60
Потенциалы 21 19 15 13

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом :

= - ( + ) = 20 - ( -7 + 21 ) = 6

= - ( + ) = 13 - ( -7 + 19 ) = 1

= - ( + ) = 11 - ( -7 + 13 ) = 5

= - ( + ) = 15 - ( -10 + 21 ) = 4

= - ( + ) = 17 - ( -10 + 15 ) = 12

= - ( + ) = 18 - ( -10 + 13 ) = 15

= - ( + ) = 0 - ( -21 + 19 ) = 2

= - ( + ) = 0 - ( -21 + 15 ) = 6

= - ( + ) = 0 - ( -21 + 13 ) = 8

Все оценки свободных ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.

= 870 + 9 70 + 21 30 + 19 20 + 13 60 + 0 40 = 2980 , т.е. общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения составляют 2980 единиц.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:57:06 19 марта 2016

Работы, похожие на Контрольная работа: по Математическому моделированию

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150330)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru