Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Шпора по математическому анализу

Название: Шпора по математическому анализу
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 09:12:59 23 мая 2011 Похожие работы
Просмотров: 35 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

13. Линейные неоднородные диф ур-я n-го порядка с правой частью квазимногочлена.

1)Квазимногочлены и их свойства

2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3)Правило нахождения частного решения в резонансном случае


1:)Квазимногочлены и их свойства

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка. y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x) (1); aiC i=1,...,n. f(x)-квазимногочлен. Чтобы найти решение (1) н-но решить y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (2). М-но искать по методу Лагранжа: f(x)=e[1]xp1(x)+e[2]xp2(x)+...+e[k]xpk(x) (3) – квазимногочлен; 1,...,kC; p1(x),...,pk(x) – мн-ны с компл коэф. Примером квазимногочленов являются показательные функции: eix=cos(x)+i*sin(x). sin и cos также квазим-ны: cos(x)=(eix+e-ix)/2;sin(x)=(eix-e-ix)/2i. Квазимн-ны м-но складывать, умножать, вычитать, но !не делить! Результат деления будет функцией, но не квазимногочленом. Производная от квазимн-на будет квазимногочленом. Если рассматривать хар корни, соотв (2) и выпис их кратности k1,...,ks; y=e[1]xp1(x)+e[2]xp2(x)+...+e[s]xps(x) (4). Общ реш (2) – квазимн-н. deg(pj(x))=kj.

Опр: Если в (3) 1,...,k попарноразличны, то их число наз-ся порядком квазимн-на.

Теорема: ф-и вида e[j]x, j=1,...,s; r=0,1,...,kj-1 образует фунд сист реш-ий.

Д-во: Пустьу (3), 1,...,n – попарно-различны(k-порядок многочлена). Тогда f(x)0 <=> pj(x)=0, j=1..k (5). Проведём доказательство ММИ:

1)k=1;f(x)=e[1]xp1(x)0

2)Пусть многочлен вида (3)=0. Разделим (3) на e[k]x: e([1]-[k])xp1(x)+e([2]-[k])xp2(x)+...+pk=0. Пусть rk-степень многочлена. Если продифференцировать многочлен rk-раз, то ничего не останется. Pr[k]+1((j=1..k-1)e([j]-[k])xpj(x)+pk(x))=0. Можно примеить формулу смещения: (j=1..k-1)e([j]-[k])xpj(x)*(p+j-k)r[k+1]=0. Получили квазимн-н порядка k-1. e([1]-[k])xg1(x)+...+e([k-1]-[k])xgk-1(x)0; gj(x)pj(x)*(p-j-k)r[k+1]; j=1..k-1 => gj(x)0. Если при p=0 получ 0, то дифференциальный оператор сохраняет степень многочлена. pj(x)0, j=1..k-1;=> (5) – д-но

Тхеоремена доказякана


2:)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

Пусть L()0. (7). Этот случай называется нерезонансным. Частное решение ур-я (1) запис в след виде: y=exg(x). deg(g)=deg(p) (8). Теория утверждает, что эта система всегда имеет единственное решение => коэффициенты g(x) определяются однозначно.

Д-во: L(p)y=exp(x). Учитывая (8), получаем: L(p){exg(x)}=exp(x). Применим к лев части ф-лу смещения: exL(p+)g(x)=exp(x). L(p+)g(x)=p(x). L()0


3:)Правило нахождения частного решения в резонансном случае.

Мы решаем (1) c правой частью вида (6), но снимая ограничения (7). Этот случай наз-ся резонансным. L()=0 (9). k-кратность , как корня хар ур-я. y=exxkg(x) (10). Deg(g)=Deg(p). (10) частное решение. Теория утверждает, что нахождение g(x) имеет единственное решение.

Д-во: L(p)y=exp(x); L(p){exxkg(x)}=exp(x). Применим ф-лу смещения: exL(p+){xkg(x)}=exp(x); L(p+){xkg(x)}=p(x). Нужно найти g(x), удовл последн ур-ю. Т.к. -корень хар ур-я, то м-но записать в след виде: L(p)=M(p)*(p-)k; - корень, кратности k. M()0. M(p+)pk{xkg(x)}=p(x). N(p)M(p+). N(p)pk{xkg(x)}=p(x). Пусть pk{xkg(x)}=h(x). Получ: N(p)h(x)=p(x). h -  и однозначно находится по p(x). Проверим, что N(0)=M()0. Н-но по h(x) найти g(x). pk{xkg(x)}=h(x). g(x)=(j=0..n)gjxj; h(x)=(j=0..r)hjxj; (j=0..r)gjxj+k=(j=0..r)gj(k+j)...(j+1)xj=(j=0..r)hjxj; gj=hj/(k+j)*...*(j+1); j=0..r.

Утв: M(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm; bm0.

Д-во: p(x) – вып-ся: M(p){g(x)}=p(x) (12). Уравнение имеет единственное решение, deg(g)=deg(p). Усл bm0M(0)0; prxr+...=p(x);grxr+...=g(x). M(p){g(x)}=grM(p)xr+...=grbmxr+...=prxr. Т.о. g­=pr/bm.



10. Линейные неодн ДУ n-го порядка с перем коэф.

1)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

2)Теорема об общем решении

3)Метод Лагранжа вариации произв пост

4)Ф-я Коши и её св-ва


1:)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x) a<x<b (1) – общий вид

a1(x),...,an(x) – коэф ур-я (непр на (а;в)). f(x) – непр на (а;в) – своб член.

f(x)0(тождественно). y(x0)=y0;y’(x0)=y0’;...;y(n-1)(x0)=y0(n-1) (2) x0(a;b). y0;y0’;...;y0(n-1)-заданные числа. Задача нахождения решения (1) удовл усл (2) наз начальной задачей, а (2) – начальным условием. Условий ровно столько, каков порядок уравнения. Выпишем однородное уравнение, соотв ур-ю (1):y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=0 (3). Межу (1) и (3) ет простая связь: 1)если y(x) решение (1), а U(x) – решение соотв (3), то их  явл реш-ем (1); 2)если y(x) и z(x) – оба решения (1), тогда y(x)-z(x) – решение (3).

Д-во:

y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u(n)+a1(x)u(n-1)+...+an(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))(n)+a1(x)(u(x)+y(x))(n-1)+...+an(x)(u+y)=f(x)

y(n)+u(n)+...+an(x)y+an(x)u(x)=f(x)+0=f(x).

ч.т.д.


Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой  и единств реш нач зад.

Связь между ур-ми n-го порядка и системой из n-уравнений 1-го порядка: возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x).

Cистема:

y1’=y2;

y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x)


2)Теорема об общем решении

Пусть y1(x),...,yn(x) (4) – фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост.

Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что  решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn.

If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+cnyn(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана.

Общее решение однородного уравнения есть  общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я.


3:)Метод Лагранжа вариации произв пост

Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл:

Система: (7)

с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0;

……

c1’(x)y(n-2)(x)+…+cn’(x)y(n-2)n(x)=0

c1’(x)y(n-1)(x)+…+cn’(x)y(n-1)n(x)=f(x)


if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1).

Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’

Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1).

Система:

y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x);

y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x)

….

y(n-1)(x)=c1(x)y1(n-1)(x)+…+cn(x)y(n-2)n(x)

y(n)(x)=f(x)+c1(x)y1(n)(x)+…+cn(x)y(n)n(x)


Умножим соответственно на an(x),…,a1(x),1 и сложим: Введём обозначение: (9) L{y(x)}y(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x) – лин диффер оператор

L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1)


4:)Ф-я Коши и её св-ва

Решим систему (7) по правилу Крамера.


ci(x)=(Wi(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; Wi – алгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. ci(x)= ci+­(x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6):

y=(i=1..n)ciyi(x)+(i=1..n)((x0..x)(Wi(s)/W(s))f(s)ds)yi(x)=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)(i=1..n)(Wi(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13)

K(x)=(i=1..n)(y(x)Wi(s))/W(s) (14); x,s(a;b)

y=(i=1..n)ciyi(x)+(x0..x)K(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор


Лекция №7

1.Определение решения.


Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2) у=f(x,у)(1) у(х­0­) =у0(2) f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х0|<=а , |у-уо|<=б} M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х0|<=h; h=min{а,б/ М } (5) П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х0)=у0 (7)

Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я диф-ма в точках разбиения  одностор производные. |у+ --f(x,у(х))|<=∆ f(x)

если известно что, ∆ f(x) <=, то у(х) наз.  решением.

Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z(x)-g(x,z(x))|<=∆g(x) (8)

Z(x0)=Z0 (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<= (10)

Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у(х)= f(x,у(х))+(х), где |(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. (х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z(x)=g(x,z(x))+(x), |(x)|<=g(x)

В этом случае. z- реш. диф. ур-я (х)- кус. непр. и диф-ма.

Проинтегр. рав-ва у(х) и для z(х) у(х)=y0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+(s)}ds (11)

z(x)=z0+(x0,x)∫{g(s,z(s))+(s)}ds (12)

вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю:

у(х)-z(x)=y0-z0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds (13)

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds|<=|y0-z0|+(x0,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|(s)-(s)|ds

|f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14)

|f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+(x0,x)∫L|y(s)-z(s)|+++}ds

|(x)<=; |(x)|<=

П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x0)+(x0,x)∫LU(s)+++}ds (15)

Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то ,, =0

|y(x)-z(x)|<=L|x-x0|; |y0-z0|+((++)/L)(eL|x-x0|-1)


2 Th единственности и оценка разности решений

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|, y0=z0 (17)

y(x)≡ z(x)

Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции.


3 Зависимость от правой части

если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае ==0, >0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x)

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1) (18)

Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей.

4 Оценка разности между  решениями

Если y(x) и z(x) это соотв.  и  реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у0=z0, =0, И оценка разности решний приобретает такой вид:

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(/L)( eL|x-x0|-1)=((+ )/L)( eL|x-x0|-1) (19)

если у(х) это точн. реш-е при этом =0 и п. z(x) это  реш-е |y(x)-z(x)|<= (/L)( eL|x-x0|-1) (20)

5 Метод ломаных Эйлера

Метод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к опред-я ф-ии по х разб. на части х0 <х1<…<xn (21) Это разб. наз. сеткой, а x0…xn –узлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(xi)=yi

Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: xi+1-xi=h, h=(xn-x0)/n

Идея метода Эйлера состоит в след. :

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi)y(x)= f(x,у(xi))

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi) = f(x,у(xi)) (22)

Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки :

y(xi+1)=y(xi)+f(xi,y(xi))(xi+1-xi) – условие Эйлера

y(x0)=y0 ; y(x1)=y(x0)+f(x0,y­­(x0))(x1-x0)

y(xn)=y(xn-1)+f(xn-1,y­­(xn-1))(xn-xn-1)

Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: yi+1=yi+hf(xi,yr) (24) r=0,1…., n-1

Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я

yr(x)=yr+(x-xi)f(xi,уi), xi<=x<=xi+1 (25)

И спр-во утв-е : если >0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) :

|f(x,у)- f(x,z)|<= если |x-s|<=, |y-z|<=, ()>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)|

Д-во

Из (25) вытекает |y(x)-f(x,у(x))| =|f(xi,уi)-f(xi,уi)+(x-xi)f(xi,уi))|<= (26)

|x-xi|<=; |x-xi||f(xi,уi)|<=M

При достаточно малом шаге ломаная Эйлера становится  решением

6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера

Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной

т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z| (27)

Вэтом случае |y(x)-f(x,у(x))|=|f(xi,yi)-f(x,yi+(x-xi)f(xi,уi)|<=

( в кач-ве у(х) выбир. отн. Эйлера )

<= k|x-xi|+|x-xi|LM<=(k+) (28)

Восп. соотн. (20)

Пусть сетка будет равномерной

|y(x)-y(x)|<=(((k+ML))/h)(eL|x-x0|-1) (29)

|y(x)-y(x)|<= h(M+k/h)(eL|x-x0|-1) (30)

Оценка (30) наз-ся оценкой первого пор-ка точности. Задаваясь опред. точностью и зная числа k,M,L можно определить h таким обр. чтобы посл. произв. было <. Тогда соотв. и разн. между ф-ей

|y(x)-y(x)|< (32)



Лекция №14.

Линейные колебания.

1)Свободные колебания линейной системы без трения.

2)Свободные колебания линейной системы с трением.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения.

4)Вынужленные колебания линейной системы с трением.

az’’+bz’+cz=h(t) a,b,cR h(t)-комплексная ф-я: f(t)+ig(t) az’’+bz’+cz=f(t)+ig(t) z(t)=x(t)+iy(t) a(x’’+iy’’)+b(x’+iy’)+c(x+iy)=f+ig ax’’+bx’+cx+i(ay’’+by’+cy)=f+ig ax’’+bx’+cx=f(t) ay’’+by’+cy=g(t) если z(t) компл. реш. то его вещ. и мним. части явл. реш-м вещ. ур-й правой части котор.равны соответ. вещ. и мним. az’’+bz’+cz=pe^(iжt) (ж-каппа) L(iж)<>0 z=qe^(iжt)-реш-е ур-я

z’=qiжe^(iжt); z’’=q(iж)^2e^(iжt) (-aж^2+biж+c)qe^(iжt)=pe^(iжt) q=p/(-aж^2+biж+c) z(t)=e^(iжt)p/(-aж^2 +biж+c) p>0 pR Выделим вещ и мним части: z(t)=(cosжt+isinжt)p(1/(-aж^2+biж+c))=p(cosжt+isinжt)(-aж^2-biж+c)/((-aж^2+biж+c)(-aж^2-biж+c)=p(cosжt+isinжt)(-aж^2-biж+c)/((-aж^2+c)^2+(biж)^2)=(коля не дописал).

1)Свободные колебания линейной системы без трения описываются в след. виде: dІx/dtІ+aІx=0 a<>0 (1). kІ+aІ=0-характеристическое ур-е (2) k1,2=+-ia; e^(iat) e^(-iat) x=c1cosat+c2sinat- общее ур-е (3) или запис в след виде x=Asin(at+) A>0 (4) A(sinatcos+cosatsin)(тожд.=) с1cosat+c2sinat Acos=c2 Asin=c1 AІcosІ+AІsinІ=c1І+c2І= значит A=sqrt(c1І+c2І) sin=c1/A cos=c2/A tg=c1/c2 A-амплитуда колебаний a-частота -нач. фаза. aT=2 T=2/a-период колебаний a/2-число кол. в единицу времени. Ур-е (1) часто наз гармонич. осициллятора ’’+(g/l)sin=0, считают что колеб малее, sin=’’+(g/l)=0 (ур-е (1)) aІ=g/l T=2/a=2sqrt(l/g)

2)Свободные колебания линейной системы с трением: dІx/dtІ+2ndx/dt+aІx=0 (5) 0<n<a-сопр. мало n>=a-сопр. велико; kІ+2nk+aІ=0 (6) k1,2=-n+-isqrt(aІ-nІ) sqrt(aІ-nІ)=b Выпиш. компл реш-я (1): e^(-nt+ibt) e^(-nt-ibt) Выпиш вещ реш-я: x=e^(-nt)(c1cosbt+isinbt) c1,c2R (7) x=Ae^(-nt)sin(bt+) (8) Ae^(-nt)-перем. амплитуда b-частота если n мало то b примерно =a. Логорифмич. декремент затухания T=2/b T/2=/sqrt(aІ-nІ); e^(-n(t0+T/2))=e^(-nt0)e^(-nT/2); -e^(-nT/2=n/sqrt(aІ-nІ)-л.д.з.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения: dІ/dtІ+aІx=psint (9) a,p,>0 a-частота собств колеб; p-амплитуда; -частота ;e^(it) надо следить что i=+-ia; *)<>a-нерезонансный случай. x=cost+sint =0=p/(aІ-І) x=Asin(at+)+psint/(aІ-І) (10) – общее реш-е (9); если A и соизмеримы то это период ф-я; если A и несоизм (их отн иррац) то это непериод ф-я; если 0<<a то psint/(aІ-І)-амплитуда; если >a то psin(t+)-амплитуда, говорят в этом случае чтоколебания происходят в противофазе. Частота внеш сил не совпадает с собств частотой; **)если =a-резонансный случай. x=(cost+sint)t (!) если част. реш. (9) исп в виде (!) то =-p/2a и =0 а значит общее реш (9) имеет вид x=Asin(at+)-ptcost/2a (11) ptcost/2a –вековой член из-за него происходит явление резонанса. (коля написал что нету ф-лы (12)).

4)Вынужленные колебания линейной системы без трения: dІx/dtІ+2ndx/dt+aІx=psint (13) 0<n<a Общее реш e^(it) i не совпад с корнями хар ур-я. Резонанса нет. x=Mcost+Nsint для опр-я M,N получаем след систему 2-х ур-й: -2nM+(aІ-І)N=p и (aІ-І)M+2nN=0 (14) M=(-2np)/((aІ-І)І+4nІ) N=((aІ-І)p)/((aІ-І)І+nІ) x=(p/((aІ-І)І+4nІІ))(-2ncost+(aІ-І)sint) (15) І(-2ncost+(aІ-І)sint)- частное реш.; x=(p/sqrt((aІ-І)І+4nІІ))sin(t+) (16) част реш (13); если общ то и этому выр-ю нужно добавить Ae^(-nt)sin(bt+) по истеч большого времени это слагемое быстро убывает (колеб опис ур-м (3)) т.е. происх. с той же частотой что колебания возмущ системы , однако ампл и фаза придержиают опр изм-я. Формально резонанса нет. - полярный угол -/2<<0 if a>; q=/2 if a=; -<<0 if a<.



лекция №1.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и некот. кол-во ее производных назыв. диф. ур.

*порядком д.у. наз. порядок старших произв. входящих в это д.у.

предположем что в пр-ве пер-х x,y,z задана ф-я F на некотор.области G.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и ее первую производную y’(x) назыв. диф. ур. 1-го порядка.

*искомое д.у. явл. ф-я y(x). Если ищем ф-ю одной пер., то ур-е наз. обыкновенным. Если искомой явл. ф-я нескол. пер-х, то д.у. наз. ур-м в частных произв-х (ур-е Лапласа).

*ф-я y=f(x) опред. на некот. интервале наз. решением ур-я если выполняются след. условия:

1.f(x) диф-ма в точке обл. опр. f’(x) не равно оо.

2.x: x,f(x),f’(x) принадлежат области G, на кот.опр-на F(G).

3.x: ф-я f(x) обращ. ур-е в тождество ((x,f(x),f’(x))=0.

*д.у. 1-го пор. разрешенное относит.произв. имеет след. вид y’=f(x,y) (*), где y’=dy/dx dy/dx=f(x,y) y’=dy/dt

*реш-е ур-я 1-го пор.всегда зависит от 1-ой произв. постоянной. Ур-е n-го порядка зав. от n произв. постоянных.

*для того чтобы найти реш-е ур-я(*) проход. через заранее зад. точку ставят начальное усл-е: y(x0)=y0 (**).

*найти реш-е ур-я (*) удовлет. зад. нач. усл-ю (**) означает решить нач. задачу Коши.

Известно что нек. ф-я y=y(x,c) c=const (***) такая что подходящим выбором с из нее можно получитьлюбое реш-е ур-я (*), тогда ф-я (***) наз. общим реш-м ур-я(*), каждое конкретное реш-е ур-я (*) наз. частным реш-м ур-я (*).

если есть представление (***), то реш-е ур-я (*) задано явно; если f(x,y)=0 неявно и ф-я f(x,y)=0

наз. частным интегралом.

*если удалось найти ф-ю f(x,y,c)=(пуст. мн-во), кот. охватывает все частные интегралы, то она наз. общим интегралом.

*д.у. и ф-я зад. общий интеграл эквивалентны f(x,y,y’)=0 и Ф(x,y,c)=0.пусть задано семейство линий ур-м Ф(x,y,c)=0 иначе говоря задан общий интеграл. Для того чтобы восстан. д.у. необходимо ф-ю Ф(x,y,c)=0 продиф. по x Ф’x(x,y,c)+ Ф’y(x,y,c)*y’=0 из этого соотношения нужно выразить произв. пост. с, она будет зависеть от x,y и y’ и затем вернуться к F(x,y,y’)=0.

*д.у. y’=f(x,y) определена на пл-ти (x,y) – фазовая пл-ть.

!!!!!!рис.!!!!!!

1.Зафикс. в области определение ф-и f нек. точку с корд. (x,y).

2.Подставим зн-е ф-и f в зад-й точке f(x,y)=y’=tga.

3.y’=tga через (x,y) проводят отрезок единичной ф-и кот образует угол a с положит. напр. оси x.

4.Теоретически эта процедура проводится в каждой точке области определения ф-и f и получают совокупность единичных отрезков. Эта совокупность и задает поле напрвлений.

*геометр. образ реш-й y=w(x) или его график наз. интегр. кривой, а всевозм. инт.кривые задают фазовый портрет.

известен график реш-я д.у. Зафикс. произв. точку и проведем через нее касательную. Касат. обраует угол b с x; tgb а значит зн-е производной. y’=f(x,y) Т.к. w(x) есть реш-е нашего д.у. то w’(x)=tgb=f(x,w(x))=f(x,y)=tga. Угол a задает наклон поля к точке (x,y).

Особнность: в кажд. т. интегр. кривой касат. и наклон поля совпадают между собой.

*Метод Изоклин:

1.правая часть д.у. приравнивается к постоянной k.

2.задают некот. кол-во зн-й этой пост. k1,k2,…,kn.

3.строят ф-и f(x,y)=ki, i=1..n (ур-е изоклин) кривая – изоклина.

4.по извест. зн-ю ki подсчитывают угол ai кот. задает наклон поля в точках соотв. изоклине.

5.проводят интегр. кривую такую что в точках пересечения ее с изоклиной касательная к ним и наклон поля совпадают между собой.



Лекция №2.

Уравнения с разделяющимися пер-ми.

*пусть ур-е имеет вид y’=f(x) (1) тогда dy/dx=f(x) и предполагая что f(x) определена и непр. на (a,b) можно записать dy=f(x)dx (2), проинтегрируем обе части dy=f(x)dx y=f()d+c (3). Соотнош. (3) задает общ. реш-е ур-я (1) и зависит от одной постоянеой. Иначе общ. реш-е можно запис. в виде

y=(x0,x)f()d+c (4) в этом случае y(x0)=c; в этом случае y(x)=y0+(x0,x)f()d y(x)=y0 (5)

*пусть д.у. имеет вид y’=g(y) (6); ф-я g(y) опр. и непр. в [c,d] предположим что g(y) не обращается в 0; dy/dx=g(y) или dx/dy=1/g(y) (7). В виде (7) ур-е явл. точно таким же ур-е (1) т.е. можно интегрировать: dx=dy/g(y) dx=dy/g(y) x=(y0,y)dy/g(y)+c (8) Представление (7) позволяет сделать x ф-ей y, y-независ. пер.; (8) задает общий интеграл для ур-я (6); x=x0+(y0,y)dy/g(y) y(x0)=y (9); (9) задает частичный интегралдля ур-я (6). Для того чтобы точно проанализировать ур-е (6) выписывают ур-е g(y)=0 (10) теперь можно найти его корни: если y0:g(y0)=0 то ур-е (6) имеет реш-е y=y0. для того чтобы изобразить все интегр. кривые (6) сначала изображают интегр. кривую проход. через т.(x0,y0), остальные получ. сдвигомоси ox, реш-е не выходит из [c,d].

* пусть ур-е имеет вид y’=f(x)g(y) (11) f(x) определена и непр. на (a,b) g(y) опр. и непр. в [c,d] тогдаправая часть опр. в области G, кот. опред. по x интервал[a,b], по y-[c,d] g(y) y неравно 0.

Для реш-я (11) нужно разделить пер-е: dy/dx=f(x)g(y) dy/g(y)=f(x)dx dy/g(y)=f(x)dx+c (12). (12) задает общий интеграл для ур-я (11). Если удается отсюда явно выразить y от x, то получаем общ. реш-е. Предположем что y=(x), ее можно представить в (11): y’=f(x)g((x)) g<>0 y’/g((x))=f(x) (13) Домножим обе части (13) на dx и проинтегр. y’dx/g((x))=f(x)dx dy=’(x)dx ’(x)dx/g((x))=dy/g(y) Замена справедлива если (x) не обращается в 0.


Однородные диф. ур-я.

Ур-е 1-го порядка y’= f(x,y) (1) однородно если f(ax,ay)=af(x,y) (2).

Ур-е n-го порядка однородно если f(ax,ay)=a^nf(x,y).

Если ф-я f(x,y) удолетворяет условию (2) то можно записать x<>0 f(x,y)= f(x*1,x*y/x)= f(1,y/x) = =g(y/x) f(x,y)=g(y/x) f(1,u)=g(u) (3). В силу соотношения (3) ур-е (2) имеет вид y’=g(y/x) (4). Это ур-у не явл. ур-м с разд. пер. но может быть сведено к нему заменой u=y/x (5): y=ux y’=u’x+u подставим в (4) u’x+u=g(u) xdu/dx=g(u)-u du/(g(u)-u)=dx/x (6) проинтегр.(6) g(u)-u<>0

du/(g(u)-u)=ln|x|+c (7) Соотношение (7) задает общий интеграл для ур-я (4) после этого возвр. к x, y. Выпис. ур-е g(u)-u=0 (8) и реш-т, корень ур-я (8) задает реш-е ур-я (1).


Ур-я в диф-лах. A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 (1)-общий вид ур-я в диф-лах. Это ур-е явл. ур-м в полных диф-лах если такая неотр. диф. ф-я u(x,y) что полный диф-л du(x,y)=(x,y)dx+B(x,y)dy du(x,y)=0 (2) в этом случае общий интеграл для ур-я (1) имеет вид u(x,y)=c (3). Пусть задана ф-я u(x,y): u(x,y)/y<>0 тогдаур-е (3) (по теореме о неявн. ф-и) разрешено c. Обозначим реш. этого ур-я через y(x) тогда u(x,y(x))=c (4). Продиф-м по x: u(x,y)/x+y’(x)u(x,y)/y=0 (5) умножим на dx y’(x)dx=dy т.к. u(x,y)/x=A(x,y); (x,y)/y=B(x,y) (6) то y(x) явл. реш-м ур-я (1).

Теорема. Пусть A(x,y), B(x,y) непр. диф. ф-и тогда для того чтобы ур-е (10) было в полных диф-лах Н.иД. чтобы: A(x,y)/y=B(x,y)/x (7).

Док-во: Н. Пусть ур-е (1) – это ур-е в полных диф-лах, тогда справделивы соотношения (9):

A(x,y)/y=(u(x,y)/x)/y=^2u(x,y)/xy; B(x,y)/x=(u(x,y)/y)/x=^2u(x,y)/xy; т.к. ф-я и по предположению непр. и диф. то смеш. производные совпадают, что и доказ. необходимость.

Д. Имеем (7) докажем что (1)- полный диф-л ф-и и u/x=M(x,y) u=(x0,x)Mdx+(y)Подберем (y) так чтобы N=u/y; u/y=(x0,x)dxM/y+’(y)=N(x,y) (M/y=N/x) (x0,x)dxu/x+’(y)=N N(x,y)|(x,x0)+’(y)=N(x,y) ’(y)=N(x0,y) (y)=(y0,y)N(x0,y)dy+c u(x,y)=(x0,x)Mdx+ (y0,y)N(x0,y)dy+c ч.т.д.

Часто ур-е в диф-лах можно привести к ур-ю в полных диф-лах путем умножения на некот. ф-ю m(x,y) m(x,y)A(x,y)dx+m(x,y)B(x,y)dy=0 (8) m(x,y)-интегрирующий множитель.



Лекция №5.

f(x) x[a,b] Говорят что f удовл. условию Липшица если имеет место след. оценка |f(x)-f(y)|<= <=L|x-y| (1) или |f|<=L|x| постоянная L наз. постоян. Липшица. Условие Липшица не означает что ф-я диф-ма (например y=|x|).

Пример: кусочно непр.ф-я , график которой явл. ломанной кривой удолетворяет условию Липшица.

1.Если ф-я диф-ма на отрезке и ее производная ограничена то она удолетв. усл-ю Липшица (причем в кач-ве L можно взять ее точн. верх. грань значения модуля ее производной : L=sup|f(x)| ).

2.Обратно: если ф-я диф-ма и выполнено усл-е Липшица, то модуль производной ограничен.

Док-во:

1.f(x)-f(y)=f’(x+(y-x))(x-y) 0<<1; f(x)-f(y)<=|f’(x+(y-x))||x-y| a<=x<=b

2.|f(x+x)-f(x)|/|x|<=L x0 sup|f’(x)|<=L ч.т.д.

Теорема Коши-Липшица.

y’=f(x,y) y(x0)=y0 D={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b}

!!!!!!рис.!!!!!!

f непрерывна по переменной x и удолетворяет условию Липшица.







6. Дифференциальные и интегральные неравенства.

1)Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

2)Лемма о линейных диф. нер-ах.

3)Т. Райда об интегральных неравенствах

4)Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.


1:) Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

Введём в рассмотрение прямоуг. D+=(x,y): x0<=x<=x0+a, |y-y0|<=b} (1) и рассмотрим на этом прямоуг. ф-ю f(x,y), непр. по совок. перем. удовл усл Липшица по второй перем. По Т. Коши-Липшица  начальная задача y’=f(x,y) x0<=x<=x0+a (2) имеет ед реш на [x0,x0+a].

Т. Чаплыгина: Пусть дифференциал ф-ии U(x): U’(x)<=f(x, U(x)) x0<=x<=x0+a (3) U(x0)<=y0 (4). Пусть ф-я V(x) явл решением нач задачи V(x): V’(x)=f(x,V’(x)), x0<=x<=x0+a (5), V(x0)=y0 (6), тогда U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a. Здест ф-я f(x,y) опр в прямоуг. D+ и обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Д-во: предп сначала, что вып строгое н-во: U’(x)<f(x,U(x)), x0<=x<=x0+a. U(x0)<y0=V(x0) => U(x0)<V(x0). Посл н-во по непр-ти вып в нек правой полуокрестности т х0, т.е. на x0<=x=x0+a(надо пок-ть, что U(x)<V(x).

Предп. противное. Тогда  x1, такая, что U(x1)>=V(x1). Таким образом между х0 и х1  такие х, в кот U и V совпадают. Обозн кажд из этих точек через х*: U(x*)=V(x*). Ограничимся рассмотрением инт x0<=x=x*. Имеем:

_ U(x)<V(x)

U(x*)=V(x*)

Получ:

U(x)-U(x*)<V(x)-V(x*) |:(x-x*)

(U(x)-U(x*))/(x-x*)>(V(x)-V(x*))/(x-x*)

и перейд к lim при xx*

U’(x*)>V’(x*) (*)

V’(x*)=f(x*,U(x*))=f(x*,U(x*))>U’(x)

V’(x*)>U(x*) (**)

Н-ва (*) и (**) противоречат друг другу, что и доказывает строгое н-во U(x)<V(x) x0<=x<=x0+a. Предположения U’(x)<=f(x,U(x)), U(x)<=V(x) опр на прямоугольнике D+ ф-ю g(x,y) по след правилу: g(x,y)=f(x,y), if y>=U(x), и g(x,y)=f(x,U(x)),ф if y<U(x). g(x,y) непр по совок перем и удовл усл Липшица по 2-й перем, с той-же пост, что и f(x,y). Введём в рассмотрение ф-ю W(z), как реш нач зад W’(x)=g(x,W(x)), x0<=x=x0+a (7).W(x0)=y0 (8). Ф-я V(x)  и опр-ся единственным образом. Н-но пок-ть, что U(x)<=W(x), x0<=x=x0+a (9). U(x0)<=y0<=V(x0). Предп, что (9) не вып-ся на всём [x0, x0+a], т.е. х1, для кот U(x1)>W(x1) между х0 и х1, х* в котор U(x*)<W(x*). Ограничимся теперь рассмотрением отрезка [x*, x1] на этом отрезке. W(x)<U(x). Введём в рассморение ф-ю (х)=U(x)-W(x)>0, x(x*,x1]. ’(x)=U’(x)-W’(x)<=f(x,U(x))-g(x,W(x))=f(x,U(x))-f(x,U(x))=0. Т.о. ’(x)<=0 => ф-я (х) невозр, поэтому (x)<=0. Получили против. Знач верно (9). Ф-я g(x,W(x)) при условии W(x)<U(x)) совпадает по построению с f(x,W(x)). Поэтому W’(x)=f(x,W(x)) (10).

W(x0)=y0 (11). По теореме Коши – Липшица ф-ии W(x) и V(x) совпадают на x0<=x<=x0+a => U(x)<=V(x). Теоремка док-на!!!

2:) Лемма о линейных дифференциальных нерав-ах.

 a(x) и b(x) непр и опр на x0<=x<=x0+a. Пусть диффер ф-я U(x) удовл н-ву: U’(x)<=a(x)U(x)+b(x) (12), U(x0)<=y0 (13). Тогда справедлива оценка:

U(x)<=y0e(x0..x)a(V)dV+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds (14)

Д-во: Определим ф-ю f(x,y)<=a(x)y+b(x). Эта ф-я непрерывна и удовл условию Липшица по 2-й переменной: f(x,y)/y=a(x), |a(x)|<=L, т.к. a(x)-непр. Обозн через G(x) реш нач зад, V’(x)=a(x)V(x)+b(x), x0<=x<=x0+a (15), V(x0)=y0 (16), в этом случ вып-ны все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах, поэтому: U(x)<=V(x) на [x0;x0+a], и тем самым н-во (14) д-но. Предп теперь, что a(x)<=a, b(x)<=b. Н-во прин вид: U’(x)<=aU(x)+b (17). U(x0)<=y0 (18) и для U(x) справ-ва оценка: U(x)<=y0*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (19)

3:) Т. Райда об интегральных неравенствах

Предп, что на D+ определена ф-я f(x,y) непр по совок перем, удовл усл Липшица по втор перем, и не возр по 2-й перем, т.е. f(x,u)<=f(x,V), if U<=V. Пусть непр ф-я U(x) удовл инт н-ву: U(x)<=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (20), x0<=x<=x0+a. Пусть непр ф-я V(x) явл реш V(x)=y0+(x0..x)f(s,V(s))ds (21), V(x0)=y0 (22), тогда ф-я U(x)<=V(x), x0<=x<=x0+a.

Д-во: Обозначим через W(x) правую чать неравенства (20). W(x)=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds, => U(x)<=W(x). Т.к. U(x) явл решением (21), то она удовл диф ур-ю: W(x)=f(x,U(x)), т.к. U(x)<=W(x), и ф-я f не возр по втор перем: V’(x)<=f(x,W(x)), функц W(x) удовл дифуре: W’(x)=f(x,U(x)) – вып все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах => V(x)<=W(x) на x0<=x<=x0+a.

Теорема доказана.

4:) Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Пусть a(x), b(x) непр на [x0;x0+a] и пусть a(x)>=0, и пусть ф-я U(x)<= y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (23), тогда спр-во и др н-во:

U(s)<=y0e(x0..x)a()d+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds (24)

Д-во: определим функцию f(x,y)a(x)y+b(x). Она непр и удовл усл Липш и невозр по втор перем. f(x,y)/ya(x)>=0. Опр ф-ю, как реш ур-я V(x)=y0+(x0..x)(a(s)V(s)+b(s))ds (25), V(x0)=y0. По теореме Райда, U(x)<=V(x), и V’(x)=a(x)V(x)+b(x) (26), V(x0)=y0 (27). Решение нач зад (26)-(27) определяется ф-ой V(x)=x0*e(x0..x)a()d+(x0..x)e(s..x)a()d*b(s)ds, что и доказ лемму.

Если a(x)<=a>=0, b(x)<=b, тогда U(x)<=y0+(x0..x)(aU(s)+b)ds (29) и спр оценка сверху U(x)<=y*ea(x-x0)+b/a*(ea(x-x0)-1) (30)



11. Линейные однородные диф. ур-я n-го порядка с пост коэф(случ прост корней).

1)Хар мн-н и мет Эйлера

2)Комплексная теорема об общем решении

3)Выделение вещественного решения из комплексного

4)Вещ теор об общ реш.


1:) Хар мн-н и мет Эйлера

y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (1) – лин диф ур-е n-го порядка; a1,a2,...,anR или С. Из нелок теор -я ед-ти, для нач усл вида y(x0)=y0,...,y(n-1)(x0)=y0(n-1). Ур-е (1) имеет ед реш, и это реш определено на всей числовой прямой. y=ex (2), буд искать реш-я (1) в таком виде, где  подлежит определению. y=ex, y’=ex, y(n)=nex; (n+a1n-1+...+an)ex=0, ex0. n+a1n-1+...+an=0 (3). Решение вида (2) -ет тогда и только тогда, когда -ют корни (3). Это уравнение называется характеристическим, а его корни наз-ся характеристическими корнями, а мн-н характеристическим. Согласно основной теореме алгебры, мн-н n-ой степени имеет n-корней, считая кажд корень столько раз, какова его кратность. 1,...,n. (4). Каждый из корней даёт решение (1). e1x,..., enx (5). If все корни простые, то в (5) запис n-разл реш-ий (1). Если корни кратные, то в (5) будут повторяющиеся решения, и напис решений будет недостаточно.

2:) Теорема об общем комплексном решении:

Пусть хар-е корни (4) попарно – различны, т.е. все корни являются простыми: y=c1e1x+...+cnenx, где ci – произв компл числа для i=1..n.

Д
-во:
Н-но д-ть, что ф-ии (5) образ фунд сист, т.е. что ф-ии (5) лин.-нез. Посчитаем вронскиант (5):(от меня: Л=): (7)

=>(5) явл фунд. Теор д-на

3:) Выделение вещественного решения из комплексного.

Пусть зад (1), когда a1,...,anR. If -корень (3), =+i, то -=- i так-же корень этого ур-я. 2j-1=j+ij, 2j=j-ij,j=1,..,k (8). Т.о. охватывается 2k-корней, остальные вещественные: 2k+1,...,nR. Полученные вещ реш ур-я (1). Выдел вещ реш-я из компл: y2j-1(x)= e(2j-1)x; y2j-1(x)= e(2j)x; y2k+1(x)= e(2k+1)x; yn=enx; (9). y=c1y1(x)+c2y2(x)+...+c2k-1y2k-1(x)+c2ky2k(x)+ c2k+1y2k+1(x)+..+cnyn(x)(=) (10). Ф-я вида (10), получ из (9), явл вещ тогда и только тогда, когда произв пост при компл-сопряж реш-ях комплексно сопряжены, а при веществ – нет.с-1=с2;...; с-2k-1= с2k; с-2k+1= с2k+1­; с-n= сn. (11). y(x)=y-(x). Если (10) даёт вещ реш (???), то (=)c-1y-1(x)+c-2y-2(x)+...+ c-2k-1y-2k-1(x)+ c-2ky-2k(x)+ c-2k+1y-2k+1(x)+...= c-1y2(x)+c-2y1(x)+...+c-2k-1y2k(x)+c-2ky2k-1(x)+c2k+1y2k+1(x)+... Чтобы y(x)=y-(x), н. и д., чтобы совп коэф, т.е. вып-сь (11).

4:)Вещ теор об общ реш:

Пусть (1) имеет вещ коэф. Пусть корни хар уравнения занумер так, как указ в (8).Тогда общее вещественное решение (1) имеет вид: у=e(1)x(a1*cos 1x+b1sin 1x)+...+ e(k)x(ak*cos kx+bksin kx)+c2k+1e(2k+1)x+...+ cne(n)x (13). a1,...,an,b1,...,bn­­,c2k+1,...,c2nR.( От себя: (k)x=kx, c-=c(с чертой) и т.п.)

Другая форма записи:

=+i. C=Ѕei

cex+ c-e(c чертой)x=excos(x+) (14)

Пусть коэф (1) явл вещ числами. Пусть корни хар ур-я явл простыми и занум, как в (8). Тогда общ вещ реш-е (1) м-но записать в виде: y=1e(1)xcos(1x+1)+...+ke(k)xcos(kx+k)+c2k+1e(2k+1)x+cne(n)x (15)

0<1,..,kR; 1,..,kR; c2k+1,...,cnR



12. Лин однор дифуры(ЛОДУ) n-го порядка с пост коэф (случ кратн корней).

1)Хар ур-е и мет Лагранжа

2)Ф-ла смещения

3)Теор об общ компл реш-ии

4)Теор об общ вещ реш-ии


1:)Хар ур-е и мет Лагранжа

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка с пост коэф: y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (1). a1,...,anR или C. Сопост этому ур-ю хар ур-е: L()=n+a1n-1+...+an=0 (2). По осн теор алгебры мн-н имеет n-корней, если кажд корень считать столько раз, какова его кратность. 1,...,n; k1+...+ks=n (3). k1,..,ks-кратность. L()=(-1)k1(-2)k2... (-s)ks­­­ (4). Рассм след сист ф-ий: y1(x)=e[1]x; y2(x)=xe[1]x;...; yk[1](x)=xk[1]-1e[1]x; yk[1]+1(x)=e[2]x;...; yk[1]+k[2](x)=xk[2]-1e[2]x;...; yk[1]+...+k[s-1]+1(x)=e[s]x; yk[1]+...+k[s-1]+2(x)=xe[s]x; yn(x)=x[s]-1e[s]x. (5) Это лин-нез решения. Их n штук. Идея Лагранжа: (e(+)x-ex)/xex.

2:)Ф-ла смещения.

Пусть p=d/dx;Это дифференциальный оператор. Тогда (1) прин вид: L(p)y=0 (6)  dn/dxn+a1(dn-1/dxn-1)+...+an. L(p){exf(x)}= exf(x)L(p+) (7).

L(p)=ap+b. L(p){exf(x)}=a*(d/dx)f(x)exf(x)+bexf(x)=a(exf(x))+exf(x)*(d/dx)+bexf(x)=

=ex{apf(x)+af(x)+bf(x)}=exf(x){a(p+)+b}=exf(x)L(p+);

L(p)=M(p)N(p)

L(p){exf(x)}=(M(p)N(p)){exf(x)}=M(p)(N(p){exf(x)})=

=M(p){exf(x)N(p+)}=exM(p+){N(p+)f(x)}=exf(x)(M(p+)N(p+))=

=exf(x)L(p+); j(x)=exxj; j=0,1,...,k-1 (8).

Докажем, что кажд из ф-ий в (8) явл реш-ем (1). L(p)=M(p)(p-)k; L(p)(x)=L(p){exxj}=exxjL(p+)(=) использовалась формула смещения (=)exxjM(p+)pk=0, т.к. pkxj=0. pkxj=0, if k>j; pkxj=k!, if k=j; pkxj=j(j-1)...(j-k+1)xj- k,if k<j (9). (5) является решением (1). L(p)j(x)=0, при x=x0, j=0,1,...,k-1 (10).(???)

L(p)1(x)=exL(p+)1(x)=exM(p+)plj(x)=0, x=x0, ex00. Рассмотрим l>=k, тогда м-но взять ф-ю l(), тогда pll(x)=l! и M(p+)l!=0. Пусть p=0, тогда M()0.


3:)Теор об общ компл реш-ии

В
уравнении (1) общее комплексное решение имеет вид: c1y1(x)+...+cnyn(x) (11), где c1,...,cnC-произв, а у1,...,уn приведены в (5). e[1]xf1(x)+e[2]xf2(x)+...+e[s]xfs(x), ( От себя: Л= в матрице)


Это означает, что между строками определителя  лин зав-ть. Умнож каждый столбец на (bn-1,bn-2,...,b0) (От себя: эту строку надо записать как столбец). M(p)=b0pn-1+b1pn-2+...+bn. M(p)yj(x)=0, при x=x0 (13). M(p)=j(x), при x=x0=0; j=0,1,...,kj-1; =j.

1 является корнем M(p), кратности k1;

.................

s является корнем M(p), кратности ks; => кратн n-1, => k1+...+ks=n, а этого быть не может.


4:)Теор об общ вещ реш-ии

Если коэффициенты вещественные, то если есть корни =+i; -=-i, 0 кратн k. Компл корню  кратности k отвечает группа решений: ex(a1cos x+b1sin x+x(a2cos x+b2sin x)+...+xk-1(akcos x+bksin x)); a1,..,an,b1,...,bnR.

ex(1cos(x+1)+x2cos(x+2)+...+xk-1kcos(x+k); 1,...,k>0; 1,...,n-const.(15)

Если же корень R, то ему отвечает группа решений след вида: ex(c1+c2x+...+ckxk-1) (16). Для того, комплексные решения давали вещественное необх и дост, чтобы при компл произв пост были компл сопряжены, а при вещ – вещественно.



Лекция 8


Линейные однородные диф-уры 1го пор-ка с перем. коэф.


1.Нелокальная Th я и единств нач. задачи. Понятие дифер. опер-ра.


Лин. однородн. ДУ n-го пор-ка с перем коэф наз-ся ур-е след вида :

y­­(n)+a1(x)y­­(n-1)+..+an(x)y=0 (1)

Ф-ии a1(x)…an(x) опр-ны и непр-ны на одном и том-же интрвале (a;b) Ур-е (1) наз-ся приведенным если при старшей произвв стоит 1. Решением ДУ (1) наз n hfp непрерывная диффер. фун-ия y(x) кот в кажд. (.) (a,b) удовл. однор. ур-ю (1) Общ. реш. однородн. ур-я (1) зависит от n произв. постоянных. Для того чтоб выделить 1 частное реш-е необх задать n штук нач. условий

Пусть х0  (a,b)

g(x­0)=y0 y(x0)=y0… y(n-1)­­(x0)=y0n

услов. отлич-ся от нач-го наз-ся краевым

Для нач. задачи (1)-(2) спр-ва нелокальная Th: если ф-ии a1(x)…an(x) непр в (a,b), то в нач. задаче (1)-(2)  единств. реш-е и его можно считать опр-ым на (a,b). Из этой Th =>ет однор. ур-е (1) всегда имеет нулевое реш-е кот удовл. нулевым начальным условиям y(x0)=0 y(n)(x0)=0

Спр-во и обратное: если какое-либо реш-е (1) удовл. нул. нач усл то это реш-е есть тождественный ноль.

Реш-е однор ур-я (1) обл. след. св-ми : 1)  реш-ий онор. ур-я есть снова реш- однор ур-я

2)  реш-е (1) умнож на const это тоже реш-е однор ур-я обозн. через с(n)(a,b) совок. всех n-раз непр. дифер ф-ий. Через с(a,b) – пространство непр-ых фун-ий. Обозн через L[y](x)=y(n)-a1(x)y(n-1)+..+any (3)

L перевод. с(n)(a,b) в с(n)(a,b)

(с(n)—L C(a,b))

L[y] наз лин. дифер опер-ом n-го пор-ка. Оперор L обл. след св-ми:

1. L[y+z]=L[y]+L[z] аддитивность(4)

2. L[cy]=cL[y] (5) однородность (5)

Исп. св-ва (4)-(5) диф. опер-ра докажем св-во реш-я однор ур-я (1)

1.Пусть y(x) и z(x) 2 реш-я ур (1)

Покаж что у(х)+z(x) так-же реш-е L[y+z]=L[y](x)+L[z](x)=1

L[y]=L[z]=0 => L[y+z]=0

2.Пусть y(х) реш-е ур-я (1) L[y]=0 L[cy]=cL[y]=0 ч.т.д.


2. Лин. зав-ть Матрица Вронского

П. зад. система ф-ий

y1(x)…yk(x) (6)

Гов-т что такая система ф-ий явл. лин. независ-ой если  набор чисел  с1…сk среди котор не все =0 и лин комб.

с1y(x)+..+ckyk(x)=0 x  (a,b) (7)

если из (7) вытекает что все числа c1…ck=0, то (6) наз лин независ. Предп. далее что кажд. ф-я в (6) имеет произв. до (n-1) пор-ка включительно. Сост. матрицу след. вида (8).


W(x)=|Y(x)|(9)

Матр. Y(x) наз матрицей Вронского. Опредилитель такой матр. наз опр-ем Вронского.

Утв. 1: если ф-ии в системе (6) явл. лин. завис. и при этом k=n то матр. Вронского явл. вырожденной при х или столбцы этой матр. лин. завис.

Док-во

 с1…сn : с1y1(x)+c2y2+..+cnyn(X)=0 (10)

продиф. (10) n-1 раз

система из (n-1) ур-й:

c1y1’(x)+…+cnyn’(x)=0

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=0


Последние соотн. можно переписать иначе:


( строки переписать в столбцы)

c1(y1(x),y1’(x)..y1(n-1)(x))+… +c1(yn(x),yn’(x)..yn(n-1)(x))+=0 (11)


Соотн. (4) и доказ. лин. завис столбцов матр Вронского


3 Фунд. система решений


Расм системк из n реш-ий однор ур-я (1)

y(x1) y2(x)…yn(x) (12)

Такая система ф-ий наз. фунд. если это ф-ии лин. независ между собой. Эти ф-ии реш-е однор. ур-я 2) Их обязат. n штук 3)Лин. независ. они

Докаж что фун. сист реш-ий ет. Выберем произв. квадратичную невыраженную матр.


Определим ф-ии y1(x)…yn(x), так что y1(х0)=y01 yn(x0)=y0n

y1(х0)=y01

y(n-1)1(x0)=y0(n-1)1

По нелокальной Th эти ф-ии  и они лин независ т.к. в противном случае столбцы матр. Y(x) буд. лин. завис между собой, что противоречит предп. что Y0

Пришли к противореч. ЧТД

Утв2: Если ф-ии в сист (12) лин. независ , то опр Вронского ни в одной точке не обр. в 0. Для произв. сист. ф-ий это утв. неверно.

Д-во Пусть ф-я y1(x)…yn(x) лин. независ , но  х0(a,b) котор W(x0)=0.Тогда можно зап-ть след сист.  c1…cn:

система из (n-1) ур-й (14):

c1y1(x0)+…+cnyn(x0)=0

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=0

……………………………………………………

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=0

Эта сист. для нах-я констант т.к. они явл. неизв. обознач. через с1,с2…сn реш-е системы (14) это реш-е ненулевое и оно , т.к. определитем этой системы явл. опред-ль Вронского

y0 (x)=c01y1(x)+c02y(x)+…+c0nyn(x) (16)

Если нач. усл. для этой ф-ии y0 (x0)=0 y(x0)=0 y(n-1)(x0)=0

y(x0)0 (*)  c01y1(x)+…+c0nyn(x)0 (16)

По сл-ю из нелокальной Th ф-я котор удовл нул нач есть тожд 0 т.е. (*) что противоречит лин зав ф-ии y1…yn ЧТД


4 Th об общем решении :

Пусть y1…yn это фунд сист реш-ий однородн ур-я (1) Тогда  реш-е этого ур-я можно предст. в виде лин комб.:

y(x)= c1y1(x)+…+cnyn(x) (17) в котор с1...сn однозначно опр-ся выбором реш-ий y1(x)..yn(x)

Д-во

 комб. реш-я однор ур-я это есть реш-е однородн ур-я =>  из реш-ий представимо ввиде:

Пусть x0 нек. точка из (a,b) Рвссмотр. сист лин неоднородн ур-ий след вида:

c1y1(x0)+…+cnyn(x0)=y(x0)

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=y’(x0)

……………………………………………………

c1y1(n-1)(x)+…+cnyn(n-1)(x)=y(n-1)(x0)

Определителем этой системы явл W(x0)<>0 Сист (18) имеет нек решение :  1…n по этим числам можно сост-ть ф-ю

y0 (x)=c01y1(x)+c02y(x)+…+c0nyn(x) (19) и нетрудно заметить что нач. усл. для Y(х) и для y0(x) cовпад.Между собой.

Тогда 2 ф-ии удовл. одним и тем-же нач усл. по Th единственности совпад всюду

y(x)y0(x) ЧТД



Лекция 4

1 Лин диф ур.

х=a(t)x+b(t) – ур-е такого вида наз ЛДУ

a(t) и b(t) непр в инт-ле (a,b) Нужно найти такое реш-е t0: (2) x(t0)=x0 t0(a,b)

x=a(t), b(t)0 (3) однор ур-е

dx/dt=a(t)x; dx/x=a(t)dt ∫dx/x=∫a(t)dt

ln|x|=ln|c|+(t0,t)∫a(s)ds

|x|=|c|e^((t0,t)∫a(s)ds)- реш-е сохр знак!

x=ce^((t0,t)a(s)ds) (4)! сR

Т.к. при с=0 x(t)=o то (4) дает общ решен. однородн ур-я(3)

x(t)=x0e^((t0,t)a(s)ds)) (5)!

Ур-е вида (1) наз неоднордн а (2) это однор, соотв неоднор вида(1)

Метод Лагранжа реш ур-я (1) вариаций произвольной постоянной.

Реш ур-я (1) ищется в виде (4) где С- не конст а некот ф-я (вариируем произв. пост. С)

x=c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds)) (6)

c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))+a(t)c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))a(t)c(t)e^((t0,t)∫a(s)ds))+b(t)

c(t)= (e^(-(t0,t)∫a(s)ds)))b(t)

c(t)=c+(t0,t)∫(e^(-(t0,)∫a()d)))b(s)ds

x=ce^((t0,)∫a()d)+(t0,t)∫e^[((t0,t)∫a()de^((t0,)∫a()d)]b(s)d(s)

(t0,t)∫-(t0,)∫=(t0,)∫+(,t)∫-(t0,)∫=(,t)∫

Общий вид фор-лы реш (1)

x=e^((t0,t)a(s)ds)+ (t0,t)e^((t0,)a()d)b(s)ds (7)-реш-е(1)

x=x0e^(t0,t)a()d+(t0,t)e^((t0,)a()d)b(s)ds (8)-реш-е(2)

Проанализир. структуру ф-лы (7)

В(7) перв. слаг это общ реш однородн. ур-я а второе слаг это частн реш-е неоднор ур-я (1)

Т.о. общ реш неоднородн ур-я складов. из общего реш соотв однородного ур-я и частного реш неоднородного ур-я


3 Ур-е Бернули

Одно из немногих ур-ий котор м.б. проинтегрировано.

ДУ м.б. проинт. если его общ реш-е можно представить через элементар. ф-ии и операции интегрир

ДУ бернули наз ур-е вида

x=a(t)x+b(t)x^ (9)

a(t) и b(t) непр на (a,b) -конст

если =0 то получ ЛНДУ(не однор)

если =1 то получ ЛОДУ (однор)

x/x^=a(t)(x/x^)+b(t);

(d/dt)(x^(1-))=(1-)(1/x^)x

(1-)(x/x^)=(1-)a(t)x^(1-)+(1-)b(t)

(d/dt)(x^(1-))=(1-)a(t)x^(1-)+b(t)(1-)

y:=x^(1-) (10)

y=(1-)a(t)y+b(t)(1-) (11)

Для новой перем у соотв ДУ явл неоднор

Согластно ф-ле (7)

y=ce^[(1-)((t0,t)∫a()d)]+ (t0,t)∫e^[(1-)((t0,)∫a()d)d]b(s)

x=y^(1/(1-))

(12) x={ce^[(1-)((t0,t)∫a()d)]+ (1-)(t0,t)∫e^[(1-)((t0,)∫a()d)d}b()}

Далее для реш нач задачи из этой или (8) ф-лы

x(t)={(x0^(1-))e^[(1-)(t0,t)∫a()d]+(1-)(t0,t)∫e^[(1-)(,t)∫a()d]b(s)ds}^1/(1-) (13)


4 Ур-е Риккати и рез-т Лиувилля

x=a(t)x^2+b(t)x+c(t) (14)- ДУ Риккати

Она не интегрир. (в квадратурах) этот факт был доказан Лиувиллем {кто ему такую фамилию придумал? Блин убил бы!!!}

a0x^n+a1x^(n-1)+…+an=0

n=2 квадр. ур-е

n=3 ф-лы Корделло

n=4 сведение к кубич ур-ю

если n>=5 то не общ ф-лы реш-я такого ур-я

Рассмотр. 914) тогда его коэф –конст.

x=ax^2+bx+c (15) a,b,c-const

D=b^2-4ac

1.Пусть D>0 тогда кв ур-е имеет 2 корня

ax^2+bx+c=0

x+_=(-b+_sqrt(D))/2a

если a>0 то кривульки напр. вверх

2.D=0 x+=x-

3.D<0 то  2 компл. корня а кв ур в 0 не обращ-ся



Ликция 9


Лин однородные диф-уры n-го пор-ка с перем коэф.

y+p(x)y+g(x)y=0

фор-лы для реш-я этого ур-я не

x(d2y/dx^2)+dy/dx+xy=0 – ур-е Бесселя

d^2y/dx^2+(1/x)(dy/dx)+y=0 x<>0

Одно из решений ур-ий Бесселя имеет вид:

y=1-x^2/2^2+x^4/((2^4)(4^2))+…+(-1)^n(x^2n/[(2^2)(4^2)…(2n)^2]+2*4*...2n=(2n)!!

1.Опр-ель Вронского и фор-ла Лиувилля

Рассм ЛДУ 1-го пор-ка с перем коэф:

y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y=0 (1)

где (a1…an)(x) непр на нек (a,b) числ прямой

Выпишем какую-либо систему этих решений из ур

y1(x),y2(x)…yn(x) (2) и состав опред. (3) W(x)=


опр-ль Вронского или вронскиант.

Для опр-ля Вронского имеет место след ф-ла W(x)=e^[-(x0,x)∫a1(s)ds]W(x0)

Д-во:

Правило: Производная опр-ля  n-опр-ей в 1ом из котор продифер эл-ты 1 строки а ост. без изм. во 2м опр продиф эл-ты 2ой строки а ост без измен и т.д. до n-го пор-ка


{(то что в | | таких скобках это столбцы)}

|b1,b2..bn|=|b1,b2,…bn|+|b1,b2…+bn|+…+|b1,b2,…bn|


возм. y(x)(y1(x)…yn(x))=>

y(x)=(y1(x),… yn(x))

y(n)(x)=(y(n)1…y(n)n)


W(x)=|y(x),y(x),…y(n-1)(x)| W(x)=|y(x),y(x)… y(n-1)(x)| + |y(x),y(x)… y(n-1)(x)|+…+|y(x),y(x)… y(n-2)(x), y(n)(x)|

{||-столбцы!!!!}


y(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x)=0

y(n)(x)=a1(x)y(n-1)(x)-…-an(x)y(x)


W(x)=|y(x),y(x),y(x)…(-a1(x) y(n-1)(x)-an(x)y(x)|=|y(x),y(x)...-a(x) y(n-1)(x)|+|y(x),y(x),y(x),…-a2(x) y(n-2) (x)|+…+|y(x)…-an(x) y(x)|=-a(x)|y(x)…y(n-1)(x)|-…-an(x)|y(x)…y(x)|


W(x)= -a(x)W(x) (5)

Интегрир (5) придем к (4)

W(x)=e^(-(1,x)∫(1/s)ds); W(x0)=(1/x)W(x0)


2 Восстановлен диф-уры по известн фунд-ой системе


y1(x)…yn(x) (6)- система n-раз непр. диф-ых ф-ии , опред. Вронского которой W(x)<>0 на a<x<b (7)

Треб. построить диф ур-е, фунд сист совп бы с (6)

Ответ дается след обр:


(8)


Тоже опр-ль Вронского, но для W{y1(x)…yn(x),y}<>0

Если раскрыть напис здесь опр-ль n+1 порядка по эл-ам

n+1 стороки, то мы перейдем к диф-ю 1-го пор-ка W(x)y(n)+…=0


3 Понижение пор-ка ур-я при известных частн реш-ях


Рассмотр ДУ(1) и предп. что имеет частное реш-е y0(x)<>0

a<x<b (10)

Введем замену y=y0(x)U (11)

y=y0(x)U+y0(x)U

y=y0(x)U+2y0(x)U+y0(x)U…

y(n)= y0(n)(x)U+Cn y0(n-1)+…+y0(x)U(n)

Помножив соответственно на an(x), an-1(x)…a1(x),1

И сложим почленно:

{y0(n)(x)+a1(x)y(n-1)0 (x) +…+an(x)y0(x)0}

y0(x)U(n)+…(что-то)..+U(n-1)+..+( y0(n)(x)+a1(x)y(n-1)0 (x) +…+an(x)y0(x))U0

Введем замену z=U (12)

z(n-1)+b1(x) z(n-2)+…+bn-1(x)z=0 (13)

Порядок понизился на 1 и стал n-1

если известн. k реш-ий, то можно получить понижение на к и получить ф-лу n-k

y(x)=y0(x)(x0,x)∫z(s)ds (14)

Связь реш-я (1) с реш-ем (13) Выделенное реш-е это не y0 а yn

Предположение: Пусть : z1(x)…zn-1(x) фунд сист реш-ий однор ур-я (13) Тогда ф-ии {y1(x)yn(x)(x0,x)∫z1(s)ds, y2(x)yn(x)(x0,x)∫z2(s)ds,…., yn-1(x)yn(x)(x0,x)∫zn-1(s)ds

yn(x)} (16)

пусть нек лин ком-я ф-ий сист (16)

равна нулю, т.е.  C1…Cn-1,Cn

C1y1(x)+…Cn-1yn-1(x)+Cnyn(x)0

yn(x)(c+(x0,x)∫z1(s)ds+…+cn-1(x0,x)∫zn-1(s)ds+cn=0

По усл уn(x)<>0 => на нее можно сократить и продиф остав. выр-е:

c1z1(x)+…+cn-1zn-1(x)=0 => c1=…=cn-1=0 =>

cnyn(x)=0 => cn=0 т.к. yn(x)<>0


4---------------

y+p(x)y+g(x)y=0 (17)

Пусть z=y/y , y<>0 (18)

y/y+p(x)y/y+g(x)=0 y=zx y=zy+zy;

z+zy/y+p(x)y/y+g(x)=0 (19)

получидли ур-е Риккати (нелин-е)


5-----------

Если частн. реш-е (17), то после понижения получ ур-е 1-го пор-ка

y2(x)=y1(x)(x0,x)∫1/(y12(s))e^[-(x0,)∫p()d]ds (20)



Л1

1.Общее дифференциальное ур-я и их решения.

2.Задача Коши.

3.Частное однородное решение. Частный интеграл.

4.Составление ДУ.

5.Геометрическая интерпритация. Поле интегральной кривой.

6.Метод изоклин.

Л2

1.ДУ с разделяющимися переменными.

2.Однородные ДУ.

3.ДУ в полных дифференциалах.

Л4

1.Линейное ДУ.

2.Формула задачи Коши.

3.Уравнение Бернулли.

4.Уравнение Риккати. Результат Луивиля.

Л5

1.Условие Липшица.

2.Теорема Коши-Липшица.

3.Метод последовательных приближений.

4.Оценка погрешности метода последовательных приближений.

Л6

1.Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

2.Лемма о линейных диф. нер-ах.

3.Т. Райда об интегральных неравенствах

4.Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Л7

1.Определение  решения.

2.Теорема единственности и оценка разности решений.

3.Зависимость от правой части.

4.Оценка разности между  решениями.

5.Метод ломанных Эйлера.

6.Оценка погрешности метода ломанных Эйлера.

Л8


1.Нелокальная теоремма существования и единственности начальной задачи. Понятие дифференциального опер-ра.

2.Линейная зависимость. Матрица Вронского.

3.Фундаментальная система решений.

4.Теорема об общем реш-нии.

Л9

1.Опр-ль Вронского и формула Лиувилля.

2.Востоновление ДУ по известной фундоментальной системе.

3.Понижение порядка уравнения при известных частных решениях.

4.ДУ второго порядка.

Л10

1.Теорема я и ед-ти решения нач задачи

2.Теорема об общем решении

3.Метод Лагранжа вариации произв пост

4.Ф-я Коши и её св-ва

Л11

1.Хар мн-н и мет Эйлера

2.Комплексная теорема об общем решении

3.Выделение вещественного решения из комплексного

4.Вещ теор об общ реш.

Л12

1.Хар ур-е и мет Лагранжа

2.Ф-ла смещения

3.Теор об общ компл реш-ии

4.Теор об общ вещ реш-ии

Л13

1.Квазимногочлены и их свойства

2.Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3.Правило нахождения частного решения в резонансном случае

Л14

1.Свободные колебания линейной системы без трения.

2.Свободные колебания линейной системы с трением.

3.Вынужленные колебания линейной системы без трения.

4.Вынужленные колебания линейной системы с трением.

Л15

1.Пример краевой задачи.

2.Тождество Лагранжа и формула Грина.

3.Существование и единственность ф-ии Грина краевой задачи.

4.Представление решения краевой задачи через фун-ю Грина.



Л1

1.Общее дифференциальное ур-я и их решения.

2.Задача Коши.

3.Частное однородное решение. Частный интеграл.

4.Составление ДУ.

5.Геометрическая интерпритация. Поле интегральной кривой.

6.Метод изоклин.

Л2

1.ДУ с разделяющимися переменными.

2.Однородные ДУ.

3.ДУ в полных дифференциалах.

Л4

1.Линейное ДУ.

2.Формула задачи Коши.

3.Уравнение Бернулли.

4.Уравнение Риккати. Результат Луивиля.

Л5

1.Условие Липшица.

2.Теорема Коши-Липшица.

3.Метод последовательных приближений.

4.Оценка погрешности метода последовательных приближений.

Л6

1.Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

2.Лемма о линейных диф. нер-ах.

3.Т. Райда об интегральных неравенствах

4.Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Л7

1.Определение  решения.

2.Теорема единственности и оценка разности решений.

3.Зависимость от правой части.

4.Оценка разности между  решениями.

5.Метод ломанных Эйлера.

6.Оценка погрешности метода ломанных Эйлера.

Л8


1.Нелокальная теоремма существования и единственности начальной задачи. Понятие дифференциального опер-ра.

2.Линейная зависимость. Матрица Вронского.

3.Фундаментальная система решений.

4.Теорема об общем реш-нии.

Л9

1.Опр-ль Вронского и формула Лиувилля.

2.Востоновление ДУ по известной фундоментальной системе.

3.Понижение порядка уравнения при известных частных решениях.

4.ДУ второго порядка.

Л10

1.Теорема я и ед-ти решения нач задачи

2.Теорема об общем решении

3.Метод Лагранжа вариации произв пост

4.Ф-я Коши и её св-ва

Л11

1.Хар мн-н и мет Эйлера

2.Комплексная теорема об общем решении

3.Выделение вещественного решения из комплексного

4.Вещ теор об общ реш.

Л12

1.Хар ур-е и мет Лагранжа

2.Ф-ла смещения

3.Теор об общ компл реш-ии

4.Теор об общ вещ реш-ии

Л13

1.Квазимногочлены и их свойства

2.Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3.Правило нахождения частного решения в резонансном случае

Л14

1.Свободные колебания линейной системы без трения.

2.Свободные колебания линейной системы с трением.

3.Вынужленные колебания линейной системы без трения.

4.Вынужленные колебания линейной системы с трением.

Л15

1.Пример краевой задачи.

2.Тождество Лагранжа и формула Грина.

3.Существование и единственность ф-ии Грина краевой задачи.

4.Представление решения краевой задачи через фун-ю Грина.


Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:55:52 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:30:40 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Шпора по математическому анализу

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151204)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru